ir.A. W.de JonghIBBC-TNO, Rijswijk Kruipinvloeden in opdrukbelasteconstructiedelenInleidingIn op druk belaste delen van betonconstructies, zoals kolommen en liftschachten, kunnenniet-lineaire effecten een belangrijke rol spelen. Tengevolge van de in deze constructiedelenaanwezige normaalkrachten worden (eerste-orde) uitbuigingen vergroot. De krachtsverdeling in ende draagkracht van dergelijke constructiedelen wordt be?nvloed door de optredende vervormingen.Dit wordt geometrische niet-lineairiteit genoemd. Het verschijnsel dat het vervormingsgedrag vaneen (gewapende) betondoorsnede niet-lineair is (gescheurde doorsnede, vloeien van staal etc.)wordt fysische niet-Iineairiteit genoemd.Deze twee soorten van niet-lineairiteit zijn essentieel voor de problematiek van op druk belasteconstructiedelen. Hierop wordtuitvoerig ingegaan in o.a. CUR-rapport 77 Stabiliteit[1]* en de huidigebetonvoorschriften, de VB 1974 [2].t - -DIRECT OPTREDENDEzEKRUIPCONSTANTE1Kruip van beton bijconstante spanninga: Directeelastischeterugvering t _b: Vertraagd elastische terugvering :REVERSIBELE- OF ELASTISCHEc: ?Blijvende vervorming:KRUIPUit onderzoekingen is gebleken dat kruip van beton een niet onbelangrijke rol speelt in voornoemdeniet lineaire effecten in betonconstructies. Bij het IBBC-TNO te Rijswijk is bij het in opdracht vanCUR-VB/SG commissie C15A 'Staal-betonkolommen' te verrichten onderzoek naar het draagver-mogen van samengestelde staal-beton kolommen, ruime aandacht geschonken aan de invloedenvan kruip. Een en ander heeft o.rn. geresulteerd in de ontwikkeling van het computerprogrammaKRUKO (kruip-kolom) dat in vergelijking met proefresultaten goed blijkt te voldoen. Eveneens in hetkader van dit onderzoek is getracht op analytische wijze, metbehulp van eenvoudige modellen, deinvloed van kruip op niet-lineair constructiegedrag te beschrijven, ter verruiming van het inzicht in deproblematiek.In het navolgende wordt ingegaan op deze laatst genoemde studie die als afstudeerwerkbij het IBBCverricht is [3 en 4]. Dit afstudeerwerk stond onder leiding van prof.ir.JWitteveen enirAC.W.M.Vrouwenvelder van de vakgroep toegepaste mechanica en prof.dr.irAS.G.Bruggelingvan de vakgroep betonconstructies, afdeling der Civiele Techniek, TH Delft.Kruip van betonZoals bekend vertoont het materiaal beton, indien het onder langdurige belasting verkeert, eenvertraagd optredende vervorming welke kruip wordt genoemd. Voor beton onder constantedrukspanning is deze kruipvervorming op een bepaald tijdstip bij goede benadering recht-evenredigmet de direkt optredende vervorming indien de betonspanning niet groter is dan ongeveer 50% vande breukdruksterkte. De grootte van de kruipvervorrning op een bepaald tijdstip kan derhalve wordenuitgedrukt in de grootte van de direct optredende vervorming m.b.v. eendimensieloze kruipco?ffi-ci?nt (fig. 1).2Kruip van beton bijachtereenvolgens belastenen ontlastenDuidelijk is dat deze kruipco?ffici?nt in eerste instantie afhankelijk is van de belastingduur. Anderefactoren die van invloed zijn op de grootte van de kruipco?ffici?nt zijn:de betonkwaliteit,de ouderdom van het beton op tijdstip van belasten,de afmetingen van het constructiedeel,de vochtigheidstoestand van het beton.Indien beton dat gedurende enige tijd belast is geweest, weer wordt ontlast zal een gedeelte van dekruipvervorming op den duur weer teniet worden gedaan en een gedeelte blijvend zijn (fig. 2). Na eendirect optredende terugvering bij ontlasten vindt een verdere, vertraagd optredende terugveringplaats in de loop van de tijd.Dit gedeelte van de kruipvervorming wordt de elastische- of reversibelekruipvervorming genoemd.Het gedeelte van de kruipvervorming dat tenslotte blijvend is na ontlasten, wordt de plastische ofirreversibele kruipvervorming genoemd.De tussen haakjes [ 1geplaatste cijfers ver-wijzen naar de literatuuropgave aan het eind vanhet artikel.Kruip van.beton kan dus worden omschreven als een combinatie van een vertraagd elastisch- en eenvertraagd plastisch vervormingsgedrag. Het aandeel van de plastische kruipvervorming in de totalekruipvervorming is vooral afhankelijk van de ouderdom van het beton op het tijdstip van belasten.Zeer oude beton vertoont vrijwel geen plastische kruipvervorming. De grootte van de elastische kruipis min of meer onafhankelijk van de betonouderdomen kan volgens de jongste inzichten wordengesteld op ? 40% van de direct optredende vervorming.Cement XXXII (1980) nr. 3 144Reologische modellenZoals reeds opgemerkt kan kruip van beton, voor een in de tijd constante spanning, beschrevenworden met behulp van de kruipco?ffici?nt rp, Indien echter in een doorsnede de betonspanning toe ofafneemt in de tijd, en dus niet constant is, treden complicaties op bij de berekening vantijdsafhankelijke vervormingen. Er moet nu een vormveranderingsvergelijking beschikbaar zijn welkehet verband tussen tijdsafhankelijke spanning en tijdsafhankelijke vervorming beschrijft.0-dta. o3cSchematisering vanIineair-visceus meterteet-.vervormingsgedrag metlineaire smoorpot;C. . . dEonstante viecosnett: =?t deTijdsafhankelijke viscositeit: = dtcEHet kruipgedrag van beton kan toegankelijk worden gemaakt door gebruikmaking van zgn.reologische 'modellen.Reologische modellen zijn mechanische modellen welke bijvoorbeeld met succes zijn toegepast omhet visco-elastische gedrag van kunststoffen en metalen bij hoge temperatuur te schematiseren (foto3a). De basiselementen van deze modellenzijn de veer en de smoorpot.Met een enkele veer kan het verband tussen spanning en vervorming van een lineair elastischmateriaal (Hooke) worden geschematiseerd (fig. 3b).Een zuiger met daarin enkele kleine openingen welke in een, met b.V. olie gevulde, cilinder kanbewegen (smoorpot) is geschikt om het verband tussen spanningen en vervormingen van een zuiverviseaus materiaal (Newton) te schematiseren (fig. 3c). Aanbrengen van een belasting op dit modelheeft geen direkt optredende vervorming tot gevolg maar een vervormlnqssnelheld. Hier is dussprake van een tijdsafhankelijk vervormingsgedrag.De twee elementaire reologische modellen, welke uit deze basiselementen kunnen wordensamengesteld, zijn het zgn. Maxwell-model en Kelvin-Voightmodel. Deze bestaan uit resp. eenserieschakeling en een parallelschakeling van een veer en een smoorpot (fig. 4).Het vervormingsgedrag van deze twee modellen kan worden gekarakteriseerd door het vervorming-tijd-diagram bij belasten en vervolgens ontlasten. Het Maxwell-model zal bij aanhoudende belastingin principe een oneindig grote vervorming kunnen krijgen en bij ontlasten alleen een direktoptredendeterugvering vertonen. Het tijdsafhankelijke vervormingsgedrag van dit model kanvertraagd plastisch worden genoemd. Het Kelvin-Voightmodel heeft daarentegen een vertraagdelastisch vervormingsgedrag. Een langdurig aangehouden constante belasting zal uiteindelijk eeneindige vervorming van het model tot gevolg hebben. Bij ontlasten zal uiteindelijk deze vervormingweer geheel teniet worden gedaan.3bSchematisering van lineair-elastisch materiaal- vervormingsgedrag metlineair-elastischeveer;Constante stijfheid: = E . ETijdsafhankelijkestijfheid: du = E(t) dEdt dt3aReologisch modelvoor het analyseren van hetkruipgedrag van beton; de basiselementen zijnde veer en de smoorpota o--Et - -4De twee elementaire reologische modellen, hetzgn. Maxwell-model en Kelvin- Voight-model.Ea oKELVIN-VOIGHT MODELCement XXXII (1980) nr. 3 145Sa2-parametermodel van Dischinger; geheelirreversibele kruipEn (t)--_.-Sb3-parametermodelmetconstante parameters;geheelreversibele kruipSc3-parametermodelmet tijdsafhankelijkeparameters; gecombineerde elastische enplastische kruipn (tlrI-, !Sd4-parametermode/;gecombineerde elastischeen plastische kruip1c ---------Cement XXXII (1980) nr. 3De reologische modellen uit figuur 4 zijn niet zondermeer geschikt om het materiaalgedrag van betonte schematiseren. Om de eigenschappen van een verhardend materiaal als beton tot uitdrukking tebrengen is het zinvol om de eigenschappen van veer en smoorpot in de tijd te doen veranderen. Ditkan gebeuren door resp. de veerstijfheid E en de viscositeitsco?ffici?nt als functie van de tijd tekiezen. Zo kan bijvoorbeeld de toename van de E-modulus van beton in de tijd als gevolg vandoorgaande verharding op deze wijze in rekening worden gebracht. Verder kan een reologisch modelworden verfijnd door er meer elementen in te schakelen.In figuur 5 zijn vier reologische modellen weergegeven welke in aanmerking kunnen komen voorschematisering van hetkruipgedrag van beton. Met behulp van het vervorming-tijd-diagram bijbelasten en vervolgens ontlasten kan voor ieder model een vergelijking worden getrokken met hetwerkelijke, proefondervindelijk geconstateerde kruipgedrag van beton volgens figuur 1 en 2.Hieronder volgt een korte bespreking van deze modellen:Fig. Sa: Maxwell-model met tijdsafhankelijke smoorpotparameter.De eigenschappen van de smoorpot zijn zodanig gekozen dat de vervormingssnelheid van het modelbij aanhoudende belasting uiteindelijk 0 wordt. Het kruipgedrag van dit model is geheel irreversibel ofwel plastisch. De uit de literatuurbekende kruipformulering van Oischinger is gebaseerd op dit model.Fig. Sb: 3-Parametermode/ met constante parameters.Het tijdsafhankelijke vervormingsgedrag van het model wordt bepaald door de Kelvin-Voighteenheid. Derhalve is het kruipgedrag van dit model, in tegenstelling tot dat van figuur Sa, geheelreversibel ofwel elastisch (total creep recovery).Fig. Sc: 3-Parametermodel met tijdsafhankelijke parameters van de Kelvin-Voight-eenheid.Dit model heeft ten grondslag gelegen aan dekruipformulering van de VB 1974 [1]. Met dit modelwordt gecombineerde elastische en plastische kruip geschematiseerd. De parameters E2 (t) enzijn zodanig als functie van de tijd gekozen dat voor grote waarden van t het kruipgedrag geheelelastisch is, d.W.Z. dat E2(GO) en een eindige waarde hebben. In feite gaat het model dan over indat van figuur Sb.Fig. Sd: 4-Parametermodel met tijdsafhankelijke smoorpot parameter in de Maxwell-eenheid.Dit model heeft ten grondslag gelegen aan de kruipformulering van de CEB-FIP-Model Code [5]. Hetis een combinatie van model a en model b. De Maxwell-eenheid schematiseert het plastischegedeelte van de kruipvervorming, de Kelvin-Voight-eenheid het elastische gedeelte.146I U F I 1FI F IIU IU\ \ \\\ \ I I\ \ \ \L\ \ \\I IHl\ \ \ \\ \ I I\ I \\ \ \\ \6Analyse van tijdsonafhankelijke niet-lineaireeffecten m.b. v. eenvoudige kinematischemodellenMet bovenstaande modellen kan een meer of minder exacte benadering van het kruipgedrag vanbeton worden gegeven. Duidelijk is dat de modellen c en d in ieder geval in kwalitatieve zin voldoen,aangezien deze modellen een gecombineerd elastisch en plastisch kruipgedrag hebben. Demodellen a en b vormen in dit opzicht twee uitersten.Het verloop van de tijdsafhankelijke parameters wordt zodaniq gekozen dat een zo goed mogelijkekwalitatieve en kwantitatieve overeenstemming met proefresultaten verkregen wordt. Op deze wijzeworden tijdsafhankelijke vormveranderingsvergelijkingen voor beton verkregen in de vorm vanlineaire differentiaalvergelijkingen waarmee verdere berekeningen mogelijk zijn.Kruipknik, kruipinstabiliteitHet geometrisch en fysisch niet-lineair gedrag van constructies kan op doorzichtige wijzegeanalyseerd worden aan de hand van eenvoudige discrete kinematische modellen [6].Het eenvoudigste geval is de aan de voet ingeklemde betonkolom (fig. 6a). Voor een analyse van hetkortstondig uitbuigingsgedrag van de kolom kan gebruik worden gemaakt van de kinematischemodellen in figuur 6b en 6c. In deze modellen wordt de kolom tot een oneindig stijve staafgeschematiseerd waarbij de vervormingseigenschappen in ??n punt zijn geconcentreerd. Bij figuur6b is dit aan de voet van de kolom; bij figuur 6c worden de vervorm ingsei genschappen dooreenvervormingselement aan de top van de kolom geschematiseerd. Om tijdsonafhankelijke fysischeniet-lineariteit in rekening te brengen kan aan de vervormingselementen in de modellen een. bepaalde vervormingskarakteristiek worden toegedacht, bijvoorbeeld een bilineair verband tussenkrachten en vervormingen.Bij het model in figuur 6c wordt dit bereikt door het vervormingselement op te bouwen uit een lineairelastische veer en een schuifelement.lndien de kracht in het vervormingselement kleiner is dan eenbepaalde waarde N wordt het vervormingsgedrag bepaald door de veer. Zodra echter de krachtgroter of gelijk is aan N, wordt de wrijvingskracht in het schuifelement overschreden en neemt dedeformatie onbepaald toe.Met de modellen in figuur 6b en 6c kan op eenvoudige wijze een analyse worden gemaakt van deniet-lineaire effecten in constructies welke zijn opgebouwd uit elasto-plastische materialen. Dit zal nuverder worden uitgewerkt voor het model uit figuur 6c.Beschouwd wordt het model waarbij de staaf een uitwijking U van de rechte stand wordtgegeven. Dehorizontale kracht in hetvervormingselement bedraagt dankU en indien het model in deze situatie inevenwicht is dan moet gelden:FU =kU'LHieruit volgt voor de kniklast van het modelFk = kL (1)waarbij de uitwijking U onbepaald is.Indien de staaf reeds eeniniti?le uitwijking ?bezit dan treedt bij opvoeren van de verticale belastinggeen knik op maar wordt een niet lineair verband tussen F en U gevonden. Uit een evenwichtsbe-schouwing volgt namelijk:n FkU = -U metn = - (Fkvlg. (1? (2)n-1 FDe vooruitwijking wordt door F vergroot met een vergrotingsfactorAangezien de grootte van de horizontale kracht in het vervormingselement beperkt is door dewrijvingskracht N van het schuifelement, kan de staaf bij een bepaalde belasting F slechts eenbeperkte uitwijking Umaxondergaan daar anders instabiliteit optreedt. Uit het evenwicht volgt weer:NLUmax=F (3)Cement XXXII (1980) nr. 3 147(5)u __HZ)kruipknik (6)kortstondige instabiliteitkruipinstabiliteituII FN k1\\\\\\ F\ L\\\\t (2) U = ?afnemende belasting7Belasting-uitwijking diagramBaKinematisch modelter bestudering van deinvloed van kruip op het geometrisch niet-lineairgedragBbBelasting-uitwijking diagram voor kortstondige(t = 0) en langdurige belastingDe relaties (1), (2) en (3) zijn in figuur 7 in het belasting-uitwijkingdiagram in grafiek gebracht. Degrootst mogelijke belasting Fe,waarmee het model nog evenwicht kan maken volgt door gelijkstellingvan (2) en (3):1 1 1-=-+- (4)Fe F? Fpwaarin Fp de zogenaamde eerste-orde bezwijklast voorstelt volgens:NLFpUFormule (4) staat in de literatuur bekend als de formule van Merchant.(N.B. De term 'eerste-orde bezwijklast' is afkomstig uit de bezwijkanalyse. Het is de bezwijklast diegevonden wordt bij een eerste-orde berekening, dit is een berekening waarbij geometrischeniet-Iineairiteit niet in beschouwing wordt genomen.)Zoals aan het begin van deze paragraaf gesteld, zijn deze resultaten van toepassing op hetkortstondig vervorrningsgedrag van de kolom uit figuur 6a. Om de invloed van vertraagd optredendevervormingen van beton op het uitbuigingsgedrag van de kolom te analyseren kan, indien het beton inongescheurde toestand is, gebruik worden gemaakt van het model in figuur Ba. In het vervorminqs-element, waarin het vervormingsgedrag van de kolom geconcentreerd gedacht wordt, is in ditvoorbeeld het reologisch model, met constante parameters, van figuur 5b opgenomen.In figuur Bb is het belasting-uitwijking diagram van hetkolommodel geschetst. Hetis van belang opwelk tijdstip de toestand van het model wordt beschouwd. Voor kortstondige belasting (t = 0) geldtvgl. (2) metk = k-,Voor langdurige belasting (t = kan de grootte van de uitwijking U worden berekend met:nk FkkU = nk-1 U, nk=F??????????????????????????????.??????????????????? (5)Hierin is Fkk de z.g. kruipkniklast. Bij belastingen < Fkk is de centrisch belaste, rechte staaf, naoneindig lang belasten nog in stabiel evenwicht:k1 ?k2Fkk = --- .L (6)k1 + k2 'Vgl. (5) kan rechtstreeks worden afgeleid uit vgl.(2) en vgl.(1) door serieschakeling van de veren metstijfheid k1 en k2, hetgeen een vervangingsstijfheid oplevert van k1' k2 voor t = zonder verderek, +k2invloed van de smoorpot.In de figuur is te zien dat de grootste belasting die het model, na oneindig lang belasten, kan dragenvolgt uit gelijkstelling van (3) en (5):1 1 1-=-+- (7)Fck Fkk FpCement XXXII (19BO) nr. 3 1489aDiscreetmodel van een staal-beton kolom9bContinu model van een staal-beton kolomCement XXXII (1980) nr. 3IIIIIndien, onder constante aanvangsbelasting, als gevolg van kruip de uitwijking van de staaf zodanigtoeneemt dat de maximaal toelaatbare uitwijking Umax volgens (3) wordt bereikt, dan wordt het modelbij t < instabiel. In zo'n geval is er sprake van kruip-instabiliteit.Afhankelijk van de grootte van de aanvangsbelastingkunnen zich nu twee verschillende gevallenvoordoen.1e Bij aanbrengen vaneen belasting F1 < Fck op het tijdstip t = 0 zal een initiale uitwijking ? door F1vergroot worden volgens (2). De kortstondig bereikte uitwijking U(o) zal vervolgens, als gevolg vankruip van het reologisch model, verdertoenemen tot U( In het belasting-uitwijking diagram zal dusbij aanbrengen van F1 eerst traject A-B worden doorlopen en vervolgens bij constante belastingtraject B-C. De evenwichtstoestand van de kolom blijft stabiel.2e Bij opvoeren van de belasting tot een waarde F2 > Fck op tijdstip t = 0 wordt in hetbelasting-uitwijking diagram traject A-D doorlopen. Vervolgens neemt de uitwijking bij constantebelasting toe totdat op zeker tijdstip punt E wordt bereikt. De uitwijking kan bij gelijk blijvendebelasting niet verder toenemen en hier treedt dus instabiliteit op als gevolg van kruip, op een tijdstipt