ir.W.C.VisIngenieursbureau irW.C.Vis BV, Soesting.R.SagelBouw- en woningtoezicht, RotterdamDe quasi-line.aireelasticiteitstheorieBerekenen van portaalconstructiesVoor hetberekenen van ongeschoorde portaalconstructies van gewapend beton wordt in depraktijk veelvuldig gebruik gemaakt van de rekenmethode die in de VB 1974 art. E-304.8 isomschreven en die de roepnaam 'kruisjesmethode' heeft gekregen. Voordeel van dezemethode is dat in eerste opzet gebruik kan worden gemaakt van de lineaire elasticiteitstheo-rie, waardoor de constructeur 'op bekend terrein' blijft. Eigen aan de kruisjesmethode is datde balkwapening vooraf wordt geschat en een bijpassende kolomwapening achteraf wordtberekend. Verplaatsingen van de portaalconstructie kunnen met deze methode niet wordenberekend.Voor het berekenen van ongeschoorde stalenportaalconstructies kan gebruik wordengemaakt van de rekenmethode die in deTGB?staal in artikeI2.5.8.aen bisomschreven. Ookbij deze rekenmethode geldt dat in eerste instantie gebruik wordt gemaakt van de lineaireelasticiteitstheorie. Voor zowel de regels als de stijlen van het raamwerk wordt vooraf eenschatting gemaakt (een profiel gekozen). Controle achteraf geeft aan of de gekozenprofielencorrect waren. Eventueel dient een verbetering in de aanname te worden gemaakt en deberekening opnieuw te worden uitgevoerd. Verplaatsingen van de portaalconstructie kun?nen met deze methode op eenvoudige wijze worden berekend.1Nomogram ter bepaling van kniklengte vankolommen in niet geschoorde raamwerken(sidesway permitted)GAro100.050.030.020.010.0908.07.06.05.04.03.0201.0Kro 20.010.05.04.03.02.01.51.0sidesway permittedGs00100050.030020010090807.0605.04.03.02.01.0In de toelichting op de genoemde TGB-artikelen wordt ondermeer geattendeerd op het feitdat in Amerikaanse voorschriften en richtlijnen voor de bepaling van de kniklengte vankolommen veel gebruik wordt gemaakt van nomogrammen met als ingang een grootheid G.Vergeleken met de groootheid p, die in deTGBwordtgebruikt (zie figuur 14TGB-staal blz. 73)blijkt het verband tussen de beide grootheden p = ~ .De nomogrammen vinden hun oorsprong in dezelfde theorie die als leidraad dient voor deberekening van de kniklengte van verend ingeklemde kolommen volgens de TGB-staal.Figuur 1 toont het nomogram voor een portaalconstructie die zijdelings kan verplaatsen(sideway permitted). De in het nomogram af te lezen waarde Kbepaalt de kniklengte van debeschouwde stijl: ek = K . est. Het nomogram is gebaseerd op de vergelijking:GA?GS?(~)2_36 (~)---;....,..,~:...cK""'c""'~ K = 06 (GA + Gs) tg (~ )KDe indices Aen B hebben betrekking op de beideuiteinden van het beschouwdestijlgedeelte.De waarde van G wordt bepaald door de vergelijking:Verder geldt:Ist = het traagheidsmoment van een stijl;Ir = het traagheidsmoment van een regel;est = de lengte van een stijl;er = de lengte van een regel.Het sommeringsteken L houdt in dat alle in het beschouwde punt aangesloten en in het vlakvan de vervorming liggende stijlen respectievelijk regels in de berekening moeten wordenbetrokken.Bij het opstellen van de vergelijking is van de onderstaande aannamen uitgegaan:- alle stijlen van het raamwerk bereiken tegelijkertijd hun bezwijklast;- bij het begin van het uitknikken is de hoekverdraaiing van het afliggende einde van de regeleven groot als en gelijk van teken aan de hoekverdraaiing van het aanliggende einde;- hetdoorde ineen knooppuntaangesloten regels geleverde momentwordtevenredigaanhunstijfheden verdeeld over de in een knooppunt aangesloten stijlen.Cement XXXIII (1981) nr. 4 2582Verband tussen minimale waarde vanEIs enWo voor B 17,5 en FeB 400De quasi-lineaire elasticiteitstheorieToepassen van de quasi-lineaire elasticiteitstheorie opent de mogelijkheid de hiervooraangehaalde, oorspronkelijk voor staalconstructies ontworpen rekenmethode, ook voorongeschoorde portalen van gewapend beton toe te passen. Voordelen van deze werkwijzezijn:- het gehele rekenwerk volgt de wetten van de lineaire elasticiteitstheorie;- verplaatsingen kunnen eenvoudig worden geschat;- verplaatsingen kunnen worden be?nvloed door 'spelen' met de kolomwapening.Het recept voor de berekening is als volgt:1. Schat de waarde van (E1)s voor de regels en destijlen van het portaal. Voordeliggerstijfheden(E1)r kan gebruik worden gemaakt van de formule (E1)r = 0,5 . Ea . Aa h2 , waarin Aa wordtbepaald door het gemiddelde van de veld- en steunpuntswapening. Voorde kolomstijfheden(E1)slkan gebruik worden gemaaktvan figuur6.22 uit hetboek 'Praktische Betonberekenin"gen -CB 17' (uitgave van de Np.derlandseCementindustrie). Dezefiguur is hier afgedrukt alsfiguur 2.2. Bereken met de gekozen waarden van (E1)sde lineair-elastische momentenverdeling. Hierbijverdient het aanbeveling horizontale en verticale belasting apart doorte rekenen in verbandmet de omkeerbaarheid van de horizontale belasting.3. Bepaal met behulp van het nomogram van figuur 1 de waarden van Kvoor de onderscheidenkolommen en met behulp van de formule ek = K? es de kniklengten van de kolommen. Hierbijdient te worden bedacht dat voor kolommen die in de berekening als scharnierend aan defundering bevestigd zijn aangenomen, de waarde van G theoretisch G = 00 wordt. Is hetscharnier in werkelijkheid niet als een wrijvingsloos scharnier uitgevoerd, dan is een waardeG = 10 praktischer.Evenzo geldt dat de theoretische waarde G= 0 bij een ingeklemde kolom praktisch beter alsG = 1 kan worden ingevoerd. Eventueel kan de veerstijfheid van de inklemming in rekeningworden gebracht door het invoeren van de veerstijfheid van een vervangende staaf, diedezelfde stijfheid heeft als de aanwezige inklemming.4. Bepaal de 2e-orde momenten voor de kolommen met behulp van de vergrotingsfactor_n_ waarin n = Nk en N'k= Jt2 . (E1)stn -1' N'd e1.?De bijbehorende toeslagmomenten in de balken verlopen lineair.5. Bereken de ligger- en kolomwapening en controleer de aangenomen waarden voor (El)..3,4 4,4wo--+2,41,40,4/'/'/'/'3,69,6t nIx 106x I ong kN m2 )15,812.74a-bRekenwaarden van de belasting (in kN resp.kNlm)1. Het balkmoment bij vrije oplegging bedraagt Md = 1 la . 45 . 5,02 + 1,50' 100 = 291 kNm.Zouden de balken oneindig stijf zijn, dan waren de windrnomenten in de bovenregel:5,04.35=45 kNm, en in de middenregel:5,0'35+6~'(35+15)=120kNm.Bij wijze van benadering wordt alsgemiddelde inklemmingsmoment uithorizontale belastingaangehouden: 45 ~120 =85 kNmAls gemiddeld moment uit verticalebelasting geldt: 2;1 = 145 kNm.De gemiddelde wapening wordt geschat met behulp van Md gem = 145 + 85 = 230 kNm,Wo = 0,36%, Aa = 1000 mm2.Schatting: (E1)r = 0,5' Ea . Aa h2 =45 000 kNm2.De kolomwapeningwordt geschat op 80 20 (wo = 1,0%).Volgens figuur 2 wordt (E1)st = 5,4' 106 . long = 28000 kNm2.RekenvoorbeeldHet hier gegeven recept zal nu worden toegepast op een portaalconstructie uit een utilitairgebouw. Het schema van het portaal is gegeven in figuur 3. De rekenwaarden van de totaleverticale belasting is gegeven in figuur4aen vande horizontale belasting uitwindin figuur4b(de horizontale belasting kan uiteraard van teken wisselen). Overige gegevens:het portaal wordt ter plaatse gestort; betonkwaliteit B 17,5; staalsoort FeB 400; betondek-king voor balken en kolommen: 30 mmo2. Met behulp van de gekozen waarden voor(E1)szijn de Iineair"elastische momenten berekend.Het resultaat is gegeven in figuur5a, voorde totale verticale belasting enin figuur5bvoor dehorizontale belasting.3. Voor de boven kolommen geldt:28 000 28 000 28 000--s,o -6- + -5-GCB = 45000 = 0,62 en GBe = 45000 = 1,14--s,o 5Volgens het nomogram van figuur 1 wordt Kea= 1,29 en dus ek = 1,29' 5,0 = 6,45 m.Voor de onderkolommen wordt GBA = GBe = 1,14, GAB = 1 en KBA = 1,34, zodat t k =1,34 . 6,0 = 8,04 m35A!i'J~bA'I~fmetinge~portaalconstructie uitrekenvoor~eeld(maten in mm)iIrl---..,C'H----;B'aCement XXXIII (1981) nr. 4 259696984A8424 A'1231381681235a-ca Rekenwaarden van de momenten uitverticale belastingbRekenwaarden van de momenten uithorizontale belastingc Rekenwaarden van de toeslagmomenten(in kNm)4. Voor de bovenkolommen geldt:Nk J"t2 ~2!5~00 = 6643kN en N'cJ = 1248 kN6643 n 5,32n = 1248 = 5,32-'>n_1= 432 =1,23Voor de onderkolommen geldt:Nk = J"t2 ~~~4~00 = 4275 kN en N'cJ = 1671 kN4275 n 2,56n = 1671 = 2,56-'> n-1 = 156 = 1,64De momentenlijn voor de toeslagmomenten is weergegeven in figuur 5c. Uitgangspunthierbij is dat de vervormingen volgend uit de toeslagmomenten gelijk gericht zijn aan devervormingen uit de windmomenten.Zo wordt voor knoop C' de toeslag: (1,23-1)' (123 + 49) = 40 kNm.Voor MBA wordt de toeslag: (1,64 -1) . (48 + 66) = 73 kNm.Evenals de momenten uit wind, kunnen de toeslagmomenten van teken wisselen.5. De wapening voor ligger CC' volgt uit:Me 123+49+40=212kNm~~2 1254 Aa = 858 mm2(1020 + 3016 = 917 mm2)MveldMdbh2Aagem181 kNm (onder puntlast)1071 Aa = 728 mm2 (4016 = 804 mm2)860mm2 (El)s = 38 000 kNm2De wapening voor ligger BB' volgt uit:MB 153 + 104 + 106 = 363 kNm~~2 2148 Aa = 1534 mm2(2 020 + 2025= 1610 mm2)MveldMdbh2Aagem199 kNm (onder puntlast)1178 Aa = 806 mm2(4 0 16 = 804 mm2)1207mm2 (El)s=53000kNm2De kolomwapening voor kolom BC volgt uit:N'cJ 1248 kN MI = 212 kNm el = 0,170 mN'cJ 5,ON/mm2 N'cJ. ~= 1,7N/mm2 wo=O,6%Ab Ab hlAal 1500 mm2Cement XXXIII (1981) nr.4 260Cement XXXIII (1981) nr. 4De kolomwapening voor kolom AB volgt uit:N'o. = 1671 kN Mt= 187kNm et=0,112mN'o. = 6 7 N/mm2 N'o.. ~= 1 5 N/mm2 ma = 0,6%A b ' Abht'Aat = 1500 mm2Zou een kolomwapening worden gekozen van 8016{Aat = 1608 mm2)dan wordtilio = 0,64%en (El)g = 4,3' 106 . long"'" 22500 kNm2 .Bij de aangehouden kolomwapening van 8 0 20 (Aat = 2513 mm2) wordt Oio = 1,0% en (El)g =5,4' 106 . long"'" 28000 kNm2.De gevonden afwijkingen van de oorspronkelijke aannamen in de grootte van (El)g zijn geenreden tot herberekening van het portaal. De grootste afwijking wordt gevonden in deboven regel, waardoor de kolommomenten iets zuIlen toenemen (deinklemmingsmomentenen de vergrotingsfactor nemen iets toe).ln de gekozen kolomwapening is voldoende reserveaanwezig om deze toename op te nemen.Uit de lineair-elastische berekening volgt (voor het bezwijkstadium zonder invloed van de2de-orde momenten) een verplaatsing van B ten opzichte van A van 22 mm en van C tenopzichte van B van 14 mmo Gezien de gekozen minimale waarden van (El)g mogen dezeverplaatsingen als maximale waarde voor een schatting van de verplaatsing worden be-schouwd.In het gebruiksstadium zal dan de verplaatsing van B ten opzichte van A worden:" 0< 22 2.56'1,7 17 (h ft d1 350)VAB~T,7'2,56'1,7_1= mmsceesan : .De verplaatsing van C ten opzichte van B wordt:s;. 0< 14 5,32' 1,7 9 (h f t d 1 550)VBC ~ T,7' 5,32' 1,7 -1 = mm sc ee s an .: .De verplaatsing van B ten opzichte van A, die in het gebruiksstadium tot een scheefstand van1 : 350 kan leiden, zou problemen op kunnen leveren met een eventuele inbouwconstructie.Globaal kan worden beredeneerd dateen wijziging van de kolomwapening van 80 20 in 8025(OiO = 1,6%) leidt tot een toename van de (El)g voor de kolommen tot 7,2 . 106 . long = 37 500kNm2. De kolomstijfheid neemt met circa33% toe. De verplaatsingen zullen derhalve tot circa% worden gereduceerd. Voor kolom AB zal ?AB"'; 3f4. 17 = 13 mm (scheefstand = 1: 450).Het is dus mogelijk de grootte van eventuele verplaatsingen te be?nvloeden door wijziging indekolomwapening.BesluitIn Cement (1980) nr. 8 geeft irW.A.Eismain het artikel 'Eenvoud, kenmerk van het ware' eenvoorbeeld van een grafiek voor excentrisch belaste kolommen, waarbij rekening wordtgehouden met de voorkeurmaten (volgens de SBR) voorkolommenen met gerationaliseerdewapening. Het moet mogelijk zijn in die grafieken een indicatie in te bouwen voor de groottevan de bij dergelijke kolommen behorende {Efh ten behoeve van de quasi-lineaire elastici-teitstheorie. Hiermede zou kunnen worden bereikt dat het nu nog bestaande verschil inaanpak in de berekening van ongeschoorde portalen van staal en van gewapend beton geheelverdwijnt.Vooral wat de kolomwapening betreft is het verstandig te bedenken dat er bij kolommen eenduidelijker verband bestaat tussen vervorming en wapening dan bij toepassen van dekruisjesmethode wordt aangenomen. Wellicht moet hierbij de constructeur zich losmakenvan de oude gedachtegang dat het uit de constructie rekenen van een staafje ijzer deeconomie ten goede komt.Verslag Symposium 'Beton en Energie'Van het op 10 oktober 1980 te Delft gehouden Symposium 'Beton enEnerg ie' is thans het verslag verschenen. Met ruim 180 blz., formaat A-4,bevat het desymposiumvoordrachten m?t aanvullingen. Hetisverkrijgbaarbij het Betondispuut, kamer 5.08, Civiele Techniek TH-Delft, Stevinweg 1,2628 CN Delft, tel. (015) - 78 47 69, tegen betaling van f 17,50perexemplaar, incl. verzendkosten.261