Dwarskracht- en kolom berekening VVUHSB 86 6 2 0 11 Dwarskracht- en kolom berekening VVUHSB In het artikel 'Rekenmodel VVUHSB [1] zijn rekenmodellen gepresenteerd voor vezelversterkt ultra-hogesterktebeton (VVUHSB) belast op buiging. In dit vervolg- artikel komen aan bod de bereke - ning van de dwarskrachtcapaci- teit en een kolomberekening. Met de gepresenteerde rekenmodel- len kan worden geconcludeerd dat VVUHSB een materiaal is met vele toepassingsmogelijkheden voor alsmaar complexer wordende constructies. 1 Toepassing van vezelverstrekt ultra-hogesterktebeton in bouwkundige constructies (2) De afschuifcapaciteit van het beton Het meest kenmerkende verschil tussen conventioneel beton en hogesterktebeton is de wijze waarop scheurvorming zich mani- festeert. In conventioneel beton plant een scheur zich langs de grenslaag van het toeslagmateriaal en de matrix voort, terwijl in hogesterktebeton de scheur dóór het toeslagmateriaal gaat. De cementlijm is in dat geval dermate sterk, dat de zwakste schakel wordt gevormd door het toeslagmateriaal. Uit onder - zoek is gebleken dat als resultaat van de gladde scheuropper - Berekening dwarskrachtcapaciteit De dwarskrachtweerstand van elementen die uit VVUHSB zijn vervaardigd, bestaan uit drie onderdelen. ? de afschuifcapaciteit van het beton; ? de afschuifcapaciteit van de vezels; ? de afschuifcapaciteit van de wapening. De verschillende aandelen in de dwarskrachtcapaciteit zullen nu volgend aan de orde worden gesteld. Dwarskracht- en kolom berekening VVUHSB 87 6 2 0 11 scheur scheur scheur vezel 1 Voor project De Pontsteiger te Amsterdam is onderzocht of de stabiliserende megastructuur, ontworpen in staal, is uit te voeren in VVUHSB 2a Scheurpatroon bij conventioneel beton 2b Scheurpatroon bij UHSB 2c Scheurpatroon bij VVUHSB vlakken in UHSB de door het beton opneembare schuifspan- ningen relatief gezien 50 tot 75% lager uitvallen ten opzichte van normaal beton. Een aanzienlijke verbetering van de dwars- krachtcapaciteit wordt verkregen door toevoeging van staalve- zels aan het beton. In de figuren 2a t/m 2c zijn deze kenmer - kende scheurpatronen weergegeven. Om het betonaandeel in de dwarskrachtcapaciteit te kunnen bepalen is een vergelijking gemaakt tussen de berekeningswijze volgens NEN-EN 1992-1-1 [2] en de Franse AFGC / Setra 2002 [3]. Om tot een goed vergelijk te komen tussen [2] en [3] is van de ondergrens van de dwarskrachtweerstand van beton uit [2] uitgegaan. Dit omdat in [3] net als voor de gegeven ondergrens volgens [2] de aanwezige buigtrekwapening buiten beschou- wing wordt gelaten. Voor de dwarskrachtweerstand geldt: NEN-EN 1992-1-1 [2] V Rd,c = ( v min + k 1 . ? cp ) b w . d V Rd,c = [( 0,035 . k 3/2 . ? ? ___ f ck ) + k 1 . ? cp ] . b w . d indien k = 1 en ? cp = 0 N/ mm 2 geldt: V Rd,c = 0,035 . ?? ___ f ck . b w . d AFGC / Setra 2002 [3] (gewapend beton) V Rb = 1 __ ? E . 0,21 ____ ? b . k . ?? __ f cj . b 0 . d waarin: ? E . ? b = 1,5 en k = 1 zodat: V Rb = 0,14 . k . ? ? __ f cj . b 0 . d Binnen [2] is de factor k een schaalfactor. Binnen [3] brengt de factor k de mogelijke aanwezigheid van een druk- of trekspan- ning in rekening en is ? E · ? b een veiligheidscoëfficiënt. Het valt onmiddellijk op dat de Franse norm aan het betonaandeel een aanzienlijk hogere waarde toekent dan de Eurocode. In de beschikbare literatuur en publicaties is hiervoor geen verkla- ring gevonden. In [9] wordt bij een vergelijk van de dwars- krachtcapaciteit tussen [3] en NEN 6720 dit verschil eveneens aangetroffen. In deze studie wordt gewezen op een toename van de door het beton opneembare schuifspanning tot een waarde van 2,15 N/mm 2. Zodra deze waarde is bereikt, blijft de opneembare schuifspanning constant. Dit wordt verklaard vanuit de gedachte dat voor hogere betonsterkteklassen de grindkorrel maatgevend wordt. De Franse norm lijkt deze plas- tische tak te negeren. ir. Hans Ketel RO, ing. Rolf Willemse PMSE RC, ing. Paul van Rijen en ing. Edwin Koolen CAE Nederland bv Conclusies eerste artikel In het eerste artikel zijn de volgende conclusies genoemd: ? Elementen vervaardigd uit VVUHSB vertonen geen opmerke - lijk hogere opneembare momenten dan elementen vervaar - digd uit conventioneel beton, indien voorzien van dezelfde wapeningshoeveelheid. ? Toepassing van VVUHSB maakt een hoger maximaal wape - ningspercentage mogelijk, waardoor uiteindelijk het maximaal opneembaar moment aanzienlijk hoger uitvalt. ? Scheurvorming is maatgevend indien geen voorspanning wordt toegepast. In de SLS leveren de vezels een grote bijdrage aan het opneembaar moment. ? VVUHSB is bij uitstek geschikt voor het opnemen van hoge drukkrachten. Het toepassen van voorspanning leidt dan ook tot slanke constructies, die hoge belastingen op kunnen nemen. 2a 2b 2c Dwarskracht- en kolom berekening VVUHSB 88 6 2 0 11 (w 0,3 ) [N/mm 2 ] 0 0,3 mm w lim w gemiddeld verloop van testresultaten Op grond van voorgaande resultaten en overwegingen wordt voor het betonaandeel in de afschuifcapaciteit de ondergrens volgens [2] aangehouden. Het verschil tussen de beide schuif- weerstanden volgens [2] is gering, zeker in relatie tot de bijdrage van de vezels aan de afschuifweerstand, hetgeen onderstaand nader ter sprake zal komen. Bovendien is het in dat geval niet noodzakelijk dat de hoeveelheid toegepaste buig- trekwapening bekend is. Het betonaandeel in de afschuifweer - stand conform [3] wordt als te optimistisch verondersteld. De afschuifcapaciteit van de vezels Uit verscheidene onderzoeken is gebleken dat de staalvezels in de opname van de dwarskracht een significant aandeel leveren. [2] biedt geen mogelijkheid dit aandeel in rekening te brengen. Om deze reden is voor het vezelaandeel in de dwarskrachtcapa- citeit wel teruggevallen op [3]. Volgens [3] geldt: V f = S eff . ? p _________ ? bf tg.( ? u ) waarin: S eff = 0,9 . b . d (= effectief vezelgebied) ? p = 1 __ k . 1 ____ w lim . ? 0 w lim ?(w) . dw (restwaarde treksterkte) w lim = L c . ? lim ? aanhouden: w lim = w(0,3) = 0,30 mm k = vezeloriëntatiefactor ? bf = partiële materiaalfactor ? u = hoek tussen drukdiagonaal en langsas van het element Een belangrijk nadeel in de benadering volgens [3] is het bepalen van de na-scheursterkte met een integraal. Met de na-scheursterkte wordt de treksterkte bedoeld die resteert na het ontstaan van de eerste scheur. De integraal beschrijft het oppervlak onder het ?-?-diagram dat betrekking heeft op het trekgebied. Dit gebied is in figuur 3 weergegeven. Door de integraal te delen door w lim wordt een gemiddelde resterende trekspanning verkregen. Het bepalen van de integraal is omslachtig en afhan- Een laatste belangrijk onderscheid tussen [2] en [3] is gelegen in het optreden van afschuiftrekbreuk. In [2] wordt een alterna- tieve berekeningswijze gegeven voor het bepalen van het betonaandeel in de afschuifweerstand. Deze berekeningswijze is gebaseerd op het bepalen van hoofdspanningen en is geldig voor dwarskrachtgebieden waarin het moment kleiner is dan het scheurmoment. Ter illustratie is navolgend een rekenvoorbeeld gegeven voor een balk met een doorsnede b · h = 400 · 600 mm 2 (d = 0,9 . h = 540 mm), betonsterkteklasse C170/200, zonder dwarskrachtwa- pening en voorspanning. Voor [2] is zowel de ondergrens als de waarde inclusief de invloed van langswapening (verder: boven- gens) in beschouwing genomen. NEN-EN 1992-1-1 [2], ondergrens V Rd,c = 0,035 . k 3/2 . ? ? ___ f ck . b w . d V Rd,c = 0,035 . 1,609 3/2 . ? ?____ 170 . 400 . 600 V Rd,c = 201 . 10 3 N NEN-EN 1992-1-1 [2], afschuiftrekbreuk V Rd,c = I . b w ____ S . ?? ________________ ( f ctd ) 2 + ? 1 . ? cp . f ctd waarin: f ctd = 5,3 N/ mm 2 en ? cp = 0 N/ mm 2 zodat: V Rd,c = 848 . 10 3 N NEN-EN 1992-1-1 [2], bovengrens V Rd,c = ( C Rd,c . k . (100 . ? 1 . f ck ) 1/3 + k 1 . ? cp ) b w . d waarin: ? cp = 0 N/ mm 2 zodat: V Rd,c = 0,12 . 1,609 . (100 . 0,0104 . 70) 1/3 . 400 . 540 V Rd,c = 234 . 10 3 N AFGC / Setra 2002 [3] V Rb = 1 __ ? E . 0,21 ____ ? b . k . ?? __ f cj . b 0 . d V Rb = 0,21 ____ 1,5 . 1 . ? ?____ 170 . 400 . 540 V Rb = 394 . 10 3 N 3 Dwarskracht- en kolom berekening VVUHSB 89 6 2 0 11 3 Experimenteel bepaald ver - loop trekgebied ?-?-diagram De reden van deze begrenzing is tweeledig. Op de eerste plaats wordt door [3] bij berekening van het vezelaandeel in de dwarskrachtcapaciteit de hoek van de betondrukdiagonaal op 30° gelimiteerd. Voorts wordt binnen [2] het principe gehan- teerd dat bij het overschrijden van de door het beton op te nemen schuifspanning dit betonaandeel niet van de reken- waarde van de schuifspanning mag worden afgetrokken om tot berekening van de benodigde dwarskrachtwapening te komen. Met andere woorden: als het toepassen van dwarskrachtwape- ning noodzakelijk is, moet het betonaandeel buiten beschou- wing blijven. Ten opzichte van NEN 6720 staat daar een hoek van de betondrukdiagonaal tegenover waarvoor een minimum waarde van 21,8° mag worden aangehouden. Nu kunnen de vezels in VVUHSB als wapening worden opgevat, maar evenzo als onderdeel van het betonmengsel. Een veilige benadering van de dwarskrachtcapaciteit wordt verkregen door het aandeel van de conventionele wapening en het aandeel van de vezels op te tellen, óók bij het overschrijden van de afschuifcapaciteit van louter het beton, mits de hoek van de betondrukdiagonaal op 30° wordt begrensd. In formulevorm volgt dan: V tot = V b + V s + V f in het geval de door het beton opneembare schuifspanning niet wordt overschreden; V tot = V s + V f in het geval de door het beton opneembare schuifspanning wél wordt overschreden. ? u = ? ? 30° Hierin is V tot de totale afschuifcapaciteit, V c het aandeel van het beton, V s het aandeel van de wapening en V f het aandeel van de vezels in deze afschuifcapaciteit. Conclusie dwarskracht De dwarskrachtweerstand van VVUHSB is aanzienlijk hoger dan van conventioneel beton. Dit wordt veroorzaakt door een kleine toename van de dwarskrachtweerstand van de betonma- trix, maar vooral door de toevoeging van vezels. Door de invloed van de vezels is zelfs zonder voorspanning zelden dwarskrachtwapening nodig. Een veilige benadering van de dwarskrachtweerstand wordt verkregen door het aandeel van de vezels bij dat van de wapening op te tellen, ook wanneer de door het beton opneembare schuifspanning wordt overschre- den. De drukdiagonaal wordt gelimiteerd op 30°. Kolomberekening De laatste stap in het maken van de meest primaire berekenin- gen ten behoeve van elementen vervaardigd uit VVUHSB betreft de kolomberekening. Voor het maken van de kolombe- rekening is dezelfde methodiek gevolgd als gangbaar binnen kelijk van het toegepaste mengsel. Uit literatuurstudie is geble- ken dat een veilige benadering wordt verkregen door ? p gelijk te stellen aan ? (w 0.3), dat wil zeggen de spanning waarbij een scheurwijdte van 0,30 mm optreedt. Voor het oppervlak waar - over de vezels actief zijn, geldt dan een waarde van 0,9 · b · d. Voorbeeld Gegeven een balk met de afmetingen b · d = 400 · 600 mm 2 met een toegepast vezelpercentage van 2,15%. De hoek van de betondrukdiagonaal bedraagt 45° (? u = 45°). Dan volgt: V f = S eff . ? p _________ ? bf tg ( ? u ) = 0,9 . b . d . ?( w 0,3 ) k _______________ ? bf . tg (45°) waarin: ?( w 0,3 ) k = karakteristieke waarde van de spanning bij w = 0,30 mm ofwel: ?( w 0,3 ) k = ? bf . ?( w 0,3 ) met ?( w 0,3 ) = 5,3 N/mm 2 ? ?( w 0,3 ) k = 8 N/mm 2 dan volgt: V f = 0,90 . 400 . 540 . 5,3 _________________ tg (45°) = 1030 . 10 3 N Bij vergelijk van het betonaandeel overeenkomstig de onder - grens van [2] en het vezelaandeel overeenkomstig [3] in de opname van de dwarskracht, valt direct het grote verschil tussen beide op. Vezelversterkt beton blijkt ? ten opzichte van conventioneel beton ? een aanzienlijke toename in de dwars- krachtcapaciteit te vertonen. De afschuifcapaciteit van de dwarskrachtwapening Een derde component in de dwarskrachtcapaciteit betreft de dwarskrachtwapening. Hierbij wordt de hoek tussen de beton- drukdiagonaal en de langsas van het betreffende element begrensd op 30° in plaats van de ? volgens NEN-EN 1992-1-1 ? minimaal toegestane waarde van 21,8°. Dwarskracht- en kolom berekening VVUHSB 90 6 2 0 11 h xu xu - ds2 ds2 s2 s1 s2 s1 ds1 ds ds - xu A s1 A s2 NL cu3 = 2,6? xu xu h ds2 xu - ds ds As1 As2 NL c3 = 2,3? cu3 = 2,6? xu xu h ds2 xu - ds ds As1 As2 NL s1 c3 = 2,3? s2 cu3 = 2,6? N u _______ f cd . b . h . e t __ h ?' . ?'+ ( ? s2 + ? s1 ) . ? __ f cd . (½ ? k di ) Als: N u _______ f cd . b . h = ? n dan is: N u _______ f cd . b . h . e t __ h = ? n . e t __ h En als: N u _______ f cd . b . h . e t __ h = ? m dan is: ? m = ? n . e t __ h en volgt: e t = ? m ___ ? n . h ? = A s (per zijde) ___________ b . h ? tot = 2 . ? Voorgaande formules zijn geldig voor kolommen met een tweezijdige symmetrische wapening. Voorts is het voor VVUHSB kenmerkende trekgebied buiten beschouwing gelaten. De kolomgrafiek is berekend voor wapeningspercenta- ges van 0 t.m. 4%. De kolomgrafiek is weergegeven in figuur 5. [2]. De meest eenvoudige wijze om tot een kolomberekening te komen, is gebruik te maken van kolomgrafieken, zoals deze in de GTB zijn weergegeven. Omdat een kolomgrafiek voor VVUHSB C170/200 niet beschikbaar is, is met een spreadsheet berekening een kolomgrafiek opgesteld. Bij het opstellen van deze grafiek zijn ? analoog aan de kolomgrafieken voor conventioneel beton ? drie markante gebieden onderscheiden, namelijk: 1 Het drukgebied bevindt zich volledig binnen de doorsnede van de kolom. 2 De neutrale lijn bevindt zich buiten de doorsnede van kolom, terwijl ? c3 nog binnen de kolomdoorsnede valt. 3 Zowel de neutrale lijn als ? c3 bevindt zich buiten de door - snede van de kolom. Deze gebieden zijn in figuur 4a t/m 4c weergegeven. In formulevorm geldt: k xu = x u __ h y = ? . x u ?' = ? . x u __ h = ? . k xu ?' = ½ ? ? . x u __ h = ½ ? ? . k xu k di = d si __ h k h = d s __ h = 1 ? k di N u _______ f cd . b . h = ?' + ( ? s2 + ? s1 ) . ? __ f cd 4a 4b 4c Dwarskracht- en kolom berekening VVUHSB 91 6 2 0 11 Ductal FM / AF C170 / 200 tot = 2 · A s;tot = 2 · · A c Wap.verhouding (per zijde) = e/h = 0,10 1,200 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0,000 1,400 buiging en normaalkracht B500 B a / h = 0,10 0,01 0,02 0,03 0,04 0,00 M f cd · b · h 2 N f cd · b · h 4a Gebied 1 4b Gebied 2 4c Gebied 3 5 Kolomgrafiek C170/200 Conclusie kolomberekening Door een combinatie van een hoge opneembare drukspanning en een hoger toelaatbaar wapeningspercentage is (VV)UHSB een uitermate geschikt materiaal voor het creëren van sterke, slanke kolommen. Met de opgestelde kolomgrafieken kunnen er volgens de gangbare methodiek berekeningen voor UHSB- kolommen worden uitgevoerd. Eindconclusie Op grond van de gepresenteerde elementaire rekenmodellen voor buiging, dwarskracht en de combinatie van buiging en normaalkracht kan tot slot worden geconcludeerd dat VVUHSB een materiaal is met vele toepassingsmogelijkheden voor alsmaar complexer wordende constructies en gebouwen die vragen om materialen met steeds betere constructieve eigenschappen. Meer informatie Voor meer infomatie over VVUHSB en rekensheets zie www.uhsb.nl . ? ? BROnnEn 1 Ketel, J.A., Willemse, R.F., Van Rijen, P. & Koolen, E., Reken- model VVUHSB. Cement 2011/3. 2 NEN-EN 1992-1-1: Eurocode 2: Ontwerp en berekeningen van betonconstructies ? Deel 1-1, Algemene regels en regels voor gebouwen. 3 AFGC / Setra 2002, Ultra High Performance Fibre-Reinfor - ced Concretes, Interim Recommendations. Association Française de Génie Civil, Groupe de Travail BFUP. 4 Prisco, M. di, Pizzari, G. & Vandewalle, L., Fibre reinforced concrete : New design perspectives. RILEM 2009. 5 Chanwillard, G., & Rigaud, S, Complete characterisation of tensile properties of Ductal UHPFRC according to the French recommendations. Lafarge Labortoire Central de Recherche, St. Quentin Fallavier (France). 6 Bétons fibrés à ultra-hautes performances recommanda- tions provisoires. Association Française de Génie Civil (AFGC), Service d'études techniques des routes et auto - routes (Setra). 2002. 7 Ductal, Mechanical Performances, Lafarge. 8 Bruin, H.J. de, Voorgespannen spoorbrug in hogere sterkte beton, slank, slanker, slankst! Afstudeerproject TU Delft, Utrecht 2003. Holland Railconsult. 9 Walraven, J.C., High strength concrete. College 2009, TU Delft, sectie Betonconstructies. 10 Walraven, J.C., Hoge sterkte beton : van idee naar realisa- tie. TU Delft, sectie Betonconstructies. 11 Schmidt, M. & Fehling, E., Ultra-High-Performance Concrete : Research, Development and Application in Europe, 2003. 12 Naaman, A.E., High Performance Fiber Reinforced Cement Composites. Department of Civil and Environ- mental Engineering University of Michigan, 2003. 13 Wiens, U. Sachstandbericht UHFB Druckfassung 2007-05- 21. DafStb, Duitsland, 2007. 14 Schachinger, I. , Schubert & J. Mazanec, O. Effect of Mixing and placement Methodes on Fresh and Hardened Ultra High Performance Concrete (UHPC). 1st symposium Kassel, Duitsland, 2004. 5 Het eerste artikel, 'Rekenmodel VVUHSB' is beschikbaar op www. cementonline .nl. In de online versie van dat artikel zijn enkele correcties doorgevoerd t.o.v. het artikel dat is verschenen in Cement 2011/3.