ir.D.Dickeraadgevend ingenieurM- diagrammen voorongewapend betonU.D.C. 624.012.4:539.374Berekening ongewapend beton: plastische vervormingenIn de verschillende publikaties over stabiliteit, de in de loop van 1967 in Cement zijn versche-nen, is gesproken over -x-diagrammen, ofwel de moment-krommingsdiagrammen.In de tijd dat wij alleen elastisch werkten, hebben we ons hiervoor weinig ge?nteresseerd.We konden de kromming in een staaf wiskundig uitdrukken: In het elastischegebied is E constant en varieert de kromming Indien ook I nog constantis, is de kromming alleen nog maar afhankelijk van Mx. De ligger van fig. 1 die een constanteI heeft en ook nog een constant moment, heeft over de volle lengte een constante kromming,dus krijgt ze een uitbuiging volgens een booggedeelte van een cirkel met een kromtestraalGaan we voor beton uit van het --diagram, zoals de G.B.V. 1962 dat voorschrijft, dan isE niet constant. Treedt bovendien nog scheurvorming op, dan is ook I niet meer constant.'Normaal' vinden we vervormingen door het gereduceerd momentenvlak als belastingvlak opte vatten en daarmee een momentenlijn vast te stellen. Met de niet constante E en een doorscheurvorming be?nvloede I wordt het wel bijzonder moeilijk om dit gereduceerde momenten-vlak te bepalen. Indien we echter in elke doorsnede de kromming x kunnen bepalen, is ditMisschien is het voor enkele lezers nodig iets meer over de kromming zelf te zeggen. Eenligger die gebogen wordt door buiging, ondergaat tussen twee op een afstand dx gelegenpunten van de as een hoekverdraaiing d (fig. 2). De kromtestraal noemen we . Dan isDit is de kromming. De kromming x isdus de specifiekehoekverdraaiing.In fig. 3 is een gedeelte van een kolom weergegeven. Twee doorsneden 1-1 en 2-2 liggen opeen afstand dx van elkaar. Na de invloed van normaakracht en buigend moment is doorsnede2-2 ten opzichte van 1-1 verplaatst en gedraaid naar 3-3. De vervormingen links en rechts zijnresp. 1dx en 2dx en de hoekverdraaiing is d .Tekenen we nu alleen voor doorsnede 1-1 de specifieke vervormingen 1 en 2 dan zien wedepin dit diagram als hoek verschijnen -3- = , de specifieke hoekverdraaiing ofwel de krom-ming in doorsnede 1-1.Het blijkt nu mogelijk om voor ongewapend beton op vrij eenvoudige wijze, uitgaande vaneen gegeven --diagram, bij een bepaalde normaalkracht het verband te bepalen tussenM en x. Met dit - x -diagram kunnen we dus, indien de momenten bekend zijn, direct hetx -vlak bepalen en daaruit de vervormingen, want het x -vlak vervangt, en is gelijk aan, hetCement XX (1968) nr. 250/fig. 4 De excentriciteit e van ' volgt uit:Devoorgaande formules zien er op het eerste gezicht wat ingewikkeld uit, maar bij nadere' *kennismaking zien we steeds twee dimensieloze factoren --7 en ', terugkeren. MetSu Subehulp van de formules (1), (2) of (3) en (4) is het zeer eenvoudig een rechtstreeks verbandtussen M en x vast te stellen voor een gegeven waarde van . ' = Nu'.Het is echter interessanter dimensieloze diagrammen te maken; deze zijn algemener te ge-bruiken. De wijze van opstelling van de formules wijst al in een bepaalde richting. Bij eengegeven ' geeft de combinatie ' en -7- het moment aan. De kromming kan worden ge-ntCement XX (1968) nr. 251Cement XX (1968) nr. 2 52helling van het rechte gedeelte van het betreffende diagram.De stijfheid is dus recht evenredig met de kubusdruksterkte van het beton. u' is volgens deG.B.V. 1962 gelijk aan 3,5. 10-3. Voor zeer kortstondige belastingen kan u' kleiner zijn,bijv. 2,5.10-3. Onder invloed van kortstondige belastingen gedraagt de constructie zich dusstijver dan onder invloed van langdurige belastingen. Kortstondige belastingen zijn bijv. wind-belastingen; langdurige belastingen kunnen zijn de invloeden van bouwfouten, zoals schevestand van wanden, het niet zuiver recht zijn van wanden, het niet zuiver boven elkaar staanvan wanden.Uit de diagrammen heb ik de volgende eenvoudige formules gehaald voor de waarde vande fictieve E, geldend dus voor rechthoekige doorsneden, waarbij is uitgegaan van K 225(u' = 135 kgf/cm2en u' = 3,5.10-3).Tabel IBoven de traplijn zijn de formules (l)en (2)gebruikt, daaronder de formules (3) en (4)'Su'' = 0,1 ' = 0,2 ' = 0,3 ' = 0,4 ' = 0,5 ' = 0,6 ' = 0,7 .ht eht .htEu'eh, .htSu'eht .ht,,'e . htSu'e .htSu'eht .htSu'e1,00 6,667 0,444 3,333 0,388 2,222 0,331 1,666 0,275 1,333 0,219 1,111 0,162 0,949 0,1070,95 6,168 0,443 3,083 0,386 2,055 0,328 1,542 0,271 1,233 0,214 1,028 0,156 0,873 0,1010,90 5,670 0,442 2,835 0,383 1,890 0,324 1,418 0,266 1,134 0,207 0,945 0,149 0,795 0,0940,85 5,178 0,440 2,589 0,380 1,726 0,320 1,294 0,260 1,035 0,199 0,863 0,139 0,715 0,0870,80 4,694 0,438 2,346 0,376 1,564 0,314 1,174 0,252 0,938 0,190 0,782 0,129 0,633 0,0780,75 4,219 0,436 2,109 0,372 1,406 0,308 1,055 0,243 0,844 0,179 0,699 0,117 0,549 0,0690,70 3,757 0,433 1,878 0,366 1,252 0,300 0,939 0,233 0,751 0,166 0,614 0,104 0,462 0,0590,65 3,310 0,430 1,655 0,360 1,103 0,290 0,828 0,220 0,662 0,150 0,528 0,090 0,374 0,0480,60 2,880 0,426 1,440 0,352 0,960 0,279 0,720 0,205 0,575 0,132 0,439 0,076 0,283 0,0370,55 2,471 0,422 1,235 0,343 0,823 0,265 0,618 0,187 0,486 0,112 0,349 0,061 0,190 0,0250,50 2,084 0,416 1,042 0,332 0,694 0,248 0,521 0,164 0,396 0,092 0,256 0,045 0,094 0,0130,45 1,722 0,409 0,860 0,318 0,574 0,227 0,429 0,137 0,303 0,071 0,161 0,0290,40 1,387 0,400 0,693 0,300 0,462 0,200 0,337 0,108 0,209 0,049 0,064 0,0120,35 1,083 0,389 0,541 0,277 0,360 0,166 0,243 0,079 0,113 0,0270,30 0,810 0,373 0,405 0,246 0,266 0,123 0,147 0,0480,25 0,573 0,3510,286 0,2020,170 0,0790,049 0,0160,25 0,374 0,3190,186 0,1380,073 0,0340,15 0,214 0,264 0,088 0,0660,10 0,096 0,153*Genoemd in het artikel 'e1en e2 in CementXIX (1967) nr. 11; het betreft Heron no. 3/4,1962.Voor ' < 0,3 Ef = 62 500 kgf/cm2;0,3 < ' < 0,7 Ef = 77 800 - 51 000 ' kgf/cm2Deze waarden gelden binnen de volgende grenzen: -- =--0,3 ' + 0,28. Dus voor bijv.ht' = 0,4 kunnen we aanhouden: Ef = 77 800 -- 20 400 = 57 400 kgf/cm2tot de grens voore e- = -- 0,12 + 0,28 = 0,16. Voor grotere -- waarden moeten we met kleinere Ef-waardenh1 htgaan rekenen. We hebben dan het fictief-elastisch gebied verlaten.ConclusieZolang we ons op de rechte gedeelten van de M -- x (of ------------------- ~ )-diagrammen bevin-ht ,,den, mogen we rekenen alsof de wand zich elastisch gedraagt.OpmerkingEigenlijk moeten we spreken van M -- ' -- x -diagrammen, omdat de N' een belangrijke rolspeelt. In het voorgaande, en ook in het genoemde artikel in Heron *,is er van uitgegaan datzowel bij belasting als bij ontlasting het -- -diagram wordt gevolgd. Dit is niet waar, inhet algemeen gedraagt een materiaal bij ontlasting zich stijver dan bij belasting. Voor onzestabiliteitsproblemen betekent het dat we aan de veilige kant zitten.Eenvoudige toepassingDe twee ingeklemde stijlen AB en CD dragen elk de aangegeven belastingen. Hoe groot magQCement XX (1968) nr. 2 53fig- 8fig. 9fig. 10*Zie 'Stabiliteitsproblemen en de 1?%-regelvoor hoge gebouwen' in Cement XIII (1961)nr. 7.**1Hoe meer tot 1 nadert, hoe meer ---------------n -- 1van de exacte uitkomst. Deze laatste be-draagt hier 7,80 i.p.v. 7,25 (zie 'Theory ofElastic Stability' van Timoshenko).Dekleinste waarde is maatgevend, in dit geval dus stijl AB. Volgens het gestelde uitgangs-punt van de maximum toelaatbare excentriciteit is de toelaatbare horizontale kracht op degegeven constructie met de gegeven verticale belastingen dus H = 1,72 tf.Bij deze verticale belastingen vonden we een verdeling van de horizontaalkracht H over destijlen AB en CD in de verhouding 0,929 : 0,071. Stel dat deze verticale belastingen de 2,5-voudige gebruiksbelastingen zijn, dan kunnen we hetzelfde doen in de gebruikstoestand.Op dezelfde manier als hiervoor te werk gaand, vinden we dan voor de verticale belastingen124 115--= 50 tf en ----?- = 46 tf een verdeling van H over de stijlen AB en CD in de verhouding0,754 : 0,246. Nog steeds uitgaande van de gelimiteerde excentriciteit vinden we een toelaat-bare H-waarde van 1,57 tf in de gebruikstoestand, althans toelaatbaar in de zin van dat bijdeze waarde de gestelde limiet is bereikt. Als gebruiksbelasting zullen wij voor H een lagerewaarde moeten aanhouden. Uit de vergelijking gebruikstoestand met de toestand bij een2,5-voudige verticale belasting vallen twee zaken in het oog.Ten eerste, dat stijl AB bij het opvoeren van de belasting relatief stijver wordt. Haar aandeelin de opname van de horizontale belasting stijgt van 75,4% tot 92,9%.Zouden we het tweede orde effect verwaarlozen en verdelen in de verhouding van dewaarden van Ef. I dan zou het aandeel van AB in de opname van H slechts toenemen van71,3% tot 73,2%. Het begrip stijfheid wordt dus belangrijk be?nvloed door tweede ordeeffecten.Cement XX (1968) nr. 2 54Het tweede dat opvalt is dat, indien de verticale belasting toeneemt met de factor 2,5, deopneembare horizontaalkracht slechts toeneemt met de factor 1,72/1,57=10 en dat voor onge-wapend beton. Ook dit is de invloed van het tweede orde effect. Door het toenemen van devervormingen gelijktijdig met het groeien van de verticale belastingen nemen de buigendemomenten in de maatgevende doorsnede zeer snel toe.Het voorgaande is slechts bedoeld als een eenvoudig voorbeeld van wat men met de in ditartikel ontwikkelde theorie kan doen. In een hoogbouw met kern kan men, door ook M-- x -diagrammen te tekenen voor de kerndoorsneden, op deze wijze de samenwerking tussenkern en skelet bij bijv. een 2,5-voudige verticale belasting, onderzoeken. Hierbij moet menook de stijfheid van de vloeren op een geschikte wijze invoeren.Het nadeel van deze methode is dat zij geen informatie geeft over het bezwijken van deconstructie. Wel bekend is, dat het bezwijken optreedt na het passeren van de gesteldegrenswaarde voor---. Indien wij voor dit criterium een veiligheidsco?ffici?nt vaststellen, danweten we dat de veiligheidsco?ffici?nt tegen bezwijken groter is. Indien we in ons reken-voorbeeld de horizontaalkracht bij de 2,5-voudige verticale belasting gaan opvoeren. dangaan wij voor staaf AB het rechte gedeelte van het M-- x -diagram verlaten, maar voor stijlCD nog niet. Stijl AB zal dus eerst relatief iets slapper worden terwijl stijl CD meer gaatopnemen, waarbij deze laatste al zeer spoedig ook het rechte deel van het diagram zalverlaten. Uitgaande van de gegeven M-- x -diagrammen is het mogelijk ook het verdereproces te volgen, maar het wordt wel bewerkelijk; de staaf heeft over de volle lengte geenconstante stijfheid meer en we moeten itereren. Voor een eenvoudig geval als het voorbeeldis dit nog wel te doen, maar voor een heel raatwerk met of zonder stijve kern wordt hetdan wel een bijzonder ingewikkelde zaak, zelfs voor de computer.Indien we ons kunnen redden met de bezwijkanalyse dan is dat bijzonder aantrekkelijk.Voor die gevallen, en het zijn er nog vele waarin de bezwijkanalyse geen verantwoordeoplossing aangeeft, kan de hier beschreven methode uitkomst bieden.Voor ongewapend beton spreekt zij wel aan, omdat er een soort grens aan de scheurvorminggesteld wordt, waarover de bezwijkanalyse geen informatie geeft. Bovendien geeft zij eendirecte informatie over de vervormingen en een goed inzicht in wat we doen.Misschien is de extra veiligheid die deze methode geeft uit te drukken in cijfers, waardoorenige aansluiting kan worden gevonden aan de bezwijkanalyse, of kunnen we de extraveiligheid accepteren zoals voor het gewapend beton door e1 een extra veiligheid isgeschapen.Er blijven zo nog genoeg problemen over. Ik ben my wel bewust dat ik met deze publikatiegeen kant en klare oplossing heb gegeven voor de problemen van stabiliteit en ongewapendbeton. Wel hoop ik door dit artikel en mijn artikel over e1 en e2, naast de vele publikaties diereeds over stabiliteitsproblemen zijn verschenen, mede bouwstenen aan te dragen die vooreen verdere uitbouw van onze kennis mogen dienen.Uitbreiding Rotterdams metroviaduct naar Zuidwijk-PendrechtOnlangs heeft de regering ingestemd meteen bijdrage van 50% in de kosten van deuitbreiding van het bestaande Metroviaductnaar Zuidwijk-Pendrecht. Dit besluit heefttot gevolg dat thans spoedig met deze uit-breiding kan worden begonnen.De uitbreiding loopt van station Zuidpleinnaar het nieuwe eindstation De Slinge, het-geen een lengte inhoudt van ca. 1015 m, ge-rekend vanaf het einde van de zgn. 'tail-track'. Achter het nieuwe eindstation wordteen emplacement voor 4 sporen gevormd terlengte van 532 m.Bij het nieuwe viaductgedeelte wordt hetoorspronkelijke aantal inhangliggers van vijfteruggebracht op drie. Tot deze reductiekon worden besloten, aangezien uitgebreideproefnemingen tijdens de uitvoering van heteerste viaductgedeelte hebben aangetoonddat in de praktijk een betonkwaliteit van700 zeer goed haalbaar is, ofschoon tentijde van het ontwerp algemeen werd aan-genomen dat een kwaliteit van K 500 voorzulke grote liggers als een maximum moestworden beschouwd.Doordat slechts 60% van het oorspronke-lijke liggeraantal wordt toegepast, vermin-dert ook het eigen gewicht, zodat de totalehoeveelheid voorspanning kan worden ver-minderd tot 85%.De overspanningen van de uitbreiding be-dragen 42 m, dat is 6 m minder dan bij heteerste gedeelte. De lengte van de liggersblijft 33 m, dientengevolge worden de uitkra-gingen van de kolomplaten zo kort, dat dezeplaten niet meer behoeven te worden voor-gespannen. Dit betekent voorts dat de uit-Vergelijking oorspron-kelijk ontwerp van 5liggers met het nieuweontwerp van 3breiding sneller en goedkoper tot stand kanworden gebracht.Het balkrooster ten slotte zal niet meer indwarsrichting worden voorgespannen. In to-taal is met de nieuwe uitbreiding een aantalvan ca. 180 liggers gemoeid.Cement XX (1968) nr. 2 55