Elastisch ondersteunde liggers en platendoor ir. G. A. F. van der Sande,hoofdingenieur Technische Hogeschool DelftU.D.C. 624.072.2.001.57 + 624.073.2.001.57modelonderzoek elastisch ondersteunde liggers en platenElastisch ondersteunde constructies kunnen met behulp van een modelop verkleinde schaal worden berekend.In dit artikel zal enerzijds worden uiteengezet op welke wijze een der-gelijk model wordt ontworpen en kan worden vervaardigd, terwijlanderzijds de overdracht zal worden behandeld van de verschijnselenin het model (zakking, kromming enz.) naar de werkelijkheid, met be-spreking van reeds verkregen resultaten aan uitgevoerde constructies.InleidingHet probleem van de krachtsverdeling in elastisch ondersteundeconstructies is reeds vrij oud.In 1867 werd door E. Winkler de aanname gedaan, dat dereactiekrachten van de fundering in ieder punt evenredig zijnmet de doorbuiging (zetting) in dat punt.Deze aanname vormde de basis van H. Zimmerman's klassiekewerk ('Die Berechnung des Eisenbahn-Oberbaues' .Berlijn 1888;2e ed. Berlijn 1930) over het onderzoek en de berekening vandwarsliggers, langsliggers en sporen.In hoofdzaak werd door deze onderzoekers aan grond gedacht.De fysische eigenschappen van grond zijn echter van meer ge-compliceerde aard, dan door de zo eenvoudige betrekking vanWinkler kan worden voorgesteld. Het begrip beddingsconstante,dient dan ook met de nodige voorzichtigheid en reserve teworden gehanteerd.Dat elastisch ondersteunde constructies, en met name elastischondersteunde platen (wegen, start- en rolbanen voor vlieg-velden) nog steeds een actueel probleem vormen, blijkt uit hetgrote aantal publikaties, dat op dit gebied verscheen. Verschil-lende onderzoekers hebben zich ermee beziggehouden, zoalsbijvoorbeeld H. M. Westergaard in 'Stresses in concretepavements, computed by theoretical analysis', Public Roads,april 1926, en 'New formulas for stresses in concrete pavementsfor airfields' - Proceedings of the American Society of Civil Engineers,mei 1947.De steeds hogere verkeersbelasting en de steeds zwaarderevliegtuigen stellen langzamerhand dusdanige eisen, dat een wegof startbaan meer en meer als een werkelijke constructie wordtgezien, bij voorbeeld als een betonskelet, dan als een historischcommunicatiemiddel, dat uit het oogpunt van comfort nu een-maal een verharding moet hebben.De keuze van een transport- of verkeersvliegtuig op bedrijfs-economische gronden kan dan bepaalde consequenties mee-brengen, ten aanzien van de constructie van start- en landings-banen, opstel platforms etc.Op militaire vliegvelden zal als regel de situatie nog ongunstigerliggen, doordat de wielafmetingen kleiner en de bandenspannin-gen hoger zijn, waardoor een sterker geconcentreerde belastingop het rljdek wordt uitgeoefend.De berekening van deze continu ondersteunde stijve platenvormt dan ook een actueel onderwerp.leder hulpmiddel, dat bijdraagt tot een beter inzicht in de op-tredende krachtsverdellng, is dan te enen male onontbeerlijk.In het navolgende zullen dan ook, uitgaande van de theoretische-mathematische grondslagen, verschillende methoden wordenbehandeld, om met behulp van schaalmodellen op snelle en over-zichtelijke wijze de elastische krachtsverdeling in deze liggers enplaten in kwalitatieve en kwantitatieve zin te bepalen.LiggersDe differentiaalvergelijking van een elastisch ondersteundeligger onder een gelijkmatig verdeelde belasting qx luidt:dVEI^x = -k-y + qx...................................................(')waarin: EI = stijfheidsfactor van de ligger, en = beddings-constante (kgf/cm2)* en y = doorbuiging (zetting).Werkt op de gehele balk, of een gedeelte daarvan, geen gelijk-matig verdeelde belasting, dan is qx = 0 en krijgt bovenstaandevergelijking (?) de vorm:dVa-?--k->........................* kgf = kilogramkracht (praktische eenhedenstelsel)Het is voldoende om de algemene mathematische oplossing vandeze vergelijking (2) te beschouwen. Het geval met gelijkmatigverdeelde belasting wordt hieruit verkregen door toevoegingvan een particuliere oplossing.Substitutie van y = e""< (waarin e = 2,71828...) in vergelijking (2)geeft de karakteristieke vergelijking:~met de wortels : m, = (1 + i) I/ -^-. = (1 + i). o = - m3m2 = (-1 + i) - = (-1 + ?). = - m4waarin: a = I/-r-=vF 4 ?/die de 'karakteristiek' van het systeem wordt genoemd(i = -1).De algemene oplossing van vergelijking (2) heeft dus de vorm-- A,. emix -f A2 . e"i2x + A3. en*>x + A,, . ......................(2)Aangezien nu:eiax = cos + i sin -? = cos - i sin en na invoering van de nieuwe ?ntegratieconstanten:(A, + A,) = C, ?(A,-A4) = C2(A2 + A3) = C3 i (Az-A3) = C4krijgt vergelijking (2) de algemene oplossing van de volgendegedaante :N y = e> (C,cos + C2sin ) + e- a (C3cos ++ C4sinox) ......................................................................... (2b)De dimensie van is [lengte-1], reden waarom 1/ als de 'karak-teristieke lengte' is gedefinieerd.De constanten , t/m C4 worden bepaald door de randvoorwaar-den van de ligger. De waarden ervan zijn constant voor iederbalkdeel, waarvoor de elastische lijn met haar afgeleiden continuzijn.Wanneer een balk aan verschillende wijzen van belasting onder-worpen is, moet de elastische lijn worden opgesplitst in eenaantal continue delen. Op de overgangsdoorsneden worden doormiddel van de continu?teits-voorwaarden, de integratie-con-stanten voor ieder deel bepaald.Vanuit wiskundig oogpunt is het probleem nu dus opgelost.De uitwerking van een concreet geval, waarbij verschillenderandvoorwaarden en belastingssystemen moeten worden be-schouwd, een praktijkgeval dus, brengt echter een aanzienlijkehoeveelheid werk met zich mee.Dit kan sterk worden verminderd door toepassing van hetbeginsel van superpositie.Wanneer echter de 'beddingsconstanten' bij continu onder-steunde liggers geen lineair verband meer aangeven tussenspanningen en vervormingen of wanneer een ligger slechtsplaatselijk is opgelegd op verende steunpunten, met per steun-punt vari?rende, niet-lineaire constanten (vergelijk het ver-schijnsel van 'opwippen'), mag superpositie niet meer wordentoegepast. Toepassen van een model, waarmee een voor de prak-tijk voldoende nauwkeurigheid van ca. 10% kan worden bereikt,zal dan sneller tot een resultaat voeren.ModelontwerpA. Continu elastisch ondersteunde liggersZoals in het voorgaande reeds werd vermeld, luidt de differen-tiaalvergelijking voor deze liggers:E/-g^+k.y-qx = 0 ........................................... (f)310 Cement 13 (1961) Nr. 6Zolang alle hierin voorkomende grootheden in dezelfde ver-houding worden veranderd; kan van een re?el model wordengesproken. Bij het oritwerp daarvan moet nu voldaan zijn aan devolgende vergelijking (schaalwet), die uitde voorgaande volgt:E/m ?w ______kj2 /m_____ Qmodel ____ "m ?w ,^\Ww /w /m Kw Yw ^werkelijk ' w 'm(waarin de indices m en w betrekking hebben op het model resp.de werkelijke constructie, terwijl / = lengte, y = doorbuiging,q = gelijkmatig verdeelde belasting en = niet-gelijkmatigverdeelde belasting).De dimensie van de beddingsconstante is kgf/cm2.Zoals uit vergelijking (3) blijkt, staan nu nog verschillende gradenvan vrijheid voor het modelontwerp open.Worden bij voorbeeld de EI-verhouding en de lengteschaalgekozen, dan bestaat in de bepaling van het onderlinge verbandtussen de beddingsconstanten en doorbuigingen nog enigevrijheid, wanneer de modelbelasting ten opzichte van de belastingop de werkelijke constructie is bepaald.Welke verhoudingen vooraf worden vastgelegd en hoe grootdeze worden genomen, hangt af van de gewenste gegevens en vaneen zekere ervaring in de modeltechniek. Steeds dient uiteraardhet oog te worden gehouden op de praktische uitvoerbaarheidvan het model en op de verlangde nauwkeurigheid van de resul-taten.Een model van een continu elastisch ondersteunde ligger kanworden vervaardigd uit een licht, elastisch materiaal (bijv.perspex), waarvan de eigenschappen bekend zijn (E = 30000kg/cm2), drijvend op een kwikbad.De beddingsconstante van deze zware vloeistof voldoet vanzelf-sprekend exact aan de aanname van een lineair verband tussenspanningen en vervormingen, zoals in de theoretische behandelingvan elastisch ondersteunde constructies over het algemeengebruikelijk js. Zij is gelijk aan het soortelijk gewicht van de vloei-stof, namelijk 13,6 ? 10-'kg/cm3.Het model drijft nu op kwik en kan worden belast via dradendoor de bodem van de kwikbak heen. Het is nu geschikt voortoepassing van de zgn. moir?-methode (12)*, waarmee langs foto-grafische weg de hoekveranderingen over de gehele ligger wordenvastgelegd. Via de ingevoerde schaalverhouding kunnen hieruitde buigende momenten in de werkelijke ligger worden berekend.Het aanbrengen van een gelijkmatig verdeelde belasting is bijgebruik van de moir?-methode niet mogelijk, omdat daardoorhet spiegelend oppervlak van de ligger wordt bedekt. Benaderingdoor een groot aantal puntlasten is echter wel uitvoerbaar, het-geen in de meeste gevallen voldoende zal zijn.Een andere wijze van onderzoek voor deze liggers maakt gebruikvan meetklokjes voor het rechtstreeks meten van de doorbui-gingen y. De schaal van ymodel tot ywerkelijk is bekend uit deaannamen voor het modelontwerp.Uit de aflezing van de meetklokjes en de verhouding ym/yw isdus overal de werkelijke tegendruk bekend, zodat de buigendemomenten en dwarskrachten zonder veel moeite overal kunnenworden bepaald.. Discontinu elastisch ondersteunde liggersHieronder worden liggers verstaan, die plaatselijk verend zijnondersteund. De schaalwet hiervoor luidt enigszins anders.Voor de continu ondersteunde ligger gold namelijk volgensformule (?):EI^+k.y-qx = 0.met de schaalwet:E/m ?w _____ P_m /wE/w Yw im ?w /mDit geldt voor iedere puntlast, dus ook voor een veer, waarvoorgeldt = ' . y (d.w.z. de doorvering y is evenredig met de be-lasting ), zodat voor het model voldaan moet zijn aan de ver-houdingsvergelijking:E/m tw ______*_m ___