Berekening van massieve en nolle ronde betonkolommenvolgens de breukmethode (G.B.V. 1962, art. 47)door ir. A. J. Chr. Dekker, ingenieur GemeentewerkenRotterdam, afd. Tunnelbouw, en A. K. de GrootI. Inleiding8 = de middelpuntshoek, bepaald door het snijpunt van deneutrale lijn en de inwendige cirkel;Y = de middelpuntshoek, die de grens bepaalt van het elasti-sche gebied van de wapening en het stuikgebied;8 = de middelpuntshoek, die de grens bepaalt van het elasti-sche gebied van de wapening en het vloeigebied;ee = de specifieke vervorming, waarbij het staal begint tevloeien;s'e = de specifieke vervorming, waarbij voor het eerst stuikoptreedt;s'u = de maximale betonstuik volgens art. 47 van de G.B.V.;0"e = de vloeigrens volgens figuur 22 van de G.B.V.;rx'e = de stuikgrens volgens figuur 22 van de G.B.V.;G'U -- de breukdrukspanning van het beton volgens art. 47 vande G.B.V. = 0,6 a'w28-In artikel 43 van de G.B.V. 1962 is het volgende bepaald:'De berekening van centrisch en excentrisch gedrakte kolommen dientte geschieden volgens artikel 47 of volgens de benaderingsmethodevan artikel 48'.De nieuwe G.B.V. introduceren hiermee een berekening volgensde breukmethode; met name artikel 47 geeft hiervoor zeer over-zichtelijk de grondslagen. Maar in de beginperiode van deze bere-keningswijze zal de constructeur toch nog dikwijls op praktischemoeilijkheden stuiten, daar hulpmiddelen, zoals tabellen en gra-fieken, ontbreken.Het hier gepubliceerde artikel beoogt deze praktische moeilijk-heden te verkleinen door het uitwerken van een hulptabel, die deberekening van massieve en holle ronde kolommen volgens artikel47 zeer vereenvoudigt.Hoewel artikel 48 een benaderingsmethode aangeeft, die bij in-gewikkelde doorsneden uitkomst kan geven, is uitgegaan vanartikel 47, enerzijds omdat toepassing van de benaderingsmethodein het algemeen een enigszins groter materiaalverbruik geeft enanderzijds omdat de op het eerste gezicht ingewikkelde cirkel-vormige doorsnede wiskundig toch goed hanteerbaar is.II. Notaties745Waar in het vervolg gesproken wordt over de G.B.V., wordensteeds bedoeld de G.B.V. 1962. De inhoud hiervan en in het bij-zonder artikel 47 wordt bij de lezer bekend verondersteld. fig-1Zoveel mogelijk zijn de notaties van de G.B.V. aangehouden. Debelangrijkste notaties worden hieronder in alfabetische volgordeopgesomd en zijn tevens in hun organische samenhang weer-gegeven in figuur 1.A = totale oppervlakte van de wapening;Da = resultante van de spanningen in de drukwapening;Db = bruto resultante van het betondrukdiagram (bruto, om-dat de invloed van het eventueel aanwezige gat -dat wilzeggen in het geval van een holle kolom- niet in Db isverdisconteerd);D'b = de vermindering van de bruto resultante Dj, ten gevolgevan het eventueel aanwezige gat;R = uitwendige straal van de betondoorsnede;Ra = afstand van het hart van de wapening tot het middel-punt van de kolom;Ta = resultante van de spanningen in de trekwapening;a = ----- = de wapening pereenheid van lengte, gelijkmatig27U Raverdeeld over de cirkelomtrek met straal Ra;r = inwendige straal van de betondoorsnede (holle kolom);x = de afstand van de neutrale lijn tot de vezel met maximumdrukspanning;a = de middelpuntshoek, waardoor de neutrale lijn is vast-gelegd;III. Principe van de berekeningDe berekening berust op de evenwichtsvergelijkingen 2 K = 0 en ?/VI = 0.Met behulp van figuur 1 en de gegeven notaties is het niet moeilijk om deze vergelijkingenuit te schrijven, waarbij het opstellen van de vergelijking SW = 0 arbitrair zal geschiedenmet een momentenbepaling ten opzichte van de middellijn. De vergelijkingen worden:SV=0: N'u = Db-D'b + Da-Ta ........................................................................................................... (I)SM = 0: N'U (e0 + e, + e2) = MDb-MD'b + MDa + MTa .................................................................... (II)Heeft men, zoals dikwijls het geval zal zijn, alleen met massieve kolommen te maken, danvervallen de termen D'b en MQ',.In principe is het probleem dus zeer eenvoudig, alleen de uitwerking is gecompliceerd, doordatde termen van de rechterleden bewerkelijke goniometrische functies van de hoeken a, 8, Yen ? zijn. Zodra bedoelde functies echter afgeleid zijn, kan voor elke waarde van de hoekena, 8? Y en8 de functiewaarde in een tabel verzameld worden, waardoor het probleem ookpraktisch gemakkelijk oplosbaar is. Ook kunnen dan grafieken worden samengesteld.In paragraaf IV zullen de grootheden Db, Mrj., D'b en Mr/, worden bepaald als functies vana resp. 8; in paragraaf V zullen de grootheden Da> Moa, 7a en Mxa worden bepaald als functiesvan de hoeken Y resP- ?? terwijl ten slotte in paragraaf VI een recapitulatie zal worden ge-geven, alsmede de tabel met de benodigde functiewaarden.In een artikel in een volgend nummer van Cement zullen enkele voorbeelden worden uitgewerkt.Cement 14 11962) Nr. 12IV. Het afleiden van de inwendige krachten en momenten van de betondrukzoneals functies van de hoeken a en R1. Uitwerking van de voorkomende integralenf* ? , _, /'a/1-cos2cp\ _, 1 1 . ,,/ sm2cpdcp=/ I-----------J-j dcp =yOC-:j-sin2a/a/a/1 + cos2cp\ 1 1/ cos2cpdcp=/ I-----------------ij dtp =ya + ^-sin 2aJO JOf* /?? ,J sin2cp coscp dcp = I sin2wo * Co Jo Jo ' >_Db = 2CT'U.R2xX yOC-isin2a- --)ya-~sin2a-jsin3(x+^oc-^sin4a> ............................................. (?)Is a ig n (of x sj 2R), dus valt de neutrale lijn binnen de betondoorsnede, zoals in figuur 2,dan is x = R (1 - cosa) en dan wordt vergelijking (J):D = 2o' . Rb u2x1 P~l1 1 ^ 1 1 2 1 1va--j-sin2a--i ------------------------------- s} ^-a- --sin2a-^-sin3a + -j-a---sin4a?2 4 (1 - cosa)2(* 2-----------4 38 32 ^ JDb = a'u . R2xf 4 1 1 ~1a. cos2a-sina.cos3a-2a.cosa + 2sina. cos2a + -=-sin3a--ra + 7Tsin4aX ______________________________________ I ______4 16_ (1 - cosa)2ofj Db = &a . R2. k, .............................................................................................................. (1a)waarbij4 11, a. cos2a - sina. cos3a - 2a. cosa + 2 sina. cos2a + -- sin3a - -j- a + -r-. sin 4akt =___________________________________________ J _7____ ]^ ____(1 - cosa)2Valt de neutrale lijn buiten de betondoorsnede, (dus x Si 2R), zoals in figuur 3, dan is a =7r,waardoor vergelijking (J) overgaat in:Db = 2CT'U . R2xr 1 1 . . R2\ 1 1 . . 2 . 3 , i 1 . . nx Y7r-^-sin27c--s< 2"7r-^-sin27t-ysin37r + -g-Tt-^s^TC)of| Db = o'u . R2.7i[l -| *] ............................................................................(ft)3. Het bepalen van het moment M&.Uit figuur 2 volgt:/??MDb = / cr'b . 2Rsincp . Rsincp dcp . RcoscpJ 0MDb = 2 or'u . R3/ 11 --------------( -coscp) I sjn2^cQs^d^[I746 Cement 14 (I962) Nr. 12r r R2Mob = 2cr'u . R3/ sin2^ cos(p dtp --- xLJo x/-a ,-a /-a -,xjl sin2tp costpdtp-2 l sin^ cos2tp dtp + I sin2tp cos3dtp SVO Jo JO '-r 1 R2MDb=2G'u.R3\ ~sin3a.---x( -i 11 1 1 )~IX j ysin3a-^~a + --sin4a + y sin3a---sinsa / ............................................................................ (2)Is a gj 7T (of x 5S 2R), dus valt de neutrale lijn binnen de betondoorsnede zoals in figuur 2,dan is x = R (1 - cosa) en dan wordt vergelijking (2):MDb = 2cr'u.R3xX ,4-sin3a-- ----------------^)l_sin3a_l.a+_Lsjn4a + _sin3a ~4-sin5a? Il_ 3 (1 - cosa)2(3 4 16 3 5UMDb = 2cr'u . R3xt-- 1 1 ~2 1 1 1--=- sin a. cosa + =-sin a. cos a + -3- 3 2 3 sra-Trsin4a--3-sin a 4- -=-sin aX ^3 ____________ _3_____________ 4 16 _______ 3 ______|_J>_____(1 - cosa)2, ,,r--isin3a.cosa-r=sin5a+-Ta--5-sin4aL (1 - cosa)2of| MDb = tr'u.R3.k2 ................................................................................................................................... (2a)waarbij4 4 11-^-sin3a. cosa---sin5a + -=-a--5-sin4ak2 = __? _______________ l?________ z? ______(1 - cosa)2Valt de neutrale lijn buiten de betondoorsnede (dus x I> 2R), zoals in figuur 3, dan is a = 7t,waardoor vergelijking (2) overgaat in:f1 R2C i 1 1 1 1 )"]MDb =2cr'u.R3ySin37i;--isin2