ir.P.E.RoelfstraRijkswaterstaat Directie Bruggenprof.dr.F.H.WittmannTH-Delft, afdeling Civiele Techniek,vakgroep materiaalkundeCement XXXII (1980) nr. 6Een rekenmodel ter bepalingvan de totale tijdsafhankelijkevervorming van uitdrogendbetonInleidingZoals is aangekondigd in hetvorige nummervan Cement,wordt in ditartikel hetrekenmodel, datbij de vakgroep Materiaalkunde van de afdeling Civiele Techniek van de TH-Delft is ontwikkeld,nader toegelicht [1]. Dit rekenmodel is ontwikkeld met het doel nauwkeurige rekenregels entabellen te kunnen samenstellen voor de beschrijving van het tijdsafhankelijk gedrag opmacro-niveau (constructie-niveau). Met het rekenmodel kan de totale tijdsafhankelijke vervor-ming van een belast en uitdrogend betonnen prisma worden berekend [2].Als een van de uitgangspunten is hierbij gekozen het tijdsafhankelijk gedrag van cementsteenop micro-niveau. Dit tijdsafhankelijk gedrag wordt in de verschillende vezels van het prismaberekend metformules, die door een groep onderzoekers van de TH-M?nchen met behuIp vaneen fysisch model zijn afgeleid [3-7].Voor de duidelijkheid wordt in dit artikel eerst beschreven hoe het rekenmodel in grote lijnwerkt. Vervolgens wordt nader op de verschillende uitgangspunten en berekeningsmethodeningegaan. Tenslotte wordt de toetsing aan metingen en een nog op te lossen probleembesproken.Berekeningsmethode in grote lijnDe periode, die ligt tussen het tijdstip waarop de uitdroging van een prisma aanvangt en hettijdstip waarop de pori?nvochtigheid van hetprisma in evenwicht is met de relatievevochtigheidvan de omgeving, wordt in een aantal tijdsintervallen verdeeld. Aan het begin van iedertijdsinterval wordt in een aantal punten (vezels) van het prisma de pori?nvochtigheid berekendmet behulp van een diffusievergelijking. Met de relatie tussen de pori?nvochtigheid en deonverhinderde krimp wordt de krimpverkorting van iedere vezel bepaald. De in devoorafgaandetijdsintervallen berekende kruip van iedere vezel wordt hierbij gesommeerd.Deze verkorting t.g.v. krimp en kruip is in het algemeen voor elke vezel verschillend. Omdat ertussen de vezels samenhang bestaat, ontstaat er een intern spanningsveld. Dit spanningsveldwordt berekend, waarbij met mogelijk optredende scheurvorming rekening wordt gehouden.Hieruit volgt dan tevens de totale vervorming van het prisma op dat tijdstip.Vervolgens wordt de kruiptoename van de vezels in het tijdsinterval berekend. Hierbij isaangenomen datde spanning en depori?nvochtigheid van devezels in hettijdsinterval constantzijn. Op deze manierworden alle tijdsintervallen doorlopen, waardoor het verloop van de totalevervorming in de tijd volledig is vastgelegd.UitdrogingsprocesDe pori?nvochtigheid van jong beton is zo hoog dat deze niet in evenwicht is met de relatievedampdruk van de omringende lucht. Hierdoor wordt er bij het betonoppervlak vocht aan deomgeving afgegeven, waardoor er een vochtstroom in het materiaal ontstaat. Treedt er geenvochtuitwisseling met de omgeving meer op, dan is er een evenwichtstoestand bereikt.Becker en Maclnnis hebben aangetoond dat dit uitdrogingsproces, ook wel het vocht-diffusieproces genoemd, redelijk met de lineaire diffusievergelijking kan worden berekend [8].Voor een twee-dimensionale toestand luidt deze vergelijking:~7 =0 { ~:~ +~:~ }........................................................ (1)Hierin is:H = de pori?nvochtigheid;o = de vochtdiffusieco?ffici?nt in m2sIn deze vergelijking is de diffusieco?ffici?ntconstant. In werkelijkheid isdezediffusieco?ffici?ntniet constant maar o.a. afhankelijk van de temperatuur en de pori?nvochtigheid zelf. Ook zal348deze diffusieco?ffici?nt plaatselijk sterk vari?ren door de niet homogene structuur van beton.Verder be?nvloeden dampremmende lagen, zoals slijtlagen op rijdekken, beschermendevertla-gen en vervuiling, het uitdrogingsproces.Pihlajavaara heeft aangetoond dat zelfs de zwaartekracht een niet onbelangrijke rol in hetuitdrogingsproces kan vervullen [9]. Gezien de complexheid van dit proces is het niet zoverwonderlijk dat verschillende onderzoekers vaak verschillende resultaten van dezelfdeproefnemingen hebben gevonden [10-11]. Indien men er in zou slagen deze verschillen doornog meer onderzoek te verkleinen, kan in de toekomst met een geavanceerd computermodelhet Uitdrogingsproces voor alle praktijkgevallen met succes worden gesimuleerd.Op grond van wat Becker en Maclnnis hebben aangetoond is besloten in het rekenmodel deverdeling van de pori?nvochtigheid voorlopig met de lineairediffusievergelijking te berekenen.Inmiddels is ook uit een soortgelijke studie gebleken dat deze ?iffusievergelijking, t.o.v. eenniet-lineaire vergelijking, voorde praktijk voldoende nauwkeurig is [12]. Vooronderzoeksdoel-einden is een niet-lineaire diffusievergelijking meer geschikt.Als bij een vierkant prisma, de uitdroging nabij de kopvlakken wordt verhinderd en de relatievevochtigheid van de omgeving constant wordt gehouden, bestaat de oplossing van de lineairediffusievergelijking uit een serie Fourier-reeksen. In figuur 1 is de op deze wijze berekendeverdeling van de pori?nvochtigheid op een tweetal tijdstippen na het begin van de uitdroginggrafisch weergegeven.1De berekende verdeling van depori?nvochtigheid op twee tijdstippen na hetbegin van de uitdrogingIn de figuren aan de linkerzijde zijn de lijnengetekend waar de pori?nvochtigheid evengroot is (niveaulijnen); in de figuren aan derechterzijde is de verdeling van depori?nvochtigheid voor een kwart van eenprisma weergegeven.xHIIIIIIIIIIIII------xyXyHIIIIIIIIIII------------I--___ I__ 0 II II II IIIII XEris aangenomen, dat deze kwalitatieve relatieookgeldig isvoorgrindbeton.ln het rekenmodelwordt de onverhinderde krimp dan ook met deze relatie berekend. De parameters aen b dienente worden verstrekt. Deze parameters zijn afhankelijk van o.a. de cementkwaliteit, de wareree-rnenttactor, het cementgehalte en de hydratatiegraad bij aanvang van de uitdroging.Relatie tussen de pori?nvochtigheiden de onverhinderde krimpDe onverhinderde krimp (of zwel) is te defini?ren als de relatieve volumeverandering van eenonbelast klein volumedeeltje als gevolg van een verandering van de pori?nvochtigheid. Defysische achtergronden van deze relatie worden door het M?nchner model beschreven [3].Om deze relatie vastte leggen heeft Klug krimpmetingen verricht aan cementplaatjes met diktenvan 5, 4, 3, 2, 1en 0.5 mm [4]. Deze plaatjes werden bij een temperatuur van 105?Cgedroogd omeen bepaalde hydratatiegraad te verkrijgen. De relatieve vochtigheid van de omgeving werddaarna in stappen van ongeveer 10% verhoogd tot98% en daarnain omgekeerdevolgordeweerverlaagd. Doorde meetwaarden van de plaatjes metverschillendedikten te extrapoleren naardedikte nul werd de relatie tussen de pori?nvochtigheiden de onverhinderde krimp gevonden. Infiguur 2 zijn alle naar de dikte nul ge?xtrapoleerde meetwaarden weergegeven.Feldman heeft voor 1mm dikke proefstaafjeseen soortgelijke relatie gevonden [13]. Hieruitisdeconclusie getrokken datvoorhet interval 98%-10% de relatietussen depori?nvochtigheiden deonverhinderde krimp van cementsteen door een lineaire functie kan worden weergegeven.2De naar de dikte nul ge?xtrapoleerdemeetwaarden%0IVrelatieve vochtigheidCement XXXII (1980) nr. 6Eok=a'h+b349.................................................................... (2)KruipDe kruip in de vezels van het prismaworden in het rekenmodel berekend met eenalgorithme, datis gebaseerd op de formule:In deze formule zijn a, n en b afhankelijk van o.a, de temperatuur, de pori?nvochtigheid, dehydratatiegraad, het cementgehalte en de cementkwaliteit. In het rekenmodel moeten dezerelaties voor een betonmengsel worden opgegeven. Hiertoe dienen de waarden van 8parame-ters te worden verstrekt.Deze formule is afgeleid met behulp van de moleculair-kinetische theorie van de materie [3].Formule 3 is voor een reeks van totaal verschillende materialen, zoals metalen, kunststoffen enklei, met succes toegepast. In deze formule is het niet-lineaire verband tussen de kruip en despanning met een sinushyperbolicus vastgelegd. In figuur 3 is deze formule samen met enigevaak gebruikte kruipformules vergeleken met de gemiddelde waarden van een groot aantalmetingen......?....................................... " (3)= a . tn . sinh(bo)10 50I3De vergelijking tussen enige vaak gebruiktekruipformulesen degemiddelde waarden vaneen groot aantal kruipmetingenScheurvormingTijdens het uitdrogingsproces onstaan er in de buitenstevezels van het prisma trekspanningenals gevolg van de ongelijkmatig verdeelde krimp. Deze trekspanningen kunnen zo hoogoplopen dat er scheuren ontstaan.Doordeze scheuren worden de buitenste vezels grotendeelsontlast, waardoor er een nieuw spanningsveld ontstaat. Dit spanningsveld wordt in het reken-model door middel van een iteratieproces berekend. Hierbij wordt tevens met behulp van3-hoekige elementjes de grootte van het gescheurde gebied bepaald. In figuur 4 is hiervan eenvoorbeeld gegeven.Toetsing aan metingenKrimpproevenL'Hermite en Mamillan hebben o.a. krimpproeven uitgevoerd met prisma's van verschillendeafmetingen [14]. Met het rekenmodel zijn deze proefresultaten nagerekend. In figuur 5 is hetresultaat hiervan weergegeven. Voor alle parameters in het rekenmodel is hierbij voor iederprisma dezelfde waarde aangehouden.In figuur 5 is te zien dat de prisma's met de wat grotere afmetingen gedurende de eerste dagenvan verharding zwellen. Dit wordt waarschijnlijk veroorzaakt door een tijdelijke temperatuurs-verhoging als gevolg van de vrijkomende hydratatiewarmte, diein de grotere prisma's mindersnel wordt afgevoerd. Hiermee is in het rekenmodel (nog) geen rekening gehouden. Deson-danks mag dit resultaat bevredigend worden genoemd.1000100 dagen_ ...0--- berekend0---0 gemeten-005. 1 10-0.10-0.05o- 0,35-0.30-0.25-0.20E: IL__e,prismadoorsnede5De meetresultaten van de proeven vanL'Hermite en Mamillan, vergeleken met deberekeningsresultatenvan het rekenmodel4De wijze waarop met 3-hoekige elementjeshet gescheurde gebied wordt bepaaldDe spanningen in de elementjes moetenevenwicht maken met de externe kracht, dieook nul mag zijn (krimp); ?.mv, eeniteratieproces wordtditevenwichtgevondenyKruipproevenDavis en Davis hebben krimp- en kruipproeven van betrekkelijk lange duur (ca. 5 jaar) uitge-voerd [15]. Dezeproefresultaten worden dan ook door veel onderzoekers gebruikt ter onder-steuning van eigen bevindingen. E?n van de door hun uitgevoerde proevenserieswerd opgezetom:? de invloed van het spanningsniveau op de kruip te bepalen;? de invloed van de hydratatiegraad bij aanvang van de belasting op de kruip te bepalen;? het verschil tussen de kruip onder water en de kruip bij uitdroging te bepalen.Hiertoe werden vele prisma'svan dezelfde betonsamenstelling op verschillendewijze beproefd.Aan de hand van deze proefresultaten zijn met behulp van de kleinste kwadratenmethode deparameters in het rekenmodel bepaald. Hierbij kwam het volgende probleem naar voren.Cement XXXII (1980) nr. 6 3500.400.20Algemeen is bekend dat de kruip bij uitdroging groter is dan de kruip die optreedt als depori?nvochtigheid in evenwicht is met de relatieve vochtigheid van de omgeving. Deze extrakruip wordt de uitdrogingskruip genoemd.100 200 300 dagen6Het berekende verschil tussen hetkrimpverloopzonderen het krimpverloopmetexterne belasting; ditverschil wordtveroorzaaktdoorhetontstaan vanscheurtjesCement XXXII (1980) nr. 6Bij proefnemingen wordt in het algemeen de kruip bepaald uit het verschil tussen de totalevervorming van een belast prisma, met hierop in mindering gebracht de elastische verkorting,en van een onbelast prisma, zijnde de krimp. De gemeten krimp van het onbelaste prisma zalaltijd door optredende scheurvorming kleiner zijn dan in de situatie waar deze scheuren nietkunnen optreden, zoals bij het belaste prisma. In figuur 6 is het berekende verschil tussen dekrimp bij een proefstuk zonder en met externe spanning weergegeven. Het gearceerde gebiedstelt de toename voor van de krimp indien de scheurvorming wordt verhinderd, zoals bijvoldoende externe drukbelasting.Een gedeelt? van de uitdrogingskruip is hiermee verklaard.ConclusieMet het rekenmodel is nog maar een rode draad getrokken vanaf het micro-gedrag naar hetmacro-gedrag. Het rekenmodel moet nog verder worden getoetst aan vele proefresultaten ?nmoet zonodigworden verfijnd (verbeterd). Ook moeten deparameters in de gebruikte formulesworden gekoppeld aan in de praktijk meetbare en in de betontechnologie gebruikelijkegrootheden, zoals bijvoorbeeld watercementfactor en het cementgehalte.Pas dan is het zinvol met het rekenmodel nauwkeurige rekenregels en tabellen op te stellen voorde beschrijving van het tijdsafhankelijk gedrag op macro-niveau.Literatuur1. Roelfstra, P.E., Tijdsafhankelijke vervormingen van Kokerliggerbruggen; Cement XXXII (1980)nr. 5.2. Roelfstra, P.E., Een rekenmodel ter bepaling van de totale tijdsafhankelijke vervorming vanuitdrogend beton; Afstudeerverslag (1979) TH-Delft, afd. Civiele Techniek, vakgroepMateriaalkunde.3. Wittmann, F.H., Bestimmung physikalischer Eigenschaften des Zementsteins; Deutscher Aus-schuss f?r Stah Ibeton (1974), Heft 232.4. Klug,' P., Kriechen, Relaxation und Schwinden von Zementstein; Dissertation (l973), TH-M?nchen.5. Wittmann, F.H., Grundlagen eines Modellszur Beschreibung charakteristischer Eigenschaftendes Betons; Deutscher Ausschuss f?r Stahlbeton (1977), Heft 290.6. Wittmann, F.H., and Lukas, J., The Application of Rate Theory of Time-Dependant Deformationof Concrete; Magazine of Concrete Research (1974) nr. 26.7. Straub, F., and Wittmann, F.H., Activation Energy and Activation Volume of Compressive andTensile Creep of Hardened Cement Paste.8. Beeker, N.K., and Maclnnis, C., A theoretical Method for Predicting the Shrinkage of Concrete;ACI Journet (1973) September.9. Pihlajavaara, S.E.; Notes on the Drying of Concrete; Helsinki, (1963), The State Institute forTechnical Research. .10.Hancox, N.L., The diffusion of water in concrete; UKAMA rapport, AEEW-R482,(1966) Winfrith.11. Bazant, E.P., and Najjar, J., Nonlineair Water Ditfusion in Nonsatured Concrete: Materiaux etConstructions (1972), VolumeS no. 25.12.Akkermans, J., Vergelijk tussen oplossingen van de lineaire en niet-lineaire diffusievergelijkingvoor uitdrogend beton; (afstudeerverslag TH-Delft, wordt gepubliceerd).13.Feldman, R.F., Fifth International Symposium on the Chemistry of Cement; Tokyo, (1968).14.L'Hermite R., et Mamillan, R., Retrait et Fluage des B?tons; Annales de L'lnstitute Technique duB?timent et des Travaux, Vol. 21, nr. 249. .15.Davis, R.E., and Davis,H.E.,Flow of Concrete under the Action of Sustained Loads; ACI Journal{1931),nr. 27.351