ir. J. Brakelwetenschappelijk hoofdmedewerkerT.H. Delft')Volgens DIN 1045 mag het traagheidsmo-ment voor de volle doorsnede worden bere"kend met of zonder in rekening brengen vande n-voudige staaldoorsnede.Cement XXII (1970) nr. 8Berekening van statischonbepaalde g.ewapend-beton-constructiesIs het invoeren van de ongescheurde, ongewapende doorsnedeverantwoord?UD.C.666.982:624.041.2Berekening statisch onbepaalde gewapend-betonconstructies1. InleidingVolgens artikel 37, lid i, van de GBV 1962 mag bij de berekening van statisch onbepaaldeconstructies met behulp van vormveranderingsvergelijkingen, worden uitgegaan van de stijf-heid van de volle, ongescheurde en ongewapende betondoorsnede, met gelijke elasticiteits-modulussen voor trek en druk. Ook in verschillende buitenlandse voorschriften wordt dittoegestaan (DIN 1045; ACI 318-63; R?gles BA'68).l)Het mag als algemeen bekend worden verondersteld, dat deze wijze van berekenen nietovereenkomstig de werkelijkheid is, daar in het algemeen een betondoorsnede w?lis gewa"pend, in vele gevallen ook is gescheurd, terwUI de elasticiteitsmodulussen voor trek en drukdoorgaans zullen verschillen.In het algemeen hoort men beweren, dat de hierdoor ontstane fouten in de berekening vangeringe betekenis zijn en dat het 'plastisch gedrag' van de constructie - wat dit dan ook mogezijn -er wel voor zorgt, dat er niets ernstigs gebeurt.Inderdaad is een aldus gedimensioneerde constructie vrijwel altijd in staat de in rekeninggebrachte belasting te dragen, maar de krachtsverdeling volgens de berekening kan in be-paalde gevallen zo sterk van de werkelijke- althans meer waarschijnlijke - krachtsverdelingverschillen, dat men zich dient af te vragen of een hernieuwde berekening, met aangepastestijfheidsverhoudingen, niet een betere verdeling van de wapening tot gevolg kan hebben,die meer met de werkelijke krachtsverdeling overeenkomt en uiteindelijk een veiliger con"structie oplevert, zowel wat betreft de gebruikstoestand als de bezwijktoestand. Met detegenwoordige mogelijkheden van de elektronische rekenmachines is het uitvoeren van eenberekening met gewijzigde stijfheidsverhoudingen een kleinigheid, zelfs als dat itererendmoet gebeuren.In het hierna volgende zal worden aangetoond, dat de krachtsverdeling, die met de onge-scheurde, ongewapende doorsnede wordt verkregen, in bepaalde gevallen zeer sterk kanafwijken van de werkelijke - of meer waarschijnlijke - krachtsverdeling, en wel des te meer,naarmate in ??n constructie elementen voorkomen die zwak gewapend en sterk gescheurdzijn, en andere elementen die zwaar gewapend en weinig of niet gescheurd zijn (bijv. doorvoorspanning of door een relatief grote drukkracht). Uitgangspunt is de gebruikstoestand,waarbij verondersteld wordt, dat de materialen zich nog lineair-elastisch gedragen, maarwaarbij wel scheurvorming kan zijn opgetreden.Daartoe zal eerst de formule worden afgeleid voor het traagheidsmoment van een rechthoe-kige doorsnede, met zowel trek- als drukwapening, waarvan de neutrale lijn op een willekeu-rige afstand x = ?h van de meest gedrukte vezel is gelegen (fig. 1). De wijze van berekeningvan de grootte van x wordt bekend verondersteld. Er wordt nadrukkelijk op gewezen, dat deneutrale lijn van de op zuivere buiging belaste doorsnede een uitzondering is op het hierbehandelde algemene geval van buiging met normaalkracht (trek of druk).Er wordt verondersteld, dat de doorsnede in de trekzone tot aan de neutrale lijn volledig ge-scheurd is en dat het gescheurde beton statisch niet meedoet. Het is bekend dat de aldusberekende theoretische waarde van het traagheidsmoment kleiner is dan de werkelijkewaarde, zoals die uit proeven kan worden bepaald. Dit kamt onder meer doordat het betontussen twee scheuren toch nog een bijdrage levert tot de stijfheid; verder lopen de scheurenniet helemaal tot de neutrale lijn door en de staalspanning is tussen twee scheuren kleinerdan ter plaatse ervan. De afwijkingen zijn doorgaans niet bijzonder groot en voor de hiervolgende beschouwingen is de theoretische waarde alleszins bruikbaar.De breedte van de doorsnede wordt voor het gemak gelijk aan de eenheid genomen. Deafgeleide formules gelden, strikt genomen, zodoende alleen voor rechthoekige doorsneden.Voor andere doorsnedevormen, bijvoorbeeld T-balken, kunnen soortgelijke formules wordenafgeleid, maar er zijn ??n of meer variabelen extra, waardoor een veelvoud van tabellen ofgrafieken nodig is. Gezien de hierna gegeven aanpak zal het niet moeilijk zijn voor anderedoorsnedevormen te onderkennen, wanneer het zin heeft een onderzoek naar een veranderdekrachtswerking in te stellen.321Het zal duidel?kzijn dat de formules ook gelden voor T-balken, waarvan de neutrale I?n in deflens is gelegen. Ze kunnen b? benadering worden toegepast als de neutrale I?n slechtsweinig onder de flens is gelegen. Voor T-balken moet het wapeningspercentage Wo wel tenopzichte van de hele meewerkende breedte bm worden genomen. In hoeverre deze breedte bmvoor dest?fheid (EF of El) de juiste waarde is, wordt hier buiten beschouwing gelaten.De doorsnede is gewapend met een trekwapening A = Woh en een drukwapening A' = W'oh,beide per eenheid van breedte, en beide op afstand c = c' = ~h van de dichtstb?z?nde uiter-ste vezel verw?derd. De totale hoogte hl wordt gel?kgesteld aan ah, waarb? h de gebruike-I?keafstand van de trekwapening tot de uiterste gedrukte vezel is; a = 1+ ~.Achtereenvolgens worden hierna het oppervlak Bi van de ide?le doorsnede, de zwaartepunts-afstand z en het ide?le traagheidsmoment I berekend. Vervolgens wordt de verhouding 1/10bepaald, waarb? 10 het traagheidsmoment is van de ongescheurde, ongewapende betondoor-snede met hoogte hl:10 = 1112 hl3 = 1/12 a 3h3= 1h2 h3(1 + ~)31Gescheurde doorsnede, belast op buiging ennormaalkracht (trek of druk); voor alleenbuiging is x=xb='Yjh(b = 1)A""--_"!---~'--'0L.::lGI.cutilGIOlc:o::llil.cutillilOl2. Gescheurde doorsneden = Eo/E'b A = Woh A' = W'ohc = c' = ~h hl = ah = (1 + ~) hNeutrale I?n ter hoogte x = ?h (bekend verondersteld).Gescheurd beton werkt niet mee.Ide?le doorsnede:Bi = ?h + nWoh + n'W'oh = h (? + nWo + n'W'o) == ~ . hZwaartepunt:?h . ! ?h + nWoh . h + n'W'oh ? ~h = Bi . z! ?2h2 + nWoh2 + n'W'0~h2 = h (? + nWo + n'W'0) Z!?2 + nWo + n'W'oz = ? 00 'W' h = (t . h+n o+n 0Traagheidsmoment t.o.v. zwaartepunt doorsnede:1= 1/12 ?W + ?h ?(t_?P)2h2 + nWoh (1-(tfh2 + n'W'oh ?(t~~)2h2 ==h3[1112?3+??(t-!W+nWo(1-(t)2+n'W'0?(t-~f] = 8.h3Met eenzijdige trekwapening:Bil = h (? + nWo) == ~1 ? hi ?2 + nWoZl= , h = (tI . h1\ + nWoIJ = h3 [1112;:3 + ? ?(t-!?)2 + nWo (1-(t)2] = 81. h3Met gelijke trek- en drukwapening (000= W'o) en n == n':Bi2 = h (?+ 2nWo) = ~2. h ?! ?2 + nWo (1 + ~)Z2 = ? 2 h = (t2 . h+ nWoh = h3 [1/12 ?3 + ? ?(t-!?f + nWo (1---(t)2 + nWo ?(t_~)2] = 82 . h3(1 )(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(5')Het geval van zuivere buiging is een uitzondering op het hierboven behandelde algemenegeval.! ?b2 + nWo + n'W'oHiervoor is z = Xb = ?bh = ? ' , h (2')b + nWo + nWoVoor eenzijdige trekwapening wordt dit (W'o = 0):!?b2 + nWoXb = ?bh = . h?b + nWoof ?b2+nWo?b = !?b2 + nWo!?b2 + nWo?b-nWo = 0?b=nwoC-l+Vl+ 2)nWoXb=?bh=nwohC-l+Vl+ 2)nWoCement XXII (1970) nr. 8Het bijbehorende traagheidsmoment is:Ilb = iXb3 + nWoh (h-Xb)2 = iXb3 + nWoh3-2nWoh2xb + nWOhXb2 ==h3'0, en bij volledig gescheurdebetontrekzone3Traagheidsmoment van een rechthoekige ge-wapend-betondoorsnede, als functie van deverhouding x/h van de betondrukzone, bijverschillende waarden van het produktnWo = n'Wo, en bij volledig gescheurde be-tontrekzoneI = traagheidsmoment gescheurde door-snede10 = traagheidsmoment ongescheurde, on-gewapende doorsnedeIngevuld in (3):10 = h3 ['h2 1X3 + IX (110-ilX)2 + n(Oo (1-110)2 + n'Wo (110-~)2] =50 , h3Met eenzijdige trekwapening (W = 0) is:lol = h3 [1/12 1X3+ IX (110 - i ?)2 + nWo (1-110)2] = 5Q1 . h3Met gelijke trek- en drukwapening (W = W'0) en n = n':i 1X2+ nWo (1 + ~) 1 .1ZQ2 = - - - 2 W h = 2'lXh = 2 hl = 1102 . hIX + n 0*r/ In .01200/V.o,lO'O+--j..J.f,'/4t--+-I---~/~V~I/'-,I~Y1/ J w.~ l;j~o.onI,~v n .=O.IDa I/~W'/ I ......VVIIj,n'(J.'4~~E~~~~~~~~+=t?5~ /' w. 1/ '/V ..... vVV( / n .=o.bso'VV/ nwo 0025/ V I ....I/i tra gh Idsnjom nt/ V ge ehe rde doo snedeI = ./ I. = trae g~~~m mel,fsne hl blijft het maximum constant.Het minimum wordt bereikt voor x = 0; het is 0 voor een eenzijdige trekwapening, maar> 0bij aanwezigheid van drukwapening (fig. 3 en 4).6. Invloed op de krachtsverdeling in een constructieHet traagheidsmoment van de op zuivere buiging belaste, gescheurde, eenzijdig gewapendedoorsnede met normaal wapeningspercentage Wo = 1% en normale verhouding n =Ea : E'b= 10(dus nWo = 0,100), ligt in de buurt van de helft van dat van de ongescheurde, ongewapendedoorsnede (fig. 2). Van een zwaar gewapende en volledig gedrukte doorsnede metnWo = n'w'o = 0,600 is I ruim driemaal zo groot als van de ongescheurde,ongewapendedoorsnede (fig. 4).Het eerste kan voorkomen bij de regels van raamwerken of portalen, het tweede bij de stijlen,zeker voor de onderste verdiepingen van een hoog gebouw. De verhouding van de stijfhedenvan stijlen en regels kan dus gemakkelijk 4 ?6 maal zo groot worden als waarvan in deberekening is uitgegaan (en zelfs meer).Berekent men de momentenverdeling in de knooppunten van het raamwerkgedeelte van fig. 5eerst met de stijfheden, behorend bij de ongescheurde, ongewapende doorsnede, en voertmen daarna de meer re?le stijfheden in - bijv. voor de gescheurde regel de halve stijfheid envoor de ongescheurde, zwaar gewapende stijlen een 2 ? 3 maal zo grote stijfheid - dan wordtde stijfheidsverhouding van stijlen en regels 4 tot 6 maal zo groot. De momentenverdelingverandert aanzienlijk, in die zin, dat de momenten in de knooppunten sterk toenemen, terwijlhet veldmoment van de regel afneemt.De verdeling van de primaire crossmomenten over regel en stijlen is in het bovenste deel vanfig. 5 uitgezet als functie van de stijfheidsverhouding p = ~ . ~. Hierin is m = L/h de ver-houding van de lengten van regel en stijlen, n = tdeverhouding van de traagheidsmomen-ten van regel en stijl (waarbij Isbaven = Isonde,).Is bij de ongescheurde, ongewapende doorsnede bijv. p = 0,5 en de verhouding n = I,: Is = nl,dan wordt bij een werkelijke verhouding n2 = t n] de waarde van p vier maal zo groot, dus2,0.324VOOI' constante m is palleen afhankelijk van11n = 1211 =n.12L=mhp=.a. m2 nc D12 12 ~hAh- ~11 __4B12 ~ ~hFE~_ _--,L~_-'"~5.07\9.35,.".Inla =1.00 \Ia16.00ao2.0oo45.0o1.0010Figuur 10litteratuur1. 'Geschwei$zte Bewehrung$matten al$ B?gelbewehrung - Schubver$uche an Plattenbalkenund Verankerung$ver$uche'; Prof.Dr.-lng.F.Leonhardt und Dr.-lng.R.Walther, Stuttgart; Bau-technik 1965 nr. 10.2. 'Bouw$taalnetten ook al$ beugelwapening'; ir.P.Wijnand$, Cement 1966 nr. 3, blz. 179(verwijzing naar litt. 1).3. 'Geprefabriceerde wapening in betonconstructie$'; J.Smit, Normali$atie, januari 1969.4. 'Ontwerp Norm 86146'; 'Wapeningstaven voor gewapend beton - Vormen en codering vanvormen'; Norm Commis$ie B6 NN1.5. 'Rationali$atie Vlechtwerk'; ir.o. de Rover, Cement 1970 nr. 4.vervolg Van blz. 326(Berekening van statisch onbepaaldegewapend-betoncon$tructies;door ir. J. Brakel)Het ging er w?l om, aan te tonen dat het rekenen met de onge$cheurde, ongewapende door-$nede en het dimen$ioneren aanleiding geeft tot een kracht$verdeling, die belangrijk kanafwijken van de meer waar$chijnlijke kracht$verdeling in de gebruik$toe$tand.Bij een op de eer$te aanname beru$tende dimen$ionering kan de bezwijkveiligheid van ge-drukte, zwaar gewapende onderdelen veel geringer zijn dan men op grond van een door-snecleberekening volgen$ de breukmethode geneigd i$ aan te nemen. Een comptabiliteit$-berekening i$ dan zeker noodzakelijk.Ik laat bewu$t in het midden welke uitgang$punten dan w?l genomen kunnen worden om toteen betere dimen$ionering te geraken; ik con$tateer voorlopig alleen de hierboven uiteen-gezette feiten. Indien de betonwereld over dit probleem aan het denken wordt gezet, i$ hetdoel van dit artikel bereikt. In een gezamenlijke poging kan dan mi$$chien de weg naar eenmeer verantwoorde dimen$ionering worden gevonden.litteratuur1 Th. Monnier, 'The moment - curvature relation of reinforced concrete'; TNO-rapport 81-69-722 Giorgio Macchi, 'Limit - $tate de$ign of $tatically indeterminate $tructure$ compo$ed of linearmember$'; CO$truzioni in cemento armato - Studi eRendiconti; Volume 6, 19693 Jame$ G. Mac Gregor, John E. Breen and Edward O. Pfrang, 'De$ign of Slender ConcreteColumM'; ACI Journal, January 1970, p. 6-284 S?curit? dans le$ $tructure$ hyper$tatique$'; Bulletin d'lnformation nr. 55 van het Comit?Europ?en du B?tonCement XXII (1970) nr. 8 332