Staven, panelen en elementen7201280Staven, panelenen elementenRelatie staafwerk, staafpaneelmodel en eindige-elementenmethodetoegelicht met voorbeeldenIn dit artikel zal een aantal voorbeelden de revue passeren enwordt getoond hoe de oplossing van een staafpaneelmodel deweg wijst naar een geschikt staafwerk. Als het niet lukt om dekrachtswerking eenvoudig te vinden, kan een berekening metde eindige-elementenmethode (FEA) hulp bieden. Het artikelbeperkt zich tot het aangeven van de krachten in staven enpanelen. Het kiezen van wapening en toetsen van drukspan-ningen wordt overgelaten aan de deskundigheid van de lezer,op enkele korte opmerkingen na.Voorbeeld 1: Een klassiek gevalIn het klassieke geval van een vrij opgelegde ligger met eenpuntlast in het midden (fig. 1) is de bovenrand een drukstaaf,de onderrand een trekstaaf en brengt het lijf de dwarskrachtHet staafpaneelmodelHet staafpaneelmodel heeft zijn `roots' in de universiteit vanKopenhagen, heeft aandacht gekregen aan de TU Delft [2] enwordt gedoceerd aan de universiteit van Californi? in SanDiego. De essentie van het staafpaneelmodel is het naast elkaargebruiken van staven en panelen met een onderlinge rolverde-ling. In de eenvoudigste versie vormen de staven een orthogo-naal rooster waarbinnen de panelen passen. De staven nemenuitsluitend normaalkracht op en de panelen alleen schuifkrach-ten. De schuifkrachten zijn constant over het paneel, waardoorde normaalkracht lineair verloopt over de lengte van een staaf.In het Cementartikel over tandopleggingen van 2010 [3] ishieraan al aandacht besteed.Constructeurs gebruiken staafwerken voor het dimensioneren van betonconstructiesof details ervan. Internationaal heten deze modellen `strut-and-tie models' (STM).Constructeurs zijn echter minder vertrouwd met staafpaneelmodellen, internationaal`stringer panel models' (SPM) genoemd. Daarmee doen ze zich tekort. In complexeconstructies is het combineren van de twee modellen een goede greep. Ook bereke-ningen met de eindige-elementenmethode, internationaal `finite element analysis'(FEA), kunnen daarbij helpen.StufibDit artikel is de weergave van eenpresentatie bij Stufib op 8 mei 2012.Tijdens deze presentatie is ookaandacht besteed aan hogewand-liggers. Hierover verschijnt binnen-kort een afzonderlijk artikel.Staven, panelen en elementen 72012 81Fxyn xynF!!2F 2F2F2F2F2F2F2,70 m2,70 m2,70 m2,70 m2Fover. In de figuur zijn de normaalkrachten weergegeven metgroen voor druk en rood voor trek. Bij de gekozen profieldoor-snede wijst zich vanzelf waar de hartlijn van de druk- en trek-staven ligt, zowel horizontaal als verticaal. Bij wandliggers kandat minder voor de hand liggen en moet de constructeur zijninzicht en ervaring gebruiken om de positie van de staven tekiezen, net als bij een staafwerk.Voorbeeld 2: Console aan kokerliggerHet tweede voorbeeld is een koker zonder eindschotten. Dezewordt via een console met sparing halverwege de overspanningexcentrisch belast door een puntlast 2F (fig. 2). Hier wordt alleende krachtsverdeling in de console behandeld met het getoondestaafpaneelmodel. De boven- en onderwand van de koker leverenhorizontale oplegreacties 2F en de verticale kokerwand een verti-cale 2F. Zonder sparing zou een drukdiagonaal lopen van links-boven naar rechtsonder met een horizontale trekband boven in deconsole. De drukdiagonaal kan zich echter niet ontwikkelen doorde aanwezigheid van de sparing. De krachtsverdeling in het staaf-paneelmodel staat in figuur 3. De hoekpanelen zijn vierkant en depanelen ertussen hebben zijden in de verhouding 1 op 2. Bij dezegeometrie en belasting blijken de hoekpanelen spanningsloos teblijven. Dat laat zich eenvoudig inzien. De twee panelen boven enonder de sparing moeten samen de dwarskracht 2F overbrengenen zullen elk F voor hun rekening nemen. Op elk schuifpaneelwerken dus verticale schuifkrachten F. Voor momentenevenwichtvan het paneel zijn dan horizontale krachten 2F nodig. Actie isreactie, dus de kracht 2F werkt naar links op de horizontale staafbovenin en maakt evenwicht met de horizontale oplegreactie 2Fin de rechterbovenhoek van de console. De twee hoekpanelen dieook aan deze staaf grenzen, hoeven dus niets meer te doen; er is alevenwicht.Bij de linkerboven- en de rechteronderhoek van de sparingontstaan trekkrachten F ter grootte van de halve puntlast op deconsole. De trajectorie?nplot (fig. 4) bevestigt de trekspannin-gen (het gebruikte programma heeft blauw voor trek en roodvoor druk). De plot bevestigt ook dat de puntlast eerst naarbeneden wordt afgevoerd en dat de trajectorie?n pas op dehoogte van de sparing gaan afbuigen.Als een staafwerk de voorkeur heeft, kan handig gebruikworden gemaakt van de oplossing voor het staafpaneelmodel.Gekeken moet worden hoe een paneel vervormt. E?n diagonaalzal korter worden en ??n langer. Figuur 3 helpt om te bepalenwelke diagonaal korter wordt. Dat is de diagonaal die corres-pondeert met de richting van de hoofddrukspanning. Hetpaneel wordt dan vervangen door een drukstaaf langs dieprof.dr.ir. Johan Blaauwendraademeritus hoogleraar, TU Delft1 Staafpaneelmodel voor ligger op tweesteunpunten en puntlast in het midden2 Belasting 2F via console op kokerliggerfib-bulletinIn 2011 heeft fib het bulletin`Design examples of strut-and-tiemodels'uitgebracht [1]. Daarin staat een behartigenswaardigadvies ten aanzien van het beperken van scheurwijdten in debruikbaarheidstoestand.Staafwerken horen tot de familie van bezwijkanalyses, waarbijherverdeling van krachten mag plaatsvinden. Maar als veelherverdeling nodig is, zijn grote scheurwijdten te verwachten.Het advies is daarom dicht bij de elastische oplossing te blijven.12Staven, panelen en elementen7201282!! !2F2F2F2FF F2FF2F2F2F2FF2F2F2F2FFFFF2F2F2FFFFF! ! ! !3453 Staafpaneelmodel met krachten4 Het trajectori?nbeeld bevestigt de juistheid van destaafkrachten in het staafpaneelmodel5 Staafwerk voor de console, tensegrity om de sparingsymmetrische D-gebied laat zich vinden met behulp van alleenevenwicht en overwegingen van antimetrie. De panelen links-en rechtsonder blijven spanningsloos. Uiteraard moet hetpaneel onder de sparing in zijn eentje de dwarskrachtopnemen, maar dit is ook het geval voor de panelen links- enrechtsboven. Dit doet denken aan de krachtswerking bij eentandoplegging. In de staven die grenzen aan de sparing, krijgtde normaalkracht de waarde V, positief (rood) of negatief(groen). Op de grenzen links en rechts van het D-gebied wordtde normaalkracht in de verticale staven 0,5V. De oplossing kanweer worden benut om een geschikt staafwerk te vinden. Dehoofddrukspanning loopt in alle panelen in de richting vanlinksonder naar rechtsboven. Deze diagonalen worden druk-staven in het staafwerk. Het is snel duidelijk waar de anderestaven lopen. Het resultaat staat in figuur 8.Nog een opmerking over de keuze van het D-gebied: Volgensde Eurocode moet dit gebied in het algemeen links en rechtsvan de sparing worden doorgezet over een afstand gelijk aan dehoogte van de ligger. Het zou dan 6a lang worden en de vier-kante panelen in figuur 6 worden rechthoekig met een verhou-ding van de zijden 2 op 1. De horizontale uitwendige krachtenop het D-gebied groeien aan tot 1,5V. Bij deze keuze van hetmodel gaan de panelen linksonder en rechtsonder meedoen.Driekwart van de dwarskracht gaat door de bovenste panelenen een kwart door de onderste.Voorbeeld 4: Sprong in plaatdikteHet vierde voorbeeld is een plaat met een versprongen dikte: dearm van 1,0 m verandert abrupt in 0,6 m (fig. 9). Op de over-gang treedt een dwarskracht op en een opbuigend moment. Deeenheden zijn N en mm, de getallen gelden voor een plaat-breedte van 1000 mm en alle krachten en momenten zijngedeeld door 105. Zonder veel toelichting volgt nu de oplossingvoor dit probleem. Het discontinue deel is in een vooraf uitge-voerde globale berekening gemodelleerd met een hellend plaat-deel. Uit die berekening volgt de belasting op de grenzen vandiagonaal, wat resulteert in het linker staafwerk in figuur 5. Ditkan worden teruggebracht tot het rechter schema, dat mooi laatzien hoe de krachtswerking rond de sparing verloopt. Deenkele drukdiagonaal die er zou zijn zonder sparing, wordt eenfraaie tensegrity om de sparing heen.Voorbeeld 3: Sparing in kokerwandenVoorbeeld 3 betreft een rechthoekige sparing in de verticalewanden van een kokerligger. Aangenomen wordt dat ditgebeurt in een momentennulpunt van de ligger. De algemeen-heid van de oplossing zal daar niet onder lijden. Rondom desparing ontstaat een D-gebied. We delen dit op in staven enpanelen als getoond in figuur 6. De afmetingen van de sparingzijn zo dat het paneel onder de sparing twee keer zo lang is alsbreed en de andere panelen vierkant zijn. Het boven- en onder-dek van de koker zijn horizontale staven in het model. Dehoogte van de verticale wand is 2a, gemeten van hart bovendektot hart onderdek. De lengte van het D-gebied is 4a. De dwars-kracht is V en het moment links en rechts op het D-gebiedbestaat dan uit twee tegengestelde krachten V in boven- enonderdek. Zo vormen de krachten een evenwichtssysteem. Deoplossing staat in figuur 7. De oplossing van de krachten in hetStaven, panelen en elementen 72012 83V Vaaa2 aaVVVVDB BVVV V2V2VV Va2aaVVVVVVaaV VVV/2V/2V/2V/2V2VV 2V2VV+V+V+V+V+V+ V+?V 2V 22VV+??V 5??10010055454 kNm5 kN54543654365541414123953641541600 60060040060 kNm5 kN90955 249545 2+54+36-27 5+90-54+41-41 2+56 789 106 Sparing in kokerwand7 Krachten rondom sparing in kokerwand8 Staafwerk rondom sparing in kokerwand9 Discontinu gebied rondom diktesprong in plaat10 Staafwerk rondom diktespronglinks van de diktesprong wordt de schuifspanning 9,00 N/mm2,meer dan tien keer zo groot. In het paneel daaronder is deschuifspanning 6,83 N/mm2. Bij de overgang van dikte is dusverdeelde wapening nodig in zowel de hoogterichting (beugels)als in de richting evenwijdig aan het middenvlak. Rechts van dediktesprong is de krachtsverdeling in feite ongestoord gebleven.Ook nu kan uit het staafpaneelmodel een staafwerk wordenafleid (fig. 10).Wandligger met openingE?n van de voorbeelden in het in het kader genoemdefib-bulletin [1] is een wand met een opening als in figuur 11.De wand is in feite een 4 m hoge ligger met een lengte van11 m, rechts ingeklemd en links vrij opgelegd. Een kolomoefent een puntlast van 5000 kN uit op de wand. Ook is eengelijkmatig verdeelde belasting van 120 kN/m aanwezig over devolle lengte, waarin het eigen gewicht is inbegrepen. Uit globalehet discontinue deel. Het staafpaneelmodel is eenvoudig ?nstatisch bepaald, zodat de oplossing zich makkelijk laat vindenaan de hand van alleen evenwicht. De nominale ongestoordeschuifspanning rechts van het discontinue gebied is0,83 N/mm2. In het bovenste paneel in het gestoorde gebiedStaven, panelen en elementen7201284mm4000 mm2750 mm1500 mm2750mm110005000 kNkN3000kN/mq =120288026402630 2900 31705640109204476-1614-93804000 mm1500 mm1000 mm1500 mm5000 kN362 kN 249 kN78 kN 81 kN78 kN 249 kN3536 kN306 kN4615 kNABG HLCM N OFQ RI JPKD E 45.58?1836 mm81 kN118 kN120 240 2705270 270 15033203000111211 Geometrie en belasting van hogewandligger met opening, inclusiefmomenten- en dwarskrachtenlijn12 Staafwerk volgens fib-bulletin 61, inclusief staafpaneelmodelzijn, het is niet meer statisch bepaald, zodat geen eenduidigeoplossing kan worden gevonden op basis van alleen evenwicht.Nu zou ook rekening moeten worden gehouden met vervor-mingen. Maar dat kan als volgt worden omzeild. Er wordt eenberekening gemaakt met de elementenmethode en de verdelingvan de schuifkracht wordt geplot in verticale sneden over hethart van boven elkaar gelegen panelen. In het model zijn datvijf sneden. Op het oog wordt de vloeiende verdeling in de plotvervangen door een verdeling die per paneel constant is(fig. 13). Dit wordt een trapjeslijn. Zo wordt per snede deschuifkracht in de panelen bekend. Figuur 14 geeft het resul-taat. Deze paneelkrachten blijven dicht bij de elastische oplos-sing. Het bepalen van de normaalkrachten is vervolgens eenkwestie van evenwicht, omdat de belastingen uit de panelenbekend zijn. De randvoorwaarden aan de uiteinden van destaven zijn ook bekend. De normaalkrachten staan in figuur 15.Vergeleken met het staafwerk zijn er een paar verschillen.Boven de opening levert het staafwerk een grote trekkracht,waar de kracht in het staafpaneelmodel druk is. Terwijl hetstaafwerk langs de onderrand van de opening g??n trekkrachtheeft, treedt die in het staafpaneelmodel w?l op, en geen kleineook. Verder levert het staafpaneelmodel een horizontale trek-kracht onder de grote puntlast, waar het staafwerk dat niet doet.Ter vergelijking wordt de FEA-oplossing voor de normaalspan-ningen in de verticale snede over de puntlast getoond. De oplos-sing van het staafpaneelmodel spoort hiermee, die van het staaf-werk niet. Het staafwerk zal vast wel voldoen voor de uiterstegrenstoestand, maar het verwijdert zich ver van de elastischeoplossing. In principe is substanti?le herverdeling van krachtennodig en kunnen de ontwerpers van het staafwerk flinke scheur-vorming verwachten. Voor de uitkomst van het staafpaneelmodelis weinig herverdeling nodig, omdat de krachtsverdeling de elas-tisch oplossing aardig volgt.berekeningen volgt een oplegreactie van 3000 kN. Door dezeals belasting in te voeren, is de constructie uitwendig statischbepaald.De auteurs in het fib-bulletin presenteren voor dit probleem hetstaafwerkmodel als in figuur 12 (boven). Rechts van de puntlastmoet het staafwerk de omleiding van krachten rond de openingverzorgen. De keuze van de auteurs is om twee redenen bijzonder.De eerste betreft de horizontale wapening boven en onder deopening. Daar is de wand overgegaan in twee korte liggers. Alsdaarvan de kromming wordt voorgesteld, wordt horizontalewapening rechtsonder de opening verwacht. Maar het staafwerkheeft onder de opening geen horizontale wapening. De tweedebijzonderheid betreft de horizontale wapening onder de grotekolombelasting. Deze ligt geconcentreerd langs de onderrand,zoals bij een slanke ligger. Bij hoge liggers is het om redenen vanscheurwijdtebeheersing beter om de hoofdwapening te spreidenover het onderste deel van de ligger1).Het probleem is nu onderzocht met het staafpaneelmodel als infiguur 12 (onder), bijna het eenvoudigste model dat denkbaaris. In figuur 11 staan ook de momenten- en dwarskrachtenlijnvoor de ligger. Het staafpaneelmodel mag dan redelijk simpel1) Opmerking van de auteur: "Ik heb van Walraven geleerd dat je anders`Sammelriszen' oproept."Staven, panelen en elementen 72012 8513 14150,501,001,50 0,501,001,50-1,50-1,00-0,50 -1,50-1,00-0,50 -1,50-1,00-0,50288026402630 2900 3170720124092081011207108801170580145014508401490840-1200 -2550 -750 +1790 +35100-870 -1390 -800 -3340 -20200+540 +1230+20+2560-1240+1530 +2710 +1530 -1010 -2730001800 2540 1720135012002390 3040187020701180 2540 172011801530-120-840-2080-3000-240-330-2100-5270-3580-12900-270+300-8700-270-880+6100-150+60-190011708805801450145084014908408101120710720124092050003000ABG HLCM N OFQ RI JPKD E 45.58?81 kN13 De vloeiende verdeling in de plot vervangen door een verdeling die perpaneel constant is14 Verdeling van dwarskracht over de panelen op basis van FEA15 Resultaten van twee modellenToetsen en wapenenDrukstaven moeten worden getoetst op het overschrijden van dedruksterkte, waarvoor in beginsel de aanwijzingen van de Euro-code voor strut-and-tie-modellen kunnen kunnen wordengebruiken. Trekstaven moeten adequaat worden gewapend.Panelen krijgen al dan geen wapening, afhankelijk van de vlak-spanningstoestand die optreedt. Als wapening nodig is, is dat inprincipe een orthogonaal net van verdeelde wapening in horizon-tale en verticale richting. Bijlage F van Eurocode 2 reikt daarvoorinformatief formules aan. In het staafpaneelmodel groeien trek-krachten in de regel aan van nul naar een maximum. Als delengte waarover dit gebeurt groter is dan de aanhechtlengte vande betreffende wapening, hoeft strikt genomen geen verankeringaan het einde van de wapening te worden toegepast. In de prak-tijk is het verstandig dat wel te doen, als extra borging en ombelastinggevallen af te dekken waarmee niet is gerekend. Dat geeftmet weinig kosten meer robuustheid.Een nieuwe ervaringDe drie berekeningsmethoden met staafwerk (STM), staafpa-neelmodel (SPM) en elementenmethode (FEA) hebben elk hunverdienste. Het staafpaneelmodel leidt in veel gevallen op eenvanzelfsprekende wijze tot een eenvoudige krachtsverdeling opbasis van alleen evenwicht. De oplossing van een staafpaneel-model houdt een aanwijzing in voor een geschikt staafwerk. Alshet staafpaneelmodel statisch onbepaald wordt, helpt deelementenmethode de dwarskracht te verdelen over de panelen,waarna de normaalkrachten simpel volgen uit evenwicht enrandvoorwaarden. Er is geen software nodig anders dan degebruikelijke. Misschien is nog wel het mooiste dat er meege-dacht moet worden met het evenwicht van de constructie. Zoblijft het vak voor `urenkanonnen' toch spannend! LiTeRaTuuR1 Design examples for strut-and-tie models. fib Bulletin 61, InternationalFederation for Structural Concrete (fib), 2011.2 Hoogenboom, P.C.J., Discrete elements and nonlinearity in design ofstructural concrete walls. PhD thesis TU Delft, 1988.3 Blaauwendraad. J., Cees'tandtechniek. Cement 2007/8.