prof.ir.A.L.BoumaTechnische Hogeschool Delft51~=O,31o6.15,0IIIIIBenaderingen van een M-x-diagramh/2 ~I6.2Vervormings- en spanningsdiagram ineen doorsnede b? bezw?ken*Vervolg van het gelijknamige artikel inCement XXI (1969) nr. 4 (blz. 150).Cement XXI (1969) nr. 5De stabiliteit van hogegebouwen, uitgevoerd als raam-werken van gewapend of onge-wapend beton (11)*U.D.C.624.012.35:531.22Stabiliteitsproblemen van hoge gebouwen, uitgevoerd als raamwerken van gewapend ofongewapend beton6..Vereenvoudiging van de werkwijze en toepassing op gewapende wanden (kolommen)In het voorafgaande deel van dit artikel werd een methode ontwikkeld om de mogelijke com-binaties van verticale en horizontale belastingen bij raamwerken te bepalen, waarbij bezwijkenoptreedt.Het bewerkelijkste deel van deze procedure was het bepalen van het verband tussen Plh,waarin ?b de zijdelingse uitwijking is t.g.v. buiging van de wand (kolom) en het voetmomentMA. Men komt daarom spoedig in de verleiding het M-x-diagram waaruit dit verband isafgeleid te vereenvoudigen, ook al omdat hierin een zekere variatie, ten gevolge van onzeker-heid in het cr-s-diagram, mogelijk is.We beschouwen daartoe het M-x-diagram van ongewapend beton van fig. (4.3a), dat isgebaseerd op het uit twee rechte takken bestaande cr-s-diagram uit fig. (4.2)en dat opnieuwis weergegeven in fig. (6.1), nader. Het eerste gedeelte van dit M-x-diagram (tot punt Q infig. 6.1) is rechtlijnig volgens het verband:M=EI.x (6.1)waarin E de tangentmodulus in de oorsprong van het cr-S-diagram voorstelt en I het traag-heidsmoment van de doorsnede.Dit rechtlijnig verband blijft voor waarden van P ~ 0,5 cr'ubh gelden tot een waarde van hetmoment:M = P . .1.h (6.2)6dat wil zeggen totdat de verticale last P vanuit het midden gekomen is in het kernpunt van dedoorsnede, dat bij rechthoekige doorsneden op ih vanaf het midden is gelegen.Bij een waarde van bijvoorbeeld P = 0,3 cr'ubh wordt dus voor dit moment gevonden:M = 0,3 cr'ubh . ih = 0,05 cr'ubh2(zie fig. 6.1)De bijbehorende waarde van x laat zich met behulp van (6.1) bepalen:M Eh Eh M Mx = El en dus: cr'u x = cr'u .12 Ebh3 = 12 cr'ubh2Met bovenstaande waarde wordt dit:Eh--, x = 12 . 0,05 = 0,6 (zie fig. 6.1).cruNa dit punt Q wordt het M-x-verloop kromlijnig totdat het breukmoment wordt bereikt.Dit breukmoment en de bijbehorende kromming (punt S in fig. 6.1) laat zich ook eenvoudigbepalen.In fig. (6.2) zijn bij een bepaalde waarde van P en M = Pe het vervormingsdiagram (S), waar-bij in de uiterste vezel s'u is bereikt en het spanningsdiagram (cr) weergegeven. Het vervor-mingsdiagram is lineair, het spanningsdiagram is een affiene afbeelding van het cr-s-diagramuit fig. (4.2).Uit beide figuren leiden we af:s'u s'u 7 s'uP = ~bzcr'u en Xbreuk = Z = SP = 8 P (6.3)7bcr'u bcr'uen dus:Eh 7 s'u E , 4cr'u .--, Xbreuk = -8 -P- -, ,wat met Su = -E overgaat in:cru crucr'ubhEh 7 cr'ubh , I'dcr'u Xbreuk = 2" -p-, wat voor een waarde P = 0,3 cr ubh el t tot:1996.3Het breukmoment als functie van deverticale belasting P (ongewapendedoorsnede)6.4Berekening van de verplaatsing ab b?een uit 2 rechte takken bestaandM-X-diagram6.5Het verband tussen Ob en het voet-moment MA uitgaande van deM-X-diagrammen uit fig. 6.1MA~ui0,100ObI". ~n .,T S--~-----::::-=-~'/ .~.--', ~R ,'. _______linea?re benaderingOL---------,~,O,-------~2,no---__+--~~O"ul'Cement XXI (1969) nr. 5Ehei' Xbreuk = 11,67 (zie fig. 6.1).uVoor het moment laat zich voorts afleiden:h 37 h 74 PMbreuk = Pe = P. ("2 - 84 z) = P ("2 -147 bcr)h 148 P h PMbreuk = P"2 (1- 147 cr'ubh) =P"2 (1- cr'ubh) (6.4)Dit parabolisch verband tussen Mbreuk en P is in fig. (6.3) weergegeven. Voor P = 0,3 cr'ubhvinden we met behulp van de laatste uitdrukking:Mbreuk = 0,3 cr'ubh . 0,5 h . 0,7 = 0,105 cr'ubh2 (zie fig. 6.1).Hiermee zUn de karakteristieke punten Q en S in het M-x-diagram van fig. (6.1) vastgelegd.In deze figuur is nu het lineair verloop OQ verlengd tot de waarde van het breukmoment, wathet verband tussen M en x zou weergeven bij volkomen elastisch gedrag. Het punt waarbUhet moment gelijk is aan bUvoorbeeld 80% van het breukmoment is R genoemd. Dit punt R isrechtlUnig verbonden met het punt S.Het uit twee rechte takken bestaande diagram ORS kan in dit geval als een verantwoordebenadering van het M-X-verloop worden bel?chouwd, te meer daar hiermee mogelijke varia-ties in het M-x-verloop ten gevolge van onzekerheden in het cr--diagram kunnen wordenopgevangen (zie fig. 4.3 a).Door het M-x-diagram aldus opgebouwd te denken uit een lineaire tak (ORT in fig. 6.1) eneen additionele tak (RS in fig. 6.1) kan het bUbehorende MA-ob-verloop eenvoudiger danvoorheen worden bepaald.Voor kolommen (wanden) van gewapend beton heeft het M-x-diagram veelal reeds een uit-gesproken gebroken rechtlUnig karakter (zie fig. 4.1) en zal men met goede benadering hier-van uit kunnen gaan. De werkwUze voor kolommen (wanden) van gewapend beton sluit zichdaarmee geheel aan bU die voor wanden van ongewapend beton en vereist geen apartebehandeling. Wel blUkt hier de noodzaak te kunnen beschikken over M-x-diagrammen voorgewapende doorsneden.Nog eenvoudiger wordt de werkwUze als men uitsluitend de verplaatsingen Ob wenst teberekenen bU elastisch gedrag (tak ORT in fig. 6.1) en de verplaatsing Ob op het ogenblik dathet breukmoment (punt S) wordt bereikt. Dit zal voor het geval van de ongewapende wanden P = 0,3 cr'ubh worden toegelicht aan de hand van fig. (6.4). Het is duidelUk dat hetgedeelte I van dit diagram een verplaatsing levert:a _ Mbreuk12b,I - 3EI (6.5)wat leidt tot:Eh 0 Mbreuka'ul' b,I = 4. cr'ubh2Mbreuk 5en met a'u bh2 = 0,10 tot:Ehcr'ul' ab,I = 0,42 (zie fig. 6.5)Het gedeelte 11 levert een verplaatsing (het statisch moment van driehoek 11 t.o.v. de oor-sprong, zie ook fig. 4.5):0b,II = i. 0,21. XII. 0,9331 = 0,0933 XIII'Nu is:XII = xbreuk - XI. MMbreuk . det XI = EI vin en we:Eh Mbreuk--,-xII = 11,67 -12. ---'--bh2 = 11,67 -1,26 = 10,41 (zie fig. 6.1).cru cruDaarmee wordt:Eh Eh-'---[2 Ob,II = 0,0933. --,- XII = 0,97 (zie fig. 6.5)cru cruDe totale verplaatsing bU het bereiken van het breukmoment (punt S in fig. 6.5) is nu bekend.Het verloop tussen R en S is uiteraard kromlijnig, maar laat zich door een rechte benaderen.Het aldus verkregen MA-ob-diagram laat zich weer op de bekende wUze afbeelden in deprincipefiguur (2.4). De procedure voor het onderzoek naar de stabiliteit van de constructieis daarmee zeer eenvoudig geworden.In fig. (6.5) is eveneens ingetekend (de getrokken IUn) het op ons voorbeeld met ongewapen-de wanden betrekking hebbende MA-ab-verloop, dat is afgeleid uit het kromlUnig M-x-diagram van fig. (6.1).Bij het bereiken van het breukmoment blUkt ten gevolge van de plastische vervormingen detotale verplaatsing Ob ongeveer 1i X de elastische verplaatsing te zUn. Kleine variaties. in hetM-x-diagram kunnen echter een grote invloed hebben op de uiteindelUke verplaatsing ab,zoals blUkt uit het vervangen van het kromlUnig M-x-diagram in fig. (6.1) door het uit tweerechte takken OR en RS bestaande diagram in deze figuur. Variaties in de M-X-diagrammenzUn natuurlUk altijd mogelijk en men zal zich tegenover de invloed hiervan veilig willen enkunnen stellen door een vrU rigoureuze benadering ervan zoals ook in fig. (6.1) is weer-gegeven.200x7.1Knik van een starre staaf met verendeinklemmingx7.2~p18IIAKnik van een elastische staaf die isingeklemdveereonstante T7.3Twee in serie geplaatste veren.Cement XXI (1969) nr. 5Ook op andere wijze kan men zich veilig stellen. Zo zou men in dit geval kunnen besluitenslechts te gaan tot een waarde van 80% van het breukmoment. In dat geval kan men voor hetMA-ob-verloop een lineair verband aanhouden hetgeen de zaak zeer eenvoudig maakt.7. De knikbelastingHet zal opgevallen zijn dat in het voorafgaande het woord knikbelasting niet is gebruikt. Tochzijn de vervormingen en daarmee de optredende momenten er mede door bepaald. Het kaninteressant zijn nu een korte beschouwing te wijden aan de knikbelasting in samenhang methet voorafgaande.Hiertoe gaan we uit van vergelijking (2.2):Ma = Hl + pBi = MA-POr-POb (7.1)In het elastisch stadium is: POr = P1.MACVoorts is, als een driehoekig momentenvlak wordt aangenomen:l2POb = P. 3EIMAVoeren we voor de kolom in een stijfheidsfactor:k = 3EIldan wordt:. lPOb = Pj{MAdaarmee gaat vergelijking (7.1) over in:Ma = Hl + POi = MA (1_ 1p_lp)c k(7.2)(zie ? 3)(7.3)(zie uitdrukking 6.5)(7.4)(7.5)(7.6)Elastische knik van een kolom wil zeggen, dat bij een zekere last P = Pknik een zeer kleineuitwijking uit de verticale stand (o?) of een zeer kleine horizontale kracht (H) een onbepaaldgrote uitwijking tot gevolg heeft en daarmee een onbepaald groot moment MA in de voet vande kolom. Daartoe is nodig dat de vorm tussen haken in vergelijking (7.6) tot nul nadert.De knikvoorwaarde luidt dus:l l l l1-cP-j{P=0 of: Pknik(c+k) = 1 (7.7)In fig. (2.4) wil dit zeggen dat er van het horizontale lijnstuk MA ter linker- en ter rechterzijdezoveel afgaat, dat er voor Ma niets meer overblijft.Uit vergelijking (7.7) kunnen we de kniklast afleiden voor een starre staaf die aan de voetverend is ingeklemd (fig. 7.1) door k = 00 te stellen:CPstar = I . (7.8)Deze uitdrukking is ook gemakkelijk af te leiden door de momentenvoorwaarde om het voet-punt op te stellen bij uitgeweken stand.Uit vergelijking (7.7) kunnen we eveneens de kniklast afleiden voor een elastische staaf dieaan de voet is ingeklemd (fig. 7.2) door c = 00 te stellen:k 3EIPelost. = I = f (7.9)Deze waarde is dus niet gelijk aan de Eulerse kniklast:2 El ElPE = 11: 4[2 = 2,5 (iomdat hij is gebaseerd op een lineair momentenverloop (? 4).De knikvoorwaarde (7.7) laat zich nu als volgt schrijven:(7.10)1 1 1-=-+-- (7.11)Pknik Pstor Pelost.dat wil zeggen: de reciproke waarde van de kniklast is gelijk aan de som van de reciprokewaarden van de kniklasten voor de beide onderscheiden gevallen. Dit is niet verwonderlijk. Hetknikprobleem is een stijfheidsprobleem. De beide onderscheiden systemen met hun respec-tievelijke stijfheidsfactoren (veerconstanten) Ten 7- zijn als het ware achter elkaar (in serie)geplaatst (fig. 7.3) en de stijfheid van het geheel volgt uit de reciprociteitswet:1 1 1stijfheid = cll + kilEen vergelijking van de waarde van de kniklast volgens (7.11) met de exacte waarde isnatuurlijk wel gewenst. In paragraaf 8 wordt ook de knik-voorwaarde volgens de exactetheorie afgeleid, te weten:al tg al- p. = 0waarbij (1. is gedefinieerd door: P = a2Elcl cen p. = El = 3j{201(7.12)(7.13)(7.14)z/knikPEuleri1,000.750,500,257.4--J;!-_.- A-z = ~+ Ir'/-