prof.ir.arch.H.Somerswetenschappelijk raadgever bij het WTCB,Brussellh~ F-1De constructie wordt gedacht ingeklemd tezijn in de funderingBerekenen van wanden inongewapend beton1. InleidingDe Belgische 'Aanbevelingen voor de berekening en de uitvoering van ge?ndustrialiseerdebouwwerken in beton' -2e uitgave 1980, opgesteld doOr het 'Wetenschappelijken TechnischCentrum van het Bouwbedrijf' (WTCB), voorzien in de mogelijkheid om betonwanden uit tevoeren zonder wapening. Wapening is alleen nodig wanneer het draagvermogen van deniet-gewapende wand onvoldoende zou zijn, of wanneer andere motieven, zoals vervoer, ditvereisen. Despecifieke Belgische betonnorm NBNB15voorzietaiieen inalgemenevoorwaar-den en aanbevelingen voor de berekening.Om de bovengenoemde WTCB-aanbevelingen op te stellen, was het dan ook noodzakelijkandere bronnen te raadplegen. Hier mag in de eerste plaats de 'Code Mod?le' wordengenoemd, de aanbevelingen van 1978, opgesteld doorCEB en FIP.In dit artikel wordt een methode ontwikkeld om op een snelle wijze te kunnen controleren ofeen gegeven wanddoorsnede onder de gecombineerde werking van samengestelde buigingen het tweede-orde effect al of niet dient te worden gewapend. Voorts wordt een grafiekgegeven (ontleend aan Iit. 4) die bij de controle in de praktijk kan worden gehanteerd.Het rekenvoorbeeld waarmee een en ander wordt toegelicht, is ter wille van de duidelijkheideenvoudig gehouden.2. Bepalingen en definitiesDe boven elkaar geplaatste panelen vormen een dragende wand die als ingeklemd in defundering wordt verondersteld. De dikte wordt aangegeven door h en de hoogte door L. Depanelen zijn in doorsnede rechthoekig, zodat het mechanisch middenvlak correspondeertmet het midden van het paneel (fig. 1).De belasting door paneel i + 1,wordt via een denkbeeldig horizontaallijnscharnier A, naarpaneel i overgebracht (fig. 2). Dit lijnscharnier bevindt zich in het mechanisch middenvlak,wanneer de panelen van gelijke dikte zijn.{ I\..../i ...13. Rekken en inwendige krachten3.1 Parabolisch rechthoekige diagramVeronderstel een vervorming van vlak AB, aangegeven door A'B' (fig. 3). In AenS noteren wijde rekken Eb1 en Eb2. Met behulp van het cr-E-diagram, vinden wij het daarbij behorendespanningsbeeld (fig. 4). Dit is geen uiterste grenstoestand zolang in B de grensrekEbu= 3,5%.nog niet is bereikt.Een eenvoudige integratieberekening, zal ons de resultante Nb* en de overeenkomendeexcentriciteit e leren kennen. Nb* is de resultante over een eenheidslengte en is, naar hetmidden overgebracht, te vervangen door het stelsel: Nb* en M'bc= e? Nb* (fig. 6).De grootheden Nb* en M'bc worden verder vervangen door de dimensieloze waarden n'* enm*bc.LA=lijnscharniermechanisch JmiddenVlaL--.----J>i .__. ? ih2De belasting van het bovenliggende paneelwordt overgebracht via een denkbeeldiglijnscharnierCement XXXIII (1981) nr. 9'* _ N'* * _ M'bc _ N'* . e _ '* enb - h . Rb'; en m bc - h2 . Rb'; - h. Rbu* ti - nb ti?3.2 Verband tussen inwendige krachten en vervormingen (fig. 6a)Uit het voorgaande is gebleken dat het spanningsstelsel, behorend bij de rekken Eb1 en Eb2 inde uiterste vezels, kan worden vervangen door een gelijkwaardig stelsel nb* en m'bc. Tweegegeven waarden voor Eb2 en Eb1 bepalen in een assenkruis het punt E (fig. 7).Bij het punt E hoort een waarde voor Ob* en m'bc. Wanneer nu de punten met gelijke waardenvoor nb* respectievelijk m'bc worden verbonden, dan verkrijgt men een tweetal bundels vankrommen. Omgekeerd zullen twee gegeven waarden voor Ob* en m'bc twee overeenstemmen-de waarden voor Eb1 en Eb2 geven (zie punt F).Stellen nu n'* en m*c de herleide inwendige krachten voor, afgeleid uit de uitwendigebelastingen, dan is het inwendige evenwicht verzekerd wanneer aan de twee volgendevoorwaarden is voldaan:ni,*;::: n'* en m'bc~ m?5993,S'JIoo EbIIIII.~-_. __.! hA'Eb1 ........................,A3Vervorming van vlak AB naar A'B'4Spanningsbeeld; bepaling normaalkracht enexcentriciteitA IJ e k'IB5Spannings-vervormings-diagram6Overbrenging van de normaalkrachtnaar hetmidden levert e . Nb'cWanneer wij het gelijkheidsteken als voldoende aanvaarden, dan geeft de grafiek de vervor-mingen voor welbepaalde waarden van de inwendige krachten n" en m'?.De grafiek wordt omsloten door vier rechten:- de rechte OA drukt uit dat Eb2 = 0- de rechte OB drukt uit dat Eb2 = Eb1~ de recht? CD bevat de uiterste grenstoestanden met Eb2 = Ebu = 3,5 %0 (zie rotatiepunt A1 infiguur 8).- de rechte BC betreft de rekken in de uiterste vezels, wanneer de uiterste grenstoestand wordtbepaald door een vervormingsvlak gaande dOOf het punt A2 van figuur 8.Voor een niet-gewapende doorsnedebeschrijven de vervormingsvlakken om het rotatiepuntA1 de hoek U1, en om het rotatiepunt A2 de hoek U2 (fig. 8).3.3 Kromming en invloed van de kruipWanneer voor de inwendige krachten m'?en nO' uit de voorgaande grafiek de rekken Eb2enEb1worden afgelezen, bedraagt de kromming:6aWaarden voor ?bl en Eb2 K = Eb2 tiEb1 (fig. 9) ofwel:1.0 1.5 2.0 ?,0.5o-0.5-1.0-2.0 -15-2.5-3.0-3.5-4.0-4.5-55-600.080...... '-_::--------?~:::~~~-====:~~~~~\=;~---QD1r-- _0,010-- - - - ~ ~_ ~-:-: =-~--tJJ:t:I':f""'- - - - ._ "-._.Cement XXXIII (1981) nr. 9 6007Bepaling van punt E en punt F8Hoekverdraaiingen van devervormingsvlakkenD=--.__.--_~---=[~(0,3,5 lo\\2%0?2 \d;\\\\\\10Belastillgoverdrachtvan panelen metgelijkedikte verloopt langs een lijnscharnier in hetmidden van de panelenxdhh9Bepaling van de kromming. -lg_i_.,----------1I II II II I1--.--_._--. ---lCement XXXIII (1981) nr. 9tK = eb2 als a= -hXahOm de kromming na kruip te kennen, moet deze waarde worden vermenigvuldigdmet 1 + pl3.Vooreengematigdeofvochtigeatmosfeerisp = 1,2envooreendrogeatmosfeerisp= 1,5.l3isde verhouding tussen de permanente en de totale belasting, wanneer voor de beide belas-tingstoestanden de excentriciteit van de normaalkracht gelijk blijft.4. Bepaling van de inwendige krachten4.1 Formule voor de belastingscombinatieOm de inwendige krachten bij uiterste grenstoestand te bepalen schrijft de norm NBNB15-103 de volgende belastingscombinatie voor:$* = 1,5Glk + O,9G2k + 1,5 (Olk + O,902k + O,803k + 0,7 (04k + ...)]$* is een rekenwaarde. Glk is een ongunstige en G2k is een gunstige permanentebelasting.Voor de veranderlijke belastingen geldt de voorwaarde 01k > 02k> 03k > 04k .....4.2 Eerste-orde effect4.2.1 Mechanische excentriciteitWij veronderstellen dat de panelen i ~ 1, i en i + 1 dezelfde dikte h hebben. In dit geval zal debelasting van paneel i -1 naar paneel iworden overgebracht langs een lijnscharnier, gelegenin het midden van de paneeldikte (fig. 10). Wij noemen n~i de karakteristieke waarde van dehiermede overeenkomende scharnierkracht.Is p een belasting (bijvoorbeeld dooreen vloer) die meteen excentriciteit inhet bovenvlak vanpaneel i aangrijpt, dan zal de resultante n~i = n~i + p de volgende excentriciteit hebben:es = Cs ;p .nsiDe scharnierkracht in het ondervlak van het paneel is:n~i + 1= n~i + egi,waarbij egi = eigen gewicht.Meestal zullen geen andere krachten op het ondervlak van het paneel aangrijpen, zodat wijvoor de excentriciteit vann~i + 1kunnen schrijven: ei = O.ei betreft bij het beschouwde wandpaneel de voeg aan de onderzijde; es de voeg aan debovenzijde.Bij een knikberekening kan men, volgens de CEB-FIP-aanbevelingen, de excentriciteiten esen ei vervangen door een constante waarde: ea = 0,6 es + 0,4 ei of ea = 0,4 es.ei kan ten opzichte van es positief of negatief zijn.4.2.2 Excentriciteit ten gevolge van:a. niet homogeen zijn van hetbeton: eh = 0,02 ? 0,03 hb. niet vlak zijn van het paneel: ep = 0,002 ? 0,003 Lc. plaatsingsfouten:em = 10 mm als het onderstaande paneel niet zichtbaar is;em = 5 mm als het onderstaande paneel na plaatsing wel zichtbaar is.Deze excentriciteiten hebben een constante waarde over de gehele hoogte van het paneel.4.2.3 Totale excentriciteitDe totale excentriciteit of het zogenaamde eerste-orde effect is:el = ea + eh + ep + emEventueel moet deze waarde op halve hoogte van het paneel worden vergroot met deexcentriciteit ten gevolge van windbelasting die loodrecht op de zijkant aangrijpt.6011y ~1III Pz P,La11Onderzoek knikprobleem van een paneelmet verticaal ondersteunde randLI\\\\\\e12Bepaling horizontale verplaatsinghalverwege de kniklengte bij excentrischaangrijpende normaalkracht (e2JNIJ'h13Bepaling van de maximale krommingCement XXXIII (1981) nr. 95. Tweede-orde probleem5.1 KniklengteDaar de panelen, in de richting loodrecht op de zijvlakken, niet bijdragen aan de stijfheid vande totale constructie, moet die stijfheid door een centrale kern worden geleverd. Dezecentrale kern moet in die richting aan een voorgeschreven stabiliteitswaarde voldoen (zieCEB-HP Code Mod?le 1978), opdat de panelen tot een constructie met niet verplaatsbareknopen kunnen worden gerekend. Als kniklengte geldt de hoogte van het paneel. Dezekniklengte zal kleiner worden wanneer de horizontale verplaatsing van de zijwanden wordtbelet. Dit is een theoretische veronderstelling die niet altijd door de werkelijkheid wordtbevestigd. Om hiermee rekening te houden stellen de CEB-FlP-aanbevelingen voor, dekniklengte niet kleiner te nemen dan 0,85 L.In samenhang met de WTCB-aanbevelingen kunnen wij dan tot het volgende besluit komen.Het knikprobleem van een paneel dat een verticaal ondersteunde rand heeft, wordt onder-zocht (fig. 11):1. voor eenstrook gelegen op een afstand a van de ondersteunde rand (a is de kleinste afmetingvan ~ of ~ ). De belasting is P2 en dekniklengte L;2. voor een strook gelegen ter hoogte van de ondersteunde rand. De belasting is P1 en dekniklengte 0,85 L.5.2 Tweede-orde excentriciteit van een niet-gewapend wandpaneelWanneer een normaalkracht N" met een constante excentriciteit e1 aangrijpt, dan kan menaantonen dat de horizontale verplaatsing op halve hoogte van de kniklengte gegeven wordtdoor:K' L2e2 =.--a- (fig. 12)ec kan gelijk zijn aan Lof 0,85 L; voor de duidelijkheid vervangen wij ecdoor L.K is de maximale kromming die wordt bepaald door (fig. 13):Eb2 en Eb1 worden afgeleid uit de gereduceerde grootheden n" en m'?.De excentriciteit e1is nu toegenomen met een eerste waarde voor e2. De gereduceerdeinwendige krachten zijn nu:n" (constant)m'? = n"e1~ e2 (veranderlijk)Hieruit kunnen wij een nieuwe waarde voor e2 afleiden. Om deze opeenvolgendebewerkin-gen iteratief uit te voeren, maken wij gebruik van de grafiek die het verband aangeeft tussend' en m'c (fig. 14).Zo isA1 hetpuntdatbepaaldwordtdoorn"enm'?-1 = n'* ~1 .A 'h t I d t b Idd " * - "e1 + e221S e vo gen epun, epaa oornenm c--2- n -h- enz.5.3 Opstellen van de grafiek voor het bepalen van de knikbelastingWij nemen een bepaalde waarde voor n;' en voor de eerste-orde excentriciteit e1 (fig. 15).n;' en m'?-1 = n;'~ bepalen het punt 1. Dit levert een eerste waarde voor Eb1 en Eb2. Hieruitvolgt een tweede-orde excentriciteit:, ' L 2e2 =Eb2- Eb1'(1 + pP.)~ of'h h2 P 8' .I = V (1 + p~) . ~cHieruit volgt een nieuwe waarde voor m*c namelijk:Op de kromme n;* geeft dit punt 2. Op dezelfde manier bepalen wij de punten 3, 4, 5, ...Veronderstel daterconvergentie optreedt in punt6. De ligging van ditconvergentiepunt opdeIijnn;*isafhankelijkvandewaardenvan ~1 en LWij nemen nu een tweede waarde voor n'*, namelijk n2* met de voorwaarde n2' > n;' en602LH15aGrafiek voor bepaling van de knikco?ffici?nt>::026 24 222018 1614 1210 8283032~34m 364038el~ ~ ~ ~ ~ .~bepalen opnieuw de puntenreeks 1,2,3, .. ,. Wanneer nil.* voldoende groot wordt genomen,wordt het divergeren van de puntenreeksduidelijk vastgesteld. Erdoetzich instabiliteitvoor;de vervormingen nemen onbeperkt toe.'Tussen de waarden n; * en nil.* ligt de grenswaarde ni; waarbij net geen instabiliteit optreedt.Deze waarden voor ni; zijn voorgesteld infiguur15a, die nurneriekwerd afgeleid uittiguur6a,waarin Ebl en Eb2 een functie zijn van n'* en m*c.n"ft1,00,90,80,70,6Eb10,50,40,30,20,1.. ----~~L-----15Grafiek voor bepaling van de knikbelasting14Verband tussen n'* en m':,6. Samenvatting van de bewerkinga. Bepaling van de kniklengte, uitgaande van 0,85 L of L (zie paragraaf 5.1)b. De gereduceerde kniklengtewordt gegeven door:- L,~?=t? v1 +p~eventueel te vermenigvuldigen met 0,85.Voor de waarden vanp en ~ wordt verwezen naar paragraaf 3.3.c. De eerste-orde excentriciteit wordt bepaald overeenkomstig paragraaf 4,2. Hieruit volgt degereduceerde waarde ~l .d. Uitgaande van Xen ~l geeft figuur 15a een waarde voor ni;. Hieruit volgt de grenswaardevoor deknikbelasting: Ni; = ni; . h RbuIs N'* de rekenwaarde van de inwendige normaalkracht, dan geldt als voorwaarde: N'*~ Ni;.Belangrijke opmerkingAls IesI> Iei Idan wordt de maximale excentriciteit in het bovenvlak van het paneel gegevendoor:el = es + eh + ep + em.Hetzelfde geldt ook wanneer Iei I> Iesl?Het draagvermogen in het bovenvlak van het paneel (zonder knik of X= 0) kan kleinerzijn dan het draagvermogen in de doorsnede op halve hoogte (met knik).7. Voorbeeld7.1 Algemeen7.1.1 ProbleemstellingDe bedoeling is om bij een wand over een hoogte met zeven bouwlagen, opgebouwd uitpanelen, de knikveiligheid te bepalen van het wandpaneel van de eerste bouwlaag, Hetvoorbeeld is zodanig gekozen dat de berekeningswijze er duidelijk mee kan worden ge?llu-streerd. Ook de belastingstoestanden worden tot hun eenvoudigste vorm herleid.Cement XXXIII (1981) nr. 9 603IEo,CJ?"N11E