ir.P. de Jongadviesbureau ir.J.G.Hageman c.L BV,RijswijkZHDoorbuigingsberekeningenvoor betonconstructiesInleidingMet name in verband met schadegevallen blijkt in de praktijk de behoefte aan een meer'verfijnde' beoordelingsmethode voor de doorbuiging dan via de in de VB 1974 art. E-S07gegeven slankheidseis mogelijk is. Daarom is destijds een CUR-VB-commissie opgericht,die tot taak kreeg een methode tot beoordeling van de doorbuigingen en een daartoebenodigde berekeningsmethode op te stellen. Hoewel het werk van deze commissie nogniet is afgerond, is door TNO-IBBC wel een berekeningsmethode opgesteld voor construc-ties van gewapend beton. Deze methode is gepubliceerd in Cement 1977 nr. 8 en9 [1].Omdat de afgeleide berekeningswijze in veel gevallen tot grotere rekenkundige doorbuigin-gen leidt dan op grond van de in de VB gegeven slankheidseis verwacht zou worden, werd devraag gesteld of een wijziging van de VB 1974 op dit punt noodzakelijk was. Het daartoebenodigde onderzoek is uitgevoerd in het kader van Voorschriftencommissie X van deStichting CUR-VB 'Voorbereiden van wijzigingen en aanvullingen van de VB 1974 op con-structief gebied'. Deze commissie heeft een voorstel tot wijziging van art. E-S07 opgesteld.Wijziging van deel E zou daarbij plaatsvinden door invoering van een nieuwe slankheidseisvoor gewapend beton. Na het gereedkomen van het wijzigingsvoorstel werd echter beslotende wijziging niet doorte voeren. Reden hiervoor was onder andere de wenselijkheid eerst dewijziging van de doorbuigingseisen in de TGB-Algemeen af te wachten. Hoewel dus -voorlopig - van wijziging van de slankheidseis is afgezien, werd het wel nuttig geacht eenpublikatie aan deze materie te wijden, met name om de in de commissie verkregen inzichtenaan een groter publiek kenbaar te maken.Het onderwerp 'doorbuiging van beton- 1.constructies is nog steeds in discussie. In devoorschriften blijkt het nog nietgoedmoge?lijk een technisch en economisch aan-vaardbare grenswaarde op te stellen. De VB1974 geeft een eenvoudige slankheidseis.De TGB-Algemeen eist een bijkomendedoorbuiging van maximaal 0,003 e.Het is echter moeilijkom de werkelijk optre-dende doorbuiging, met name ten gevolgevan lange-duurbe/asting, te berekenen.Omtrentde meest realistische en praktischeberekeningsmethode bestaan verschillendeinzichten. In Cement 1981 nr. 10publiceer-den we een artikel van ing. WA de Bruin,'Bepaling van "de buigstijfheid" van gewa-pend beton '. De door De Bruin voorgestelderekenmethode gaat uit van een stijfheidseis.In de daarbij geplaatste redactionele inlei-ding werd al de verwachting uitgesprokendat meer artikelen over dit onderwerp zou-den volgen. Het nu geplaatste artikel vanir. P. de Jong geefteen berekenings- metho- 2. Theorie voor doorbuigingsberekeningende die gebaseerd is op een slankheidseis. Voor het bepalen van de krachtsverdeling in de grenstoestand met betrekking tot de bruik-In CUR-VB-verband is het onderwerp bestu- baarheid komen in principe twee theorie?n in aanmerking, de lineaire en de niet-lineairedeerd in commissie C24 'Doorbuigingen'. elasticiteitstheorie (resp. aan te duiden met LE en NLE).De commissie heeft haar studiewerk afge- De LE gaat uit van ongescheurd beton en is als zodanig in de meeste gevallen niet geschiktrond. Het rapport is in bewerking;publikatie voor het berekenen van de doorbuiging. De enig toepasbare theorie is dan de NLE; hierop iservan is te verwachten in de eerste helft van ook het bestaande art. E-S07 gebaseerd. Het nadeel van de NLE-zoals gedefinieerd in deVB1983. Red. - is echter dat van volledig gescheurd beton wordt uitgegaan (treksterkte .is nul). In tegen?stelling tot sterkteberekeningen is het echter bij deberekening van de stijfheid niet noodza-kelijk en ook niet re?el om de bijdrage van de treksterkte volledig te negeren. De sterkte vaneen constructie wordt bepaald doorde zwakste doorsneden (bij statisch bepaaldeconstruc-ties door slechts ??n doorsnede), terwijl de stijfheid wordt bepaald door de doorsnede-eigenschappen van de gehele constructie.Wanneer wordt uitgegaan van een zo re?el mogelijk verband tussen buigend moment enkrommingen wordt de invloed van de treksterkte 'automatisch' in rekening gebracht. Uitverschillende proeven is gebleken dat het genoemde verband in het algemeen voldoendenauwkeurig kan worden weergegeven door drietakkige M-K-diagrammen. De in werkelijk-heid optredende 'overgangsbogen' tussen de rechte lijnen worden verwaarloosd. In defiguren 1 en 2 zijn schematisch twee M-K-diagrammen voor respectievelijk een laag en eenhoog wapeningspercentage (wo) weergegeven.In deze diagrammen kan het gearceerde deel als gebied van de 'tension-stiffening' (stijf-heidsvergroting t.o.v. de NLE) worden aangeduid; men kan het genoemde begrip ookaanduiden als de afwijking tussen het werkelijke gedrag en het gedrag, berekend op basisvan de NLE. Het is duidelijk dat de invloed van de tension-stiffening het grootst is bij de lagewapeningspercentages; met andere woorden: hoe groter het wapeningspercentage hoebeter de NLE het werkelijke stijfheidsgedrag benadert.Omdat in een doorbuigingsberekening ook de invloed van de kruip verwerkt dient teworden, zijn twee M-K-diagrammen nodig, ??n voor korteduur en ??n voor langeduurbelasting. Daarnaast isin verband met mogelijke doorbuigingen ten gevolge van krimp eenderde M-K-diagram nodig. In figuur 3 zijn de drie genoemde diagrammen gedefinieerd. Dezediagrammen worden ook gehanteerd in door TNO-IBBC opgestelde rapporten in het kadervan CUR?VB-commissie C 24 'Doorbuiging'.Cement XXXIV (1982) nr. 10 632Mtehsion- sfiffeningMuMK1-2M-K-diagrammen vOor respectievelijk eenlaag en een hoog wapeningspercentageDe grootheden, waarmee de diagrammen worden vastgelegd, zijn:~ elasticiteitsmodulus Eb;~ dein rekening te brengen kruipco?ffici?nt lp;~ scheurmomenten bijkorteduur (Mrd) en langeduur belasting (Mrt);- momenten en krommingen, waarbij de wapening begint te vloeien (Med, I(ed resp. Met, Ket);- krommingen ten gevolge van krimp (zie punt 5).Met het bovenstaande is een algemene berekeningsmethode (AM) vastgelegd \loor deberekening van de krommingen als functie van de optredende buigende momenten. Aan dehand van het berekende momentenverloop over de ligger kan het krommingsverloop wor-den bepaald, waaruit de maximale doorbuiging kan worden berekend.De genoemde theorie beoogt primair het vastleggen van een methode ter bepaling van destijfheid c.q. doorbuigingen in 'absolute' zin; de methode zou echter ook kunnen wordengebruikt om de krachtsverdeling te bepalen. Principieel kunnen krachtsverdeling en vorm-veranderingen niet worden losgekoppeld. Voor praktisch gebruik is I.oskoppeling in demeeste gevallen echter wel verantwoord en in verband met de gewenste eenvoud in bereke-ningsmethodiek ook wenselijk.3. Vergelijking algemene methode (AM) met deNLEUit de in figuur 3 gegeven M-K-diagrammen valt af te lezen, dat de totale doorbuiging (c.q.zakking in de eindtoestand), berekend volgens de NLE (zie stippellijn), altijd groter is dan dieberekend volgens de AM (afgezien vankrimpinvloeden). De NLE kan worden beschouwd alseen ondergrens van de AM. De NLE geeft dus altijd een veilige benadering voor de zakking inde eindtoestand. Een groter bezwaar van de NLE is, dat vrijwel altijd een aanmerkelijkgrotere nuttige hoogte nodig is dan in de praktijk gebruikelijk is en volgens de huidigeslankheidseis is voorgeschreven. Dit lijkt in tegenspraak met het feit dat de slankheidseisvan de VB eveneenS op de NLE is gebaseerd. Deze discrepantie is te verklaren doordat in deafleiding van de VB-formule (zie toelichting E-50?) voor elke (l) eenzelfde lage waarde van kx= 0,1 is ingevoerd (1 ~ kx = 0,9); de werkelijke waarde van kx in het gebruiksstadium kan bijhoge (l) veel groter zijn. Bovendien is geen rekening gehouden met de kruip en de krimp.Om de gedachten te bepalen is in figuur 4 schematisch de toelaatbare slankheid (e/h)gegeven als functie van het wapeningspercentage, respectievelijk volgens de NLE, de AM endeVB-eis.Een tweede belangrijk bezwaar bij toepassing van de NLE is, dat hierbij de bijkomendedoorbuiging - die bij de beoordeling van de stijfheid van constructies meestal belangrijkeris dan de zakking in de eindtoestand ~wordt onderschat. Dit wordt veroorzaakt doordat hetbeton vanaf het begin gescheurd wordt verondersteld, zodat een te grote waarde van dedirect optredende doorbuiging wordt berekend, waaruit een te kleine waarde \loor debijkomende doorbuiging volgt.3Drie M-K-diagrammen (korte- enlange-duurbelasting en krimp)voor Mp < Mrdvoor Mp < Mrtvoor Mp > MrtvoorMm> MrdvoorMm< MrdKtp = Mrt + Mp-MrtEIt EIgt-~Ktp - EIt_ Mrd + Mm- MrdKdm- EId EIgdKdm = MmEId5. Uitwerking M- K -diagram voor gewapend betonUit de in figuur 3 gegeven M-K-diagrammen valt af te lezen:Kdp = Mrd + Mp ~ Mrd voor Mp > MrdEId EIgd~~Kdp ~ EId4. BenaderingsmethodenIn zijn algemeenheid dient de constructeur te worden aanbevolen de optredende doorbui-gingen te berekenen. Hierbij kan gebruik worden gemaakt van M-K-diagrammen, zoals infiguur 3 zijn gegeven. Hieruit zijn op vrij eenvoudige wijze de krommingen en krommings-toenamen tengevolge van verschillende belastingen te bepalen. Het bezwaar hiervan is datvoor het tekenen van diagrammen betrekkelijk veel rekenwerk nodig is. Er is daarom naargestreefd uit de theorie praktisch hanteerbare regels af te leiden, waarvan de resultaten zogoed mogelijk met die van de AM overeenkomen.Gekozen is voor een uitwerking tot een slankheidseis, vooral met het oog op het feit dat diteen bij constructeurs ingeburgerd begrip is. Ook buitenlandse voorschriften hanteren ditbegrip. Uiteraard zijn er ook andere uitwerkingen mogelijk, bijv. het geven van een reken-waarde voor de stijfheid (equivalente c.q. gemiddelde 1::1). Deze benadering leidt echter niettot een eenvoudiger rekenmethode. Evenals de slankheid is de stijfheid namelijk van eengroot aantal factoren afhankelijk, o.a. van de belasting. Een methode, die gebruik maakt vaneen rekenwaarde voor de stijfheid, is gepubliceerd in Cement 1981 nr. 10. [2].M-Kd -diagram(korte duur) h ~ 34,72 Kbi) hwaarin:K", = KIp + Kdm -Kdp + KrpKbi] = K", - Kdp + V2 . (Kdm - Kdp)De laatste term in de formule voor Kbij houdt verband met het feit dat de permanentebelasting hier gedefineerd is als de werkelijke permanente belasting vermeerderd met Y3deel van de veranderlijke belasting.Bij de nadere uitwerking is nog het volgende gesteld:f- het breukmoment Mubedraagt Mu = oofabh2 . (1 - 0,5500' fb);- de breukveiligheid is y = ~~;- de verhouding tussen permanente belasting (incl. Y3 deel van de veranderlijke belasting) entotale belasting is ~ = ~;- teneinde het aantal variabelen enigszins te beperken is de grootte van de krimp gekoppeldaan de grootte van de kruip: Er = 10-4c"\"' B-30.$~'\ "-J,?.1\"'~B-6O>~ c--e-c -+-~oo--~c- "'"--- -- --FeB'"I ~"l~~ Fee 40FeB 400~ r8'" "",,"'":::::..." Ir Fe 5 0~ - - - -- > ti - . ""~~"it-..la 8lFeB 500~=~~~~~...... ....::::: ~~ ::::I"'-- ... -f---....!":o:- -< Wb(kN/m )-IA3 4 6 7 910 2 30 40 50 60 70 8090125201535306Relatie tussen de slankheid I/h en debelasting qk/b, voorde staalsoorten FeB 400en FeB 500De volledige slankheidsformule luidt nu:1'... = 15nwo . 400 . ..1.':!-?1,4?(1-0,llp)?(1 +0,04nw?)h nwo-l fa 1,77Invloed van overdimensionering op detoelaatbare slankheidDeze formule lijkt op het eerste gezicht bewerkelijk; in de meeste praktische gevallen kanechter volstaan worden met de eerste factor uit de formule, omdat de overige factoren veelalgelijk zijn aan ??n. Zo geldtten aanzien van de invloed van kruip het volgende: De maximalekruipco?ffici?nt bedraagt volgens deel A globaal lp= 4,0. Voor de berekening van dedoorbuiging is het verantwoord de kruipco?ffici?nten met een factor 3/4 te vermenigvuldi-gen. Hiermede wordt de maximaal in rekening te brengen kruipco?ffici?nt lp = 3,0 en defactor in de slankheidsformule: 1,4? (1 - 0,1 lp) == 1,0. Dit houdt in dat met genoemde factorslechts rekening behoeft te worden gehouden indien een kleinere kruipco?ffici?nt kanworden aangetoond dan lp = 3/4 , 4,0 = 3,0.De slankheidsformule is afgeleid voor rechthoekige liggers; bij T-balken, kanaal platen e.d.kan beter een berekening volgens de algemene methode (via M-K-diagrammen) wordenuitgevoerd.8. Consequenties voor de praktijkOp het eerste gezicht lijkt de gegeven slankheidsformule aanmerkelijk zwaardere construc-ties te vereisen dan de VB-eis. Bij nadere beschouwing blijken de praktische consequentiesechter mee te vallen. Dit wordt veroorzaakt doorhet feit, dat ook de sterkte-eis een rol speeltbij de keus van de slankheid. Evenals bij doorbuiging kan ook voor de sterkte een slankheidals functie vanhetwapeningspercentageworden berekend. Voor liggers op twee steunpun-ten geldt:eti0,08 wokzufaqk . yubmet: kzu = 1-0,0055 wo' ;6Door combinatie van beide slankheidsformules ontstaat bij eliminatie van Wo een verbandtussen de slankheid e/h en de belasting C::, Dit verband is in figuur 6 gegeven voor de staal-soorten FeB 400 en FeB 500.Voor platen geldt dat de slankheidsformule tot dikkere vloeren leidt bij (totale) belastingengroter dan circa 6,0 kN/m2 bij FeB 400 en circa 12 kN/m2 bij FeB 500. Bij liggers geldt dit voor(totale) belastingen groter dan 15 ? 30 kN/m2 bij toepassing van FeB 400 en groter dan 40 ?100 kN/m2 bij FeB 500. Voor een ligger met bijvoorbeeld een breedte van 0,5 mkomt ditovereen met een belasting van 7,5 ? 15kN/m resp. 20 ? 50 kN/m. De slankheidsformule kandus in sommige gevallen tot minderslanke constructies leiden dan volgend uitde VB-eis. Deconsequenties hiervan voor de praktijk zijn waarschijnlijk niet zo ingrijpend, omdat hetstreven naar zo slank mogelijke constructies in verband met de daarbij snel toenemendebenodigde wapening niet zo aantrekkelijk is. Speciaal bij vloerplaten kunnen ook de eisenmet betrekking tot geluidwering een rol spelen bij het bepalen van de vloerdikte. Voorvloeren in de woningbouw geldt overigens dat meestal FeB 500 wordt toegepast; hierbij zalde slankheidsformule zelfs tot iets slankere constructies leiden.Cement XXXIV (1982) nr. 10 6369. OverdimensioneringDoordat in de slankheidsformule het aanwezige wapeningspercentage en de daarbij beho-rende breukveiligheid zijn opgenomen, kan ook de invloed van overdimensionering OP detoelaatbare slankheid worden nagegaan. In figuur 7 is hiervan een voorbeeld gegeven. Uitde grafiek blijkt dat het opvoeren van de hoeveelheid wapening bij lage belastingen weinigeffect sorteert. Naarmate de belasting groter wordt, wordt de invloed van meer wapeningeveneens groter. Dit is verklaarbaar als men bedenkt, dat bij lage belastingen het betonongescheurd is en bij hoge belastingen een steeds verdergaande mate van scheurvormingzal optreden; hierdoor wordt de stijfheid in toenemende mate bepaald door de hoeveelheidwapening. Het opvoeren van de slankheid door toepassen van een overmaat aan wapening(Yu> 1,7) is dus, hoewel economisch niet aantrekkelijk, toegestaan. De wapening dient welbeperkt te blijven tot het grenswapeningspercentage.10. Rekenvoorbeeld statisch bepaalde liggerOm de toepassing van deslankheidsformule te verduidelijken, wordt hier een voorbeelduitgewerkt:Gegeven: op twee steunpunten vrij opgelegde plaat met een overspanning van ( = 5,00 m;betonkwaliteit B 17,5:; staalsoort FeB 400; kruipco?ffici?nt lp = 3f4. 40 = 3,0; veranderlijke +rustende belasting: 2,5 kN/m2.gevraagd: de minimaal toelaatbare vloerdikte.UitwerkingDe gevraagde vloerdikte wordt geschat op hl = 0,18 m; nuttige hoogte: h = 0,16 m.totale belasting: qk = 0,18' 24 + 2,5 =6,82 kN/m2maximum buigend mOment: Md = 1,7' 118 ? 6,82' 5,02 = 36,2 kNm/mGTB-tabel 11.3.b: Md _ 36,2 -1410 - 0 375?/bh2 -0,162 - ->000 - , /0Slankheid:(h15nwonwo-1met nwo = 7,6 . 0,375 = 2,85, fa = 400 N/mm2 en Yu = 1,7 volgt:{ = 15? 2,85 = 231h 1,85 ' ->h - 5,0 - 0 22- 231 -, m.Gekozen was een nuttige hoogte van 0,16 m; deze blijkt dus niet te voldoen. Met nadrukwordt erop gewezen dat de conclusie uit de berekening niet mag zijn, dat de nuttige hoogteh == 0,22 m dient te bedragen. Er dient een nieuwe hoogte te worden geschat, waarbij eenbijbehorend wapeningspercentage moet worden bepaald. Teneinde de vloerdikte directgoed te schatten, kan gebruik worden gemaakt van figuur 6.Stel ht = 0,21 m (h == 0,19 m) -> qk = 0,21 ?24 + 2,5 = 7,54 kN/m2Uitfiguur 6 volgt dan-> ~= 26,7, Zodat hben. = 25607 = 0,187 m.Deze vloerdikte voldoet dus. Bij gebruikmaking van de grafiek blijft de berekening beperkttot een juiste bepaling van de totale belasting.11. Statisch onbepaalde liggersVoor statisch onbepaalde liggers kan de afgeleide slankheidseis worden gebruikt wanneervoor ( een 'equivalente' waarde (min. wordt ingevoerd. De (min. dient zodanig te wordenbepaald, dat de randvoorwaarden juist in rekening worden gebracht. De doorbuiging wordtniet of nauwelijks be?nvloed door het toepassen van herverdeling. Het maakt met anderewoorden nauwelijks uit of de wapening wordt gebaseerd op de elastische momenten of opeen hiervan afwijkende momentenverdelingIn het geval dat is weergegeven in figuur 8 kan worden gewapend op de 'elastische'momenten (1/12 resp. 1/24) of de 'herverdeelde' momenten (1116 resp. 1116). De doorbuiging isin beide gevallen vrijwel gelijk; dit kan globaal worden verklaard doordat in beide gevallende randvoorwaarden en de gemiddelde stijfheid gelijk zijn en alleen de verdeling van destijfheid over de ligger verSChillend is.Herverdeling kan verder buiten beschouwing blijven. Bepalend voor (min. zijn dan uitslui-tend de randvoorwaarden. Uit een nadere afleiding volgt dat (min. ook afhangt van dehoeveelheid wapening. Ter vereenvoudiging wordt als veilige benadering aangehouden:8Momentenlijn en wapening van een statischonbepaalde liggerP-:A=1wapenenvotgens el. mom.~ 11f,A Iwapenen volgens toegestaneherverdeling(min. =1-03Ke( ,waarin Ke = verhouding gemiddeld steunpuntsmoment en maximum veldmoment (tebepa-len met LE zonder herverdeling).Voor een aan beide zijden volledig ingeklemde ligger zou dan gelden:Ke = 2 -> (min. = 0,4 e{ter vergelijking: voor lineair elastisch materiaal geldt in dit geval: (min. = 0,3 ().Cement XXXIV (1982) nr. 10 637Omdat werkelijke inklemmingen echter nauwelijks voorkomen, zullen meestal hogere waar-den voor fmin. gelden. Zonder nadere berekening kan voor ingeklemde of doorgaandeliggers als veilige benadering worden aangehouden:tussenvelden: fmin. = 0,7 f;eindvelden : f min. = 0,85 f.Wanneer gunstiger randvoorwaarden kunnen worden aangetoond, dan mag fmin. wordenbepaald volgens de gegeven formule. Bij de bepaling van K~ dient dan wel rekening gehou-den te worden met eventuele verschillen in overspanningen van opeenvolgende velden enmet wel of niet belaste velden.Wanneer voor Wo de 'wapeningssom' Wat (som van de wapeningspercentages van de aanwe-zige veldwapening en de gemiddelde steunpuntswapening in het beschouwde veld) wordtingevoerd, kan nu voor doorgaande liggers dezelfde slankheidsformule worden toegepast.Behalve voorin ??n richting dragende liggers is de slankheidsformule ook toepasbaar voorvierzijdig opgelegde platen. Hierbij moet de berekening (inclusief de bepaling van Wat)worden betrokken op de kleinste overspanning (fx). Bij puntvormig ondersteunde platenwordt de procedure nogal gecompliceerd; de beste benadering wordt verkregen door uit tegaan van de diagonaallengte en een gemiddelde wapeningssom.12. Toepassing grafiekenIn de figuren 6 en 7 is de slankheidsformule 'vertaald' in een relatie tussen de slankheid en debelasting. De grafieken zijn geldig voor statisch bepaalde, tweezijdig opgelegde liggers enplaten. Door wijziging van de grootheden op de assen zijn ze echter bovendien bruikbaarvoor doorgaande liggers en vierzijdig opgelegde platen:verticale as: {. wordt f min.h hhorizontale as: qk wordt qk . (~)2 . cb b fmin.De factor c geeft deinvloed aan van de vierzijdige oplegging ten opzichte van een tweezijdi-ge oplegging. Deze is gelijk aan het quoti?nt van de momentensom in de richting van dekleinste overspanning en de momentensom behorend bij een tweezijdig opgelegde ligger(c = 0,125 qkfx2). De eerstgenoemde momentensomis te ontlenen aan tabel E-8.Voorbeeldengeval I - vierzijdig vrij opgelegde plaatfL = 12 c = 0,054=043f x ,-> 0,125 'geval IJ - vierzijdig ingeklemde plaatfL= 1 2 c =0,026 + 0,063 071f x ,-> 0,125 'geval 111 - ??n korte en ??n lange zijde ingeklemdfL =1 2 -> C =0,036 + 112 . 0,084 =062f x ' 0,125'De grafiek is niet toepasbaar voor puntvormig ondersteunde platen.13.at of niet belast ~J1??????t $i;****+**~~.~~~~::~ ,00 m .1 ,aa m ~9Belastingschema en momentenverloop vaneen vloerplaatCement XXXIV (1982) nr. 10Rekenvoorbeeld statisch onbepaalde liggerGegeven: vloerplaat volgens het schema van figuur 9.betonkwaliteit B 17,5, staalsoort FeB 400,kruipco?ffici?nt 3/4 . 4,0 = 3,0, veranderlijke belasting: 4,0 kN/m2rustende belasting: 0,5 kN/m2Gevraagd: minimaal toelaatbare plaatdikteUitwerkingDe gevraagde vloerdikte wordt geschat op ht = 0,20 m -> h = 0,18 m;eigen gewicht + rustende belasting: 0,20 . 24 + 0,5 = 5,3 kN/m2.Bij de bepaling van de krachtsverdeling is rekening gehouden met de mogelijkheid dat deveranderlijke belasting slechts op ??n veld kan optreden. Voor de sterkteberekening (bepa-ling benodigde wapening) is dit niet nodig. Immers de wapening die bepaald wordt in hetgeval dat beide velden belast zijn, is in verband met de toegestane herverdeling tevensgeschikt voor het opnemen van de momenten die optreden bij ??n onbelast veld. Het is dusvoldoende de momentenverdeling te bepalen bij volbelasting. Ook voor de controle van deslankheid is dit voldoende, omdat hierbij alleen de wapeningssom van belang is, terwijl dieslechts zeer weinig verandert bij een andere verdeling van demomenten.638Voor de benodigde wapening geldt:Msd = 1,7? 29,1 = 49,4 kNMsd _ 49,4 - 1520 -0 400/W - 0,182 ~. ->(?OS - , /0Mvd =1,7'16,4=27,9kNMvd _ 27,9 - 860 -022?/bh2 - 0,182 - .,..... (1)ov -, /0wapeningssom: (1)ot = Y2 ?0,4 + 0,22= 0,42%.Indien de wapeningssom direct uit de momentensom wordt bepaald, geldt:Md =1,7? 1/8 9,3'52 = 49,4kN _ (1)ot=0,40%.De keus tussen beide rnethoden iS vrij, omdat de geringe verschillen, gezien het globalekarakter van de berekening, niet van belang zijn. In tegenstelling tot (1)ot wordt de aan tehouden waarde voor emin. wel bepaald door het al of niet belast zijn van veld BC. Dit inverband rnet het bijbehorende verschil in randvoorwaarde (zie punt 11).Bij volbelasting zou gelden:291Ka = 2.16,4 =0,89.,..... emin. = (1-0,3' 0,89)' e = 0,73eBij alleen veld AB belast:228Ke = 2'1'8,7 =0,61 .,..... emin. = (1-0,3'0,61)' e = 0,82eDit houdt in dat de algemeen gestelde waarde van 0,85 eeen veilige benadering is, ookindien niet beide velden zijn volbelast. Het voorbeeld geeft tevens aan dat het dikwijls demoeite loont de waarde van emin. te berekenen, omdat in veelgevallen een lagere waarde zalworden gevonden dan 0,85 e(resp. 0,70 ebij tussenvelden).Controle van de slankheid, uitgaande van emin. = 0,82 eemin. _ 15n(1)ot ~ 15'7,6?0,40--h- - n(1)ot-1 - 7,6?0,40-1e 22,422,4_ ti = 0,82 = 27,2Cement XXXIV (1982) nr. 10h == ~70~ =0,183 m == 0,18 m.,..... ht = 0,20 mDe gekozen dikte voldoet dus.Controle met grafiek (fig.6):In het voorbeel is ervan uitgegaan dat de aanwezige wapening gelijk is aan de vereiste (Yu=1,7). In veel gevallen zal in werkelijkheid iets meer aanwezig zijn. Het heeft echter meestalweinig zin om te controleren of daarbij een dunnere vloer mogelijk is. Indien om bijvoor-beeld bouwkundige redenen een dunnere vloer vereist is, kan het uiteraard wel zinvol zijn. Inhet algemeen kost dat dan wel een aanzienlijke hoeveelheid extra wapening, vooral bij delagere wapeningspercentages (fig. 7).Vergelijking metVB-eis (art. E-507)benodigde dikte:aa 400h >7000' emin. = 17.7000 '0,85'5=0,143mDeze dikte is aanzienlijk minder (40 mm) dan volgens de slankheidsformule. Het is echterniet juist om hieruit te concluderen, dat de gegeven slankheidsformule in veel gevallen totdikkere vloeren zal leiden dan uit de VB-eis zou volgen. In dit verband geldt het volgende:- bij gebruik van de YB-eis zal bij toepassing van een hoeveelheid wapening, die gelijk is aande voorde sterkte benodigde hoeveelheid, de staalspanning minstens moeten wordenverhoogd meteen factor 18,7 : 16,4 = 1,14 (fig. 9); dit in verband met de twee verschillendemomentenlijnen (vergelijk art. E-305.3.7). De benodigde dikte wordt dan 20 mm groter.- In de meeste gevallen zal de verschilbelasting tussen de velden kleiner zijn dan volgens hetvoorbeeld. In die gevallen geldt een kleinere emin. en kunnen slankere vloeren wordentoegepast; de verschillen met de VB-eis zijn dan kleiner.- In vloeren wordt veel staal met de kwaliteit FeB 500 toegepast; de verschillen met deVB-eiszijn hierbij kleiner dan bij FeB 400 (vergelijk figuur 6).639prof.drs.E.M.TheissingCentraal Laboratorium, Verenigde BedrijvenBredero NV, MaarssenBetonsamenstellen in hetMidden-OostenEen Nederlandse aannemerschrijft in op eengroot betonwerk in het Midden-Oosten. In deberekening van de constructie kiest hij eenbetonkwaliteit met een karakteristieke druk"sterkte van 27 N/mm2. In Nederland is eendergelijke kwaliteit te bereiken met 320 kgcement per m3 beton. Bij een water-cementfactor van 0,55 kan hij dan rekenenop een zetmaat van 100 mm op de bouw-plaats. Deze gegevensgebruiktde calculatorvoorde prijsbepaling van deofferte. Hetwerkwordt de aannemer gegund. Dan begint debouw. De vereiste druksterkte van de proef-kubussen wordt op geen stukken na ge-haaid. Stagnatie is het gevolg. De deskundi-gen, die in allerijl worden opgeroepen,ko-men tenslotte op een samenstelling die80 kgmeer cement perm3 kost. Bij een prijs van hetcement, die ongeveer drie maal zo hoog ligtals in Nederland, tikt de verhoging stevigaan. Bovendien is er de ellende veroorzaaktdoor stagnatie.Deze geschiedenis geeft weer wat in een ietsandere vorm telkens weer terugkeert. Eenanalyse van het falen isdaarom opzijn plaats.In die analyse spelen temperatuur en mate-riaal een rol.TemperatuurDe specie bereikt in het Midden-Oosten nahet mengen 's zomers een temperatuur vanmeestal tussen de 30?Cen35?C. De tempera-tuur kan nog iets hoger zijn als het toeslag-materiaal uitsluitend vanuit het oppervlakvan de voorraadberg wordt genomen of ietslager wanneer de voorraad overdekt is. Detemperatuurvan despecieophetwerkwordtnog hoger als de truckmixer bijvoorbeeldeen half uur moet rijden.Een hoge temperatuur heeft drie conse-quenties voor de specie en het beton.1. Hoe hoger de verhardingstemperatuur,hoe lager de druksterkte na 28 dagen. Ver"becken Helmuthvondenvoorbeton, bij 10?Cverhard, een gemiddelde druksterkte van 42N/mm2. Voor beton met eenzelfde samen-stelling bij 40?C verhard, bedroeg de sterkteslechts 35 N/mm2. Dit gegeven is van belangvoor de sterkte van het beton in de construc-tie. Het gaat hierin eerste instantieechteromde kubusdruksterkte. Ook in een warm kli-maat wordt de kubus volgens de meestevoorschriften bij een temperatuur tot 25?Copgeslagen. Op debouwplaats is de bewaar-temperatuur echter vaak hoger dan op decentrale. Het verschil in druksterkte van ku-bussen verhard bij 20?C (volgens NEN 3861)en bij 30?C bedraagt niet meer dan 1,5N/mm2.De moraal die hieruit getrokken wordt luidtdan: voor de controleproef aandacht beste-den aan een opslagtemperatuur die gemid-deld niet hoger wordt dan 30?C en die nietaan te grote temperatuurschommelingenonderhevig is. Als opslag onder water naontkisten geoorloofd is, dan isdateengoedemaatregel. Vooral in de zomer is een natteopslag van kubussen op het werk van grootbelang. Meer nog dan op het werk zelf kan deplastische krimp in een kubus in de eerstedag tot scheuren leiden of tot ontoelaatbarevervormingen (foto 1). De verdamping vanwater kan het dan van de aanvoer naar hetbovenoppervlak winnen. De plastischekrimp is des te groter als dekorrelverdelingvan het toeslagmateriaal discontinu is. In hetMidden-Oosten heeft men vaak te makenmet redelijk grof grind en fijn zand. De ku-bussen moeten snel na het vervaardigen inde vochtige ruimte worden gebracht of met-een zeer goed worden afgedekt.Voorde verhardingsproef heefteen vochtigeopslag buiten bij hogetemperatuurzin, alsersnel ontkist moet worden. De sterkte na 1dagwordt namelijk bij hogere temperatuur welveel beter. Voor de vereiste karakteristiekesterkte van 27 N/mm2 kan men beter eenwater-cementfactor kiezen, die in Nederland28,5 N/mm2 zou opleveren.Vervolg van blz. 639 14. NabeschouwingDe in dit artikel gegeven berekeningsmethode zou de indruk kunnen wekken dat de optre-dende doorbuigingen in het algemeen vrij exact zijn te berekenen. Dit zou ook zo zijn als degrootheden, die de doorbuiging bepalen, exact bekend zouden zijn. Er dient echter van teworden uitgegaan, dat de genoemde grootheden aan spreiding onderhevig zijn. Behalvespreiding in de treksterkte, optredende belastingen e.d. worden de werkelijk optredendedoorbuigingen in sterke mate bepaald door de mate, waarin O.a. scheurvorming, krimp enkruip tot ontwikkeling komen. Veel van deze invloeden zijn grotendeels afhankelijk vantoevalsfactoren, zoals bijvoorbeeld de weersomstandigheden tijdens de bouw, het tijdstipvan ontkisten, het binnen- en buitenklimaat tijdens het gebruik e.d. Met de gegeven bereke-ningsmethode is vooral bedoeld een rekencode te introduceren, die kan dienen als een meeralgemene basis voor de beoordeling van de stijfheid van betonconstructies, vallend binnenhet toepassingsgebied van de VB 1974.Literatuur1. Th.Monnieren P.W. van de Haar, De door-buiging van gewapend-betonconstructies;Cement 1977, m.8 en92. WA de Bruin, Bepaling van 'de buigstijf-heid' van gewapend beton; Cement 1981 nr.103. TNO-rapport BI-77-51, De doorbuigingvan liggers van gewapend beton in het ge-bruiksstadiumCementXXXIV (1982) nr. 10Er wordt voorts op gewezen dat de uitwerking van de rekenmethode tot een slankheidseisvoor gewapend beton alleen bedoeld is om daarmee te toetsen of aan de doorbuigingseisenvan de TGB-Algemeen wordt voldaan. Wanneer om bepaalde redenen ~ bijvoorbeeld hetvoorkomen van scheurvorming in scheidingswanden - een kleinere doorbuiging wenselijkis, kan een berekening volgens de algemene methode worden uitgevoerd. Omdat de slank-heid echter lineair evenredig is met de toelaatbare (relatieve) doorbuiging, kan ook deslankheidsformule worden toegepast. Uitgaande van bijvoorbeeld foo = 0,002 einplaats van0,004 e) en fbij = 0,0015 e(in plaats van 0,003 e) kan de slankheidsformule worden toegepastindien de factor 15 wordt vervangen door 7,5.640