prof.ir.J.W.KamerlingTH - Eindhovenfig. 1a-b-c-dfig. 2Cement XXI (1969) nr. 9Een eenvoudige benaderings-methode voor de bepalingvan de samenwerking vanraamwerken en schijvenU.D.C. 624.072.1 :624.072.33Voor het berekenen van raamwerken belast door een horizontale belasting bestaan verschil-lende benaderingsmethoden. '--Meestal wordt de ligging der momentennulpunten in de kolommen aangenomen. De meestgebruikelijke is die, waarbij de momentennulpunten in de kolommen op halve verdiepings-hoogte worden aangebracht. Dit is de gunstigste aanname die gedaan kan worden. In principezullen de hiermee berekende momenten kleiner zijn dan de werkelijk optredende. Het is duseen benadering n?ar de onveili.ge kant.Daar de windmomenten gecombineerd moeten worden met andere momenten, zal de foutover het algemeen binnen aanvaardbare grenzen blijven; in ieder geval voor een ontwerp-berekening.Voor een verdieping uit het portaal (fig. 1a), dat belast wordt door een belasting zoals in fig. 1bis aangegeven, kan een belastingschema worden opgesteld, dat tot het in fig. 1d aangegevensysteem kan worden vereenvoudigd.w,b7;lara:lm.spant>;;>;;77.W kg/m'xh'hh1 -'12 h1-'/2h, -'12 htbaanname van scharnieren vooreen verdiepingx~~ I {~--I- hlW (x+ h) ~I.--- ,ILtegeisoleerde verdiepingI - IIII. ? WK . IL .Itdvereenvoudigd schemaIn fig. 2 is voor een eenvoudig geval aangetoond, dat de verplaatsing der scharnierpunten perverdieping gelijk is aan het moment, vermenigvuldigd met een veerconstante.H:w XH/2-- H/21- ---+ H h12__IhlEI, EI,EI,EI, EI,L H/2 H/24- 4--! H=w x tHh/L4HhllBelastingsschema momentenlijn vervormingenVerplaatsing van de scharnierpunten t.o.v. elkaar per verdieping:H (h)3 Hh L= a= 2" 2 2?2 '2 = Hh3( 2. Ei]. L)f 2 2. 3 El1 +2. 3Eh?2 24El] 1 + Ehh392p-'--t>C0?>c~c]verplaatsing~Yx:;;>zfig. 3fig. 4LVoor ElI = EI2 = El en h = 2' wordt:5 Hh3f = 24' TI. 5 h2Stel Hh = M en 24 . El = c, dan g.aat5 Hh3f = 24 . Er over in: f = cMBij een belasting door een puntlast P zullen, (zie fig. 3), in de uitgebogen stand alle scharnie-ren op een rechte lijn liggen, daar de vervormingen van alle verdiepingen, per verdiepinghetzelfde zijn.De maximale uitbuiging over ~ verdiepingen bedraagt:_ 5 Ph3 ?Ymax = N. f =:N 24' ErStel PNh = Mmax5 h2en 24 . El = c, dan is:Ymax = cMmaxDe uitbuiging Yx op een afstand x 'van boven t.o.v. de begane grond bedraagt:Yx = Ymax- Yx = c (Mmax'- Mx), dus:Yx = c (Mmax-? Mx)In fig. 4 is dit overeenkomstig aangegeven voor een gelijkmatig verdeelde horizontale belas-ting op het portaal.wl.cc~c"Clc!I~I'>1>Z-c8,c??.~u?;>c"XPer verdieping bedraagt de verplaatsing f:'5 Hh3f = 24' Er (zie afleiding fig. 2), waarin Hx = wx = wnhDe totale verplaatsing Yx over n verdiepingen wordt dan:n- /5 wnh4Yx= 24'E!,dno_ 5 wh4 n2Yx= 24 'Er '2i w(nh)2 = Mx5 h2Stel 24 ' El = cYx = cMx, Ymax = cMmox , dus:Yx = Ymox - Yx = c (Mmox - Mx)verplaa t si ngymoX'ixAlvorens van bovenstaande beschouwing gebruik te maken om tot een benaderingsmethodete komen voor de verdeling van horizontale belasting over portalen en schijven, wordt hetvolgende gememoreerd: .Het verband tussen belasting, dwarskracht, buigend moment, hoekverdraaiing en uitbuigingis voor een ligger als volgt vastgelegd:El y"" = qxEIy'" = -OxEly" = -Mxy' = ({)xy = fIx) ( "" d4y )Y = dx4 enz,Door tweemaal de vorm EIy" = -Mx te differenti?ren vindt men:EIy'" == -M'x, EIy"" = -M"xUit EIy"" = qx en EIy"" = -M"x volgt dat:qx ~ .-M"xBij een constructie waarin portalen en schijven zijn opgenomen zal de horizontale verplaat-sing van deze twee gelijk zijn, daar deze door verdiepingsvloeren zijn verbonden.Voor het portaal is afgeleid dat de optredende uitbuiging gelijk is aan:5 h2Yx = c (Mmax-Mx); waarin c = 24' EIDoor deze vorm tweemaal te differenti?ren vinden wij:y" = -cM"xen daar M"x = - qx, volgt hieruit:y" = cq (p.qrtaal)waarin qx de belasting is, die door het portaal wordt opgenomen.De schijf kan worden beschouWd als een uitkragende ligger waarvoor geldt:EsIsY"" =q{schijf)(1 )(2)waarin q de belasting is,? die door de schijf wordt opgenomen en EsIs de buigingsstijfheid vande schijf.De totale belasting op de combinatie van raamwerken en schijven is q en daar q gelijk is aande som van.de belasting die door de portalen en schijven wordt gedragen geldt:q (portaal) + q (schijf) = q (3)door (1) eh (2) in (3) te substitueren vindt men de differentiaalvergelijking1 " + EI""c' Y s sy = q"" + 1 " qY --y = -cEsI, EsI,Stelt men hierin _1_ = a2dan gaat deze differentiaalvergel\jking over in over in:cEsIs"" + 2" qY ay = -EsI,Y = Cl sin ax + C2 cos ax + C3 + C4X + ! cqx2De oplossing van deze differentiaalvergelijking is:y = Cl sin ax + C2 cos ax + C3 +?C4X + i cqx2y' = aCl cos ax-aC2 sin ax + C4 + cqxy" = - a2cl sin ax - a2c2 cos ax + cqy = - a3Cl cos ax + a3c2 sin axy"" = + a4cl sin ax + a4c2 cos axDe integratieconstanten Cl, C2, C3 en C4 kunnen uit de randvoorwaarden bepaald worden, nl.voor x = 0 is 0 = 0 dus y'" = 0 (a)x = 0 is M = 0 y" = 0 (b)x=l Y =0 Wx = i y' = 0 (d)Waarin i de totale hoogte van het gebouw is.Uit bovenstaande volgt dat:-a3cl = 0-a2c2 + cq = 0Cl sin al + C2 cos al + C3 + c4Z + i cq" = 0aCl cos al- aC2 sin al + C4 + cql = 0Hieruit volgt dat:Cl = 0cqC2 = +7C3 = - cC; (a cos al + al sin al) + ! cq"aC4 = cq (sin al- al)aNa invulling van de integratieconstanten en na enige herleiding wordt de oplossing:y = :C; (cos ax-a cos al) + caq(x-l) sin al + c2q(X-l)2y'y"y'"= cq (sin al-sin ax) + cq (x-l)acq (1 - cos ax)cqa sin axy"" = cqa2cos axfig. 5Cement XXI (1969) nr. 9Hieruit volgt dat voor de schijfMx = - EsIsY" = - EsIs cq (1 - cos ax) = - ~ (1 - cos ax)aDx = -EsIsY'" = -EsIs cqa sin ax = -qa sin axen dat voor de belasting die resp. door portaal en schijf wordt opgenomen geldt:cq (portaal) = y"EsIsY"" . = q (schijf)Voorbeeldq (portaal) = q (1- cos ax)q (schijf) = q . cos axL correspondeert met fig. ld28r~,li.!l.111f~_______::.c2f:l::.c::.c'-,-11~x~3:.c.6:.:3c.:'c.:3:.::9:.::.9-=-3_____._ _ _..._ _-..J13xh,3x3.63,10.89 mhoogte l ~18 xh,18x 3.63,65.40 mStelt men dat de maximale uitbuiging van een gebouw, waarvan het systeem in fig. 5a is aan-1gegeven 1000 van de totale hoogte I mag bedragen, dan kan menhiel"uit de minimum afmetin-gen van het windschot berekenen, indien wordt verondersteld dat alle horizontale belastingdoor dit schot wordt opgenomen.I = ~ db3S 12De uitbuiging van een ingeklemde staaf is Y = 8q~~s1 ql4 l3 8 Ed- l =1000 8E.lh2db3b312.1000.q3,_-::--=-::--_of ~ ="1/ 8 Edb. V12 . 1000 . qIndien1E = 300000 kgf/cm' d = 100 B q = wB1w = 100 kgf/m' = 100 kgf/cm'dan vindt men na invulling voor de verhouding3 -::-----::-c::-::-::c-=-::----:--;----=i =1/8.300000.1/100 B = Vwo =6IJ 12.1000. 11100 BTer wille van de eenvoud is van een tweekolommenportaal uitgegaan, uiteraard kan dezeberekening ook voor portalen met meerdere kolommen worden opgezet.Indien de afmetingen van dit gebouw zijn: (zie fig. 5b)kolommen 40 X 80 cmEl (kolom) = EI (balk)de hoogte I = 18 X verdiepingshoogte h = 18 X 3,63 = 65,40 m.de totale lengte 2B = 11 X 3,63 = 39,93 mdan kunnen de afmetingen van de schijf worden bepaald.1 1 39,93d = 100' B = 100 X -2- =0,20 m395o\\I \I \~, '-,I "-~~................o 1000 2000 3000 4000______ totaal moment ---+ tonm___ momentenlijn 'I0OI" sen'ljfCement XXI (1969) nr. 91 1b = {5 X 1 = {5 X 18 X h = 3 X 3,63 = 10,89 mDe breedte b van het schot wordt: 10,89 + 0,40 = 11,29 m en afgerond op 11,30 m.De kolomafstand voor dit gebouw wordt nu 3 X h = 3 X 3,63 = 10,89 mdaar in dit geval nu L = 3 h wordt de verplaatsing7 Hh3f = .24 . Eh (zie afleiding in fig. 2)en daar er per windschUf vijf portalen aanwezig zijn wordt:7 h2c = 24' 5. EhIk = '112.4.83 = 170 dm4Is = '112.2.1133 = 240000 dm4a2 = _1_ = 24 . ~ . Eh 24. 25 . 170 = 9,25 X 10-' dm-2 = 9,25 X 10-8 cm-2cEIs 7. h . Els . -7.36,3 .240000q = 100 X .B = 100 X 20 = 2000 kgf/m' = 20 kgf/cm'cos al = cos 3,04 . 10-4? 6540 = cos 1,98 = -0,398M = -; (I-cos al) = - 20.-108X 1,398 = 3020 .10Skgfcm = 3020 tma 9,25Indien de wind alleen door de schijven wordt opgenomen, dan is het momenti . 2 . 65,402= 4200 tmOndanks het grote verschil in stijfheid tussen de schijven en de portalen, wordt toch nog eenaanzienlijk deel van de horizontale belasting door de portalen opgenomen, zoals duidelijk uithet grafiekj? (fig. 6) blijkt.In memoriam ir. A. EgginkOp 28 juli jl. is na een korte ziekte op 64-jarige leeftijd overleden ir.A.Eggink, hoofd-ingenieur-directeur van de Rijkswaterstaat in de directie 'Sluizen en Stuwen'.Nadat hij reeds op 22-jarige leeftijd was afgestudeerd, was hij gedurende enkele jarenverbonden aan het Waterloopkundig Laboratorium te Delft, met een kort intermezzo opCura?ao.In 1930 werd hij ingenieur bij de Rijkswaterstaat, de dienst waarbij hij gedurende 39 jarenmet zoveel verve is werkzaam geweest.Na aanvankelijk de bouw van de sluizen in de Twenthekanalen te hebben geleid, werd hijin 1936 belast met de voorbereiding van de beide tunnels te Velsen. Uit het districtsbureauvoor deze tunnels ontstond na de 2e wereldoorlog, op zijn initiatief, de directie 'Sluizenen Stuwen'. Dit ingenieursbureau van de Rijkswaterstaat heeft hij opgebouwd en ten slottegedurende 15 jaren als hoofdingenieur-directeur geleid.Zijn bijzondere wijze van werken had tot gevolg, dat hij met een betrekkelijk kleine groepmedewerkers belangrijk en dikwijls baanbrekend werk heeft kunnen verrichten. Hij liethen een grote vrijheid om eigen idee?n te volgen, doch was bij elk ontwerp ten vollebetrokken.Hij inspireerde en stimuleerde en drukte, dank zij zijn grote visie, een eigen stempel opalle werken die tot stand kwamen. Zonder volledig te willen zijn moge ik memoreren: detunnels te Velsen, de Marinehaven in Den Helder, vele schutsluizen, o.a. die in hetlulianakanaal en de Maas, bij Terneuzen en in het Volkerak, sluizen en stuwen in Nederrijnen Lek (Hagestein, Amerongen, Driei), de Coentunnel, de Schiphol-, de Benelux- en deHeinenoordtunnel, de Stormstuw te Krimpen, de Uitwateringssluis in het Haringvliet en denieuwe havenmond in IJmuiden.Ook buiten de Rijkswaterstaat riepen vele personen en instanties in binnen- en buitenlandzijn hulp in. Hij adviseerde bij de bouw van droogdokken (o.a. in Amsterdam en Rotterdam)en van tunnels in Belgi? (Zelzate en Antwerpen) en in Denemarken (Aalborg). Hij had zittingin verschillende internationale werkgroepen en commissies en trad op als adviseur voorde landsregering van de Nederlandse Antillen.Toch zullen velen van hen, die bij zijn crematie aanwezig waren, hem niet in de eersteplaats als technicus doch als wijs en medelevend mens in warme herinnering houden.Zijn grote belangstelling voor en humoristische kijk op hetgeen zijn medemensen beroerde,maakte, dat velen die hem om raad kwamen vragen, zijn vrienden en bewonderaars werden,die hunnerzijds gaarne bereid waren om hem, zo nodig, van dienst te zijn.Zijn overlijden zal voor ons allen gedurende lange tijd een schrijnend verlies betekenen.ir_H.C.Wentink396