? ? constructief ontwerp ? berekeningdr.ir.F. Van Cauwe/aert, FEBELCEM, BrusselDe spanningen in betonnen platen als gevolg van belastingen worden nogaltijd berekendmetde formules die Westergaard in 1926 heeftopgesteld [1]. Ditis waarschijnlijkte dan-ken aan de mogelijkheid de spanningen onder randbelasting ermee te berekenen; de be-lastingen die bepalend zijn voorde dikte van de plaat. De laatste jaren is echter een aan?zienlijke vooruitgang geboekt door het uitvoeren van een aantal beproevingen. Het mo-ment lijkt aangebroken hierover te publiceren.In ditartikel komt enkel de bepalingvan de buigspanningin eenbetonnen plaat onderver-ticale belasting aan de orde. Niet behandeld worden thermische belastingen, krimp envermoeiing door hetverkeer. De ontWikkeling in de dimensionering betreft dus enkel eennauwkeuriger bepaling van de spanningen door verticale belasting.ONTWIKKELINGINDE DIMENSIONERINGVANBETONVERHARDINGENENBEDRIJFSVLOERENHoe de formules van Westergaard tot stand zijn gekomen wordt hier niet meer uiteengezet.Om een beterinzichtte krijgen in demeer recente ontwikkelingen worden alleen de onderlig-gendehypothesen aangehaald, beperkt tot het eenvoudigste geval: balken op een elasti-sche ondergrond.De balkwordt onderworpen aan een belasting q(x). De reactie van de grond wordt uitgedruktdoor p(x). De belastingen op een schijf met een oneindig kleine dikte dx zijn weergegeven infiguur 1.Het moment in de balk is dan:(1)waarin:M is het moment in x-richting, de lengterichting van de balk;E is de elasticiteitsmodulus van de balk;I is het kwadratisch oppervlaktemoment van de balk;w is de doorbuiging in punt x.Uit het verticale evenwicht volgt:is een differentiaalvergelijking die twee onbekenden bevat: de doorbuiging w en de grond-reactie p.In 1884 heeft Hertz [2] de formule gevonden voor een 'ijsvloerplaat' die op het water dreef.Hij stelde dat de bijkomende druk veroorzaakt door de overbelasting, evenredig was met hetgewicht van het verplaatste water. Het gaat hier dus om de wet van Archimedes.(2)(3)Door de grond gelijk te stellen aan een vloeistof, stelt Westergaard [3] dat de reactie van degrond p evenredig is met de doorbuiging volgens:p=k'w (4)waarin k de reactiemodulus van de grondis; uitgedrukt in N/mm3 , komt die overeen meteenvolumieke massa.De k-waarden zijn 10 000 maal groterdan de volumieke massa van water: in deze hypothesewordt de grond dus gelijkgesteld aan een dichte vloeistof.d4w=q ~ Pdx4EIDe laatste relatie, meestal uitgedrukt als:qPJ,-------=dX'--------f"CD Evenwicht tussen momenten en verti-cale krachten40 CEMENT1997/10Een dergelijk grondmodel kan uitsluitend verticale spanningen ofkrachten opnemen. 0= 3Q(1+v) .?[ln(2e)+ ?5-rJ.r 2nh2. a ' .(12)Invullen van (4) in (3) geeft:d4W+kW=!L (5)dx4EI EIe-- 4~kl..of, rekening houdend met de elastische lengte Vk;d4w W q--+~ =- (6)dx4 e4EIwaarin:Qis de totale belasting;v is het Poissongetal van het beton;h is de dikte van de plaat;eisde elastische lengte;a is de straal van de cirkelvormige belasting;r is de constante van Euler (r = 0,5772).? Buigspanning aan de onderzijde en aan de rand van een betonnenplaat in de as van een half-cirkelvormige belasting aan de rand vande plaat:De oplossing wordt als volgt uitgedrukt:=w = 2q fcos(mxje)Sin(maje) dm (7)nk m(m4 + 1)owaarin q de eenheidsbelasting is, verdeeld over een lengte 2a, en mde integratievariabele van de Fouriertransformatie.(1 + 0,54 v)Q .[1010Eh3_ 071]ar = 0,529 h2 g ka4 ' (13)waarin:middenJPE225 2505432bi0150 175 ZOO) h (mm)Uit figuur 2 blijkt dat de spanningen aan de rand van de plaatsteeds groterzijn dan in het midden van de plaat. De spanningenaan de rand van de plaat zullen dusbepalend zijn bij de keuze vande dimensionering.@ Spanningen in het midden en aan de rand van de plaatals func-tie van de plaatdikteQ = 87500 NE = 30 000 Njmm2k= 0,05 Njmm3(8)(9)(10)In hetgeval van een gelijkmatigverdeelde belasting q overeen recht"hoek met afmetingen 2a x 2b, die aan de basis van de co?rdinatenligt, wordt het resultaat van de differentiaalvergelijking (8) als volgtgeschreven:E h3D = ---~ , de stijfheid van de plaat12 (1 - v2)= =- 4q ffcos(xtje)sin(atje)cos(ysje)sin(bsje) d dw-- t sn2k ts(t4 + 2t2s2 + S4 + 1)o 0waarin ten s de integratievariabelen van de dwbbele Fouriertransfor-matie zijn.In het geval van cilindrische co?rdinaten met axiale symmetrie (ron-de plaat) ziet de evenwichtsvergelijking er als volgt uit:In het algemeen wordt de vergelijking van het evenwicht van eenplaat uitgedrukt in Cartesische co?rdinaten (rechthoekige plaat):In ditstadium treedtverschil opin de dimensioneringvan wegverhar"dingen en van bedrijfsvloeren.Wegverhardingen zijn aan een repeterend verkeer onderworpen engaan eventueel stuk doorvermoeiing. Hetaantal aslasten N dateenplaat kan verdragen, wordt verkregen door een vergelijking van hettype:en is hetresultaat:=w = qa f Jo(mrje)J1(maje) dm (11)ek m4 + 1owaarin a de straal van de cirkelvormige belasting is en Jo en J1 Bes-selfuncties van de eerste soort van de orde nul en ??n.Deze witdrukkingwordtgebruikt in hetgeval van oneindig uitgestrek-teplaten, waarvoor een oplossing met ??n integraal eenvoudiger isdan ??n met een dubbele integraal.log N= a(l-~)?br(14)Westergaard [1] heeft vergelijking (10) opgelost en de volgende re-sultaten gepubliceerd, jammer genoeg zonder hetbewijs ervan tegeven:? Buigspanning aan de onderzijde van een oneindig uitgestrekte be-tonnen plaat, in de as van een cirkelvormige belasting:waarin:ON is de buigspanning onder een eenheidsbelasting;0br is de breukspanning bij doorbuiging;a is een exponent twssen 12 en 20, afhankelijk van de auteur.CEMENT1997jl0 41? ? constructief ontwerp ? berekeningBedrijfsvloeren zijn meestal onderworpen aan belastingen die alsstatisch zijn te beschouwen. De breukwijze verschilt van het modelvan Westergaard. Een berekening op basis van bezwijkgrenstoe-standen lijktmeeraangewezen dan een berekening op vermoeiing.1000800600400\\'"?'..""- ---...--~ r-- Westergaard--I--..............--...... I 1r--m=:o 200~ Efund.Ol.f: 3,5ccro5r3Ol::J..Dr? Theorie?n van Westergaard en BurmisterModel van PasternakBij het model van Westergaard wordt waarschijnlijk te weinigbelanggehecht aan de rol van de ondergrond, aangezien het draagvermo-gen ervan tot de verticale belastingen wordt beperkt. Pasternak [9]heeft voor de ondergrond een model met twee parameters voorge-steld, gekenmerkt door de reactiemodulus k voor het absorptiever-mogen van de verticale belastingen en een modulus (van Paster-nak) G (N/mm) voor het absorptievermogen van de schuifkracht.Om zijn rekenmodel op te kunnen stellen, verdeelt Pasternak de fun-deringsgrond in een bovenlaag, die de horizontale krachten opvangten een onderlaag, die de verticale krachten opvangt (fig. 4).Figuur 3 toont aan dat dit niet hetgeval is: de spanningen verkregenmetde methode Burmisterzijn kleiner dan die verkregen metde me-thode Westergaard. Aangezien de ontwerpen worden uitgewerkt opbasis van debuigspanning, maarevaluatie plaatsheeft op basis vande doorbuigingen, is hier duidelijk een probleem.Een idee dat voor de hand ligt, is twee vergelijkbare constructies -twee tweelaagse - rnetde twee methoden te berekenen en de ver-kregen resultaten te vergelijken. Enkel het kengetal van de onder-grond verschilt: reactiemodulusk (N/mm3 ) in de oplossing van Wes"tergaard, elasticiteitsmodulus E2 (N/mm2) in de oplossing van Bur-mister. Een manier om de twee modellen te vergelijken is voor ver-schillende waarden van E2 de overeenkomende k-waardete bepalendie via de methode Westergaard dezelfde verticale doorbuiging on-der de belasting geeft als metde methode Burmister.lndien de mo-dellen gelijkwaardig zijn, dienen de buigspanningen onder de plaateveneens dezelfde te zijn.44,5Toetsing aan de meerlagentheorieDe asfalteurs van hun kant zijn niet bij de pakken neer blijven zitten.Vanaf het verschijnen van het beruchte 'paper' van Burmister [8]hebben onderzoekers op de verschillende congressen van Ann Ar-bor over de dimensionering van flexibele wegverhardingen,steedsbeteremodellen voorhet berekenen van de spanningen en verplaat-singen in meerlaagse constructies gepresenteerd. Deze meerlaag-se constructies kwamen meer met de werkelijke constructies over-een dan de eenvoudige tweelaagse constructie van Westergaard,maar waren helaas beperkt tot centrale belastingen. Er was dus re-den voor concurrentie tussen de twee modellen.(17)(16)(15)1926: ar = 0,592.['I.oI0g (Eh3) - 0,71]h2ka4- 3(1+v)Q [I ( Eh3) 384 4V]ar - Jt(3 + v)h2 n 100ka4 +, - 3"Met een Poissongetal v = 0,2 en na herschikking van de formulesom vergelijking mogelijk te maken, wordt verkregen:Hoewel toepassing van de eindige-elementenmethode gerecht-vaardigdis in het kader van een onderzoek, gaat dit te ver bij het op-lossen van relatief eenvoudige mechanische problemen, waarvanhier sprake is.Zo werd op de vijfde internationale conferentie van Purdue over dedimensionering van betonnen wegverhardingen [7] de analytischeoplossing voor de randbelasting gepresenteerd, met een bijzondersnelle en gebruikersvriendelijke berekeningssoftware. De resulta-ten hebben opnieuw de vergelijkingvan Westergaard uit1948 beves-tigd, die hiermee voor de eerste keer werd bewezen.Het is duidelijk dat in de vergelijking van 1926 de buigspanning aande rand van de plaat wordt onderschat. Om zich hiervan te vergewis-sen, hebben de onderzoekers een beroep gedaan op het eindige"elementenprogramma IlIislab, dat recent in hun departement wasontwikkeld. Zij vonden dezelfde resultaten als met de formule uit1948.1948: ar =0,82 9. [1010 g .(Eh3) - 0,448 ].h2ka4Tijdens een voorafgaande gedetailleerde literatuurstudie ontdektende onderzoekers [4] een publicatie van Holl [5], waarin de formulevan Westergaard voor de centrale belasting wordt bewezen en ookeen weinig bekende publicatie uit 1948 van Westergaard zelf [6],waarin hij een nieuwe formule voor de randbelasting presenteert,nog steeds zonder deze te bewijzen:De voorgestelde oplossing is belangrijk omdat ze algemeen is: debepaling van de doorbuigingen en de spanningen in elk punt van deplaat is mogelijk, ongeacht de plaats van de belasting. De bereke-ningvanhetdoorbuigingsgebied is ook mogelijk, hetgeen van funda-menteel belangis in het kader van hetonderzoek vanwegverhardin-gen met het valgewicht. Het is eveneens mogelijk rekening te hou-den met lastoverdrachtterplaatse van de voegen en dus ook met deaanwezigheid van deuvels.Dimensionering van wegverhardingenFormules van WestergaardIn de loop derjaren zijn de formules van Westergaard door een aan-zienlijk aantal onderzoekers geanalyseerd, gecontroleerd, bijge-schaafd en universeel gemaakt, tot in dejaren tachtig de Amerikaan-se Luchtvaart Administratie vond dat deze formules een waar dool-hofwaren geworden. Zij gelastte het Departement Burgerlijke Bouw-kunde van de Universiteit van lIIinois te Champaign -toevallig de af-deling waar Westergaard zijn eerste wapenfeiten pleegde - orde opzaken te stellen.42 CEMENT1997/10Als bij doorbuiging de breukspanning ar van het beton bekend is,volgt de breukbelasting uit:a: = 3Q(1+V)(ln(2e)+ 0,5 -r]r 2Jth2 a ?(24)De reactie p van de ondergrond op de balk volgt uit:x x+dxIn deze vergelijking is Ps = kw, zoals eerder vermeld. Vergelijking (5)wordt dan:oModel van Pasternak(25)Q= ar2Jth23(1 + v) [In(~e) + 0,5 - r]Hetverschil tussen de twee resultaten is aanzienlijk. Hetwordt voor"namelijk veroorzaakt doorhet feit dat de breukbelasting volgens detheorie van Westergaard en de breukbelasting die uit de proef werdgevonden, niet dezelfde lading dekken.Volgens de theorie van Westergaard is erbreukindien de buigspan-ning aan de onderzijde van de vloerplaat groter is dan de breukspan-ning bij doorbuiging van het beton; een fenomeen dat in de praktijkmoeilijk is vast te stellen. Tijdens de uitvoering van de proef in situwerd de breuk als bereiktbeschouwd op het ogenblik dat een cirkel-vormige scheur aan de oppervlakte verscheen, dus deze keer onderinvloed van een negatief moment, dat overeenkomt met de maxi-maal geregistreerde belasting. Men kan hier spreken van een be-zwijkgrenstoestand (zie ook figuur 6).Tijdens de proef had de oppervlaktescheur een diameter van 2000mmoTalrijke proeven die in situ werden uitgevoerd, tonen aan dat de met(25) verkregen breukbelasting duidelijk wordt ondergewaardeerd.Zo werd in 1983, op verzoek van Silidur, een vloerplaat van vezelbe-ton metbekende eigenschappen door het laboratorium van het de-partementBurgeriijke Bouwkunde van de Universiteitvan Luik in situte Sanen getest.De vastgestelde breukbelasting bedroeg 300 kNoUitvergelijking(25), met ar = 3Njmm2,h = 130mm,a= 160mm,E = 30000 Njmm2, v = 0,2 en k= 0,16 Njmm3 volgt een breukbe-lasting Q = 55 kNo(19)(18)(20):[feEI G 2gof als e= - en - =-, k El e2I IPIl;'tCkJ'.j, 1- ~y ~ 7: + dl; dxtx dxI II Ps I dWdW w+ dx Xd4w _ 2g d2w +~ =!Ldx4 e2dx2El EldwTx =GXY rxy =G ~dxcJ2wp=p -G--s dx2d4w G d2w kw q- - - - - +- =-dx4 El dx2 El EldTx 0--+p-p =dx sIn het geval van een cirkelvormige plaat met axiale symmetrie wordtde oplossing [10]:waarin geen dimensieloze parameter is, die het schuifgetal wordtgenoemd (shear ratio).Dimensionering van bedrijfsvloerenDimensionering met de elastische methode van WestergaardVolgens de klassiekemethode wordt de buigspanning aan de onder-zijde van een betonnen vloerplaat door de volgende vergelijkingweergegeven:waaruit volgt: Dimensionering volgens de bezwijkgrenstoestandDe methoden op basis van de bezwijkgrenstoestand worden dikwijlstoegepast voor het berekenen van constructies, conform de diverseEurocodes.Bij deze methoden wordt immers beter rekening gehouden met dewerkelijke breukweerstand van de desbetreffende materialen, maarze werden tot nu toe nogmaar weinig gebruikt bij hetberekenen vanplaten op een elastische ondergrond, in het bijzonder bij bedrijfs-vloeren.Zo is bijlage 5Avan hetontwerp van deel3 van Eurocode 2, waarin deberekening van een vloerplaat op elastische ondergrond wordt be"handeld, gebaseerd op een vergelijking van Picket [12], ge?nspi-reerd op het werk van Westergaard en dus gebaseerd op een elas-tisch model, en die bovendien, zoals reeds in [4] werd aangetoond,de hoekspanning overschat (fig. 5).Evenals bij wegen werd heel wat onderzoek op ditgebied uitgevoerd,echter zonder dat hieraan een vervolg werd gegeven. Hierna wordtvoor een klein deel aan de oplossing bijgedragen.(21)(23)(22)cos(mxje)sin(maje) dmm(m4 + 2gm2 + 1)00 00- 4q ffcos(txjie)sin(taje)cos(syje)sin(sbje) d dw-- t sJt2k ts[t4 + 2fs2+ S4 +2g(f + S2) + 1]o 000w = 2qf.Jtk.o00w = aq fJo (mrje)J1(maje) dmkl m4+ 2gm2 + 1oenin het geval van een rechthoekige plaat [11]:CEMENT1997j10 43? ? constructief ontwerp ? berekening(28)(29)(27)waarin Qde breukbelasting is.aM2 = dg; fazr(ro - r)droper omtrek:aMi = dg; fqr(ro - r)droper omtrek:M2 is hetmomentten gevolgevan de reactie Oz van de ondergrond:De evenwichtsvergelijkingen b? cirkelvormige breuk z?n als volgt:? Evenwichtvan de momenten ten opzichte van de cirkelvormige op-pervlaktescheur:Mi = M2 +M+M' (26)waarin Mi het moment ten gevolge van de belasting is:Het uitgewerkte model is gebaseerd op het werk van Losberg [13]die het breukmodel volgens figuur 6 presenteert.0.250,200,150.104.,---------~---~-------_,1+----,------.------,------.~--___jo 0.05~a/l3+----,----.;::==-i3-===:::+-~.:lb,_=-------__ii? Hoekspanningen volgens verscheidene auteursa. Picketb. Spangierc. Goldbeck-Olderd. Kelleye. Bradburyf. eindige-elementenmethodeg. Westergaardam2 =~f azr(ro- r)dr =P fi(rO) (30)roowaarin P de belasting is die overeenkomt met de verdeling van az'in het geval van een oneindig uitgestrekte vloerplaat en fi (ro) eenfunctie van ro_oplossing van (30).Per omtrek wordt dit:mi = m2 +m+m' (31)waarin m het positieve grenseenheidsmomentis ter plaatse vande onderste radiale scheuren en m'het negatieve grenseenheids-moment langs de cirkelvormige scheur aan de oppervlakte.? Model van Losberg? Evenwicht van de momenten ten opzichte van het middelpunt:m+m'=tro (32)waarin t de eenheidsschuifkracht langs de breukcirkel is.Q~VOrmige scheur? Verticaal evenwicht:roQ- 2:n: f aldr = 2:n:troo(33)(36)(35)(34)(32) in (33):m + m' =.9...._ [1-~ f2(rO) 12:n: 3ro f2(rO)-f1(rO)Volgens Johansen [14] wordt door de straal rovan de breukcirkelmaximaal rekening gehouden met de bezwijkgrensmomenten.Deze is dus het resultaat van de vergel?king:waarin f2(rO) een functie is van ro_oplossing van (34).De onbekende belasting P elimineren:m + m' =.9....- Pf. (r )2:n: 2 0rom + m' = .9....-fardr2:n: zo44 CEMENT1997/10ra, m en m' kennende, wordt hieruit de bezwijkgrensbelasting Qafge-leid.Bepaling van de verdeling van atJohansen stelt de verdelingvan de verticale spanning gelijk aan eenlineaire verdeling, waarvan de waarde in de as van de lastgelijkisaandie voorde puntlast volgens Westergaard.Tabel 1Bezwijkgrensbelastingals functie van de plastische grensspanningo Model van plastische breuk(38)(37)Hij leidt er de verticale spanning ter hoogte van de cirkelvormigescheur uit af met de vergelijking voor het verticale evenwicht.De auteur onderschrijft deze stelling niet, aangezien uit ervaring isgebleken dat de theorie van Westergaard waarden geeft dieinmid-dels ter discussie staan.De ondergrond wordt derhalve beschouwd als een elastisch lichaamvan het type Boussinesq. De verticale spanning onder een dunneplaat met een belasting Qvolgt dan uit [15]:waarin:e is de elastische lengte van de plaat;e3= 2(1-v/)D/Es;Dis de stijfheid van de vloerplaat;Es is de elasticiteitsmodulus van de ondergrond;Vs is het Poissongetal van de ondergrond.00- Q faz - 2Jte2ouo(rt/e) dt13+1(39)De waarde van de vastgestelde breukbelasting valtbinnen de waar-de die werd berekend.Het bezwijkgrensmoment per breedte wordt verkregen uit het even-wicht van de momenten:Bepaling van de grensmomenten m en m'De plastische berekening van de grensmomenten gebeurt op basisvan het schema van figuur 7.Uit de vergelijking van hethorizontale evenwicht is de positie van deneutrale lijn dooreen positief moment te bepalen:v == 2ap1 aeh(ap1 + ae)2waarin:apl is de maximale plastische trekspanning van het beton;ae is de maximale drukspanning van niet-gewapend beton;h is de dikte van de vloerplaat of de balk.(40)(41)In de praktijk dient de verkregen waarde van de bezwijkgrensbelas"ting vanzelfsprekend met een veiligheidsco?ffici?nt te worden ver-menigvuldigd. Het lijkt echter meer aangewezen een veilig-heidsco?ffici?nt, zelfs een hoge, als dele maar bekend is, op te leg-gen aan een breukbelasting die op basis van een realistisch modelwerd vastgesteld, dan uit te gaan van een benaderende relatie dieexperimenteel slechts voor een beperkt aantal toepassingen werdgecontroleerd.TenslotteWat de dimensionering van wegverhardingen betreft, blijkt met dehuidige stand van kennis dat de meerlagentheorie en de theorie vanPasternak vergelijkbare resultaten opleveren. De betonnen wegver-hardingen zijn momenteel altijd samengesteld uit meer lagen. Bij dedimensionering kan dus worden begonnen met het toepassen vanhet meerlagenmodel voor een belasting in het centrum.ToepassingBeschouwd wordt de reeds beschreven vloerplaat van vezelbetonen berekend wordt de bezwijkgrensbelasting verdeeld over een op-pervlak van 80000 mm2(a = 160 mm).Uitgangspunten: ae = 30 N/mm2, Es = 200 N/mm2, Vs = 0,5.De elastische lengte e= 350 mmoHieruit volgt: ra = 910 mmo Deze waarde benadert de bij de proefvastgestelde waarde van ongeveer 1000 mmoTabel 1 geeft de bezwijkgrensbelastingen als functie van de plasti-sche grensspanning in het vezelbeton.Door iteratie van het model van Pasternak worden vervolgens dewaarden van de k-modulus voor de verticale reactie van de onder-grond en de schuifmodulus G van Pasternak voor een equivalentetweelagenstructuur bepaald, dat wil zeggen, van een constructiewaarvan de doorbuiging onder de belasting en de buigspanning aande onderzijde van de betonnen plaat gelijk zijn aan de waarden diemet het meerlagenmodel worden verkregen. De aldus verkregenwaarden worden vervolgens toegepast in het model van Pasternakom de spanning aan de rand tebepalen, rekening houdend met eeneventuele lastoverdracht. ~CEMENT1997/10 45? ? ?Voor de berekening van de bedrijfsvloerenis slechts een klein ge-deelte van de oplossing aangedragen dooreen berekening opbasisvan de grenstoestanden voorte stellen. Deze oplossing kan, zonderal te veel moeilijkheden, worden uitgebreid tot rand- en hoekbelas-tingen die bepalend kunnen zijn bij dit soort toepassingen. Er dientnog een realistische waarde te worden aangenomen voorde veilig-heidsco?ffici?nt, hetgeen zou kunnen gebeuren in samenwerkingmet gespecialiseerde constructiebureaus en bedrijven.Literatuur1. Westergaard, Stresses in Concrete Pavements Computed byTheoretical Analysis. Proc. Highway Research Board, Part 1, 1926.2. Hertz, Wiedmann's Annalen des Physik und Chemie, vol. 22,1884.3. Westergaard, Om Beregning af Plader paa elastik Underlag medsaerlight Henblik paa Sporgsmaalet om Spaedinger i Betonveje.Ingeni?ren, Copenhagen, Vol 32. 1923.4. loannides, Thompson and Barenberg, Westergaard Solutions Re~considered. Transportation Research Record 1043, TransportationResearch Board, Washington, 1985.5. HolI,Equilibrium of athin plate, symmetrically loaded, on aflexiblesubgrade. Fifth International Congress for Applied Mechanics,Boston, 1938.6. Westergaard, New Formulas for Stresses in Concrete Pavementsof Airfields. Proceedings American Society of Civil Engineers, Vol113,1948.KwaliteitsmanagementRond 1980 ontstond de idee dat invoering van kwa/iteitsmanage~ment in de bouw - en dus ook in de betonbouw - het gewenste kwali~teitsniveau zou kunnen verzekeren en zelfs zou kunnen verbeteren.Het uitgangspunt was simpel en logisch:Formuleer een stelsel van afspraken en regels over de gewenstewerkwijze en ontwerpprocedures die ervoor zorgen dat alle betrok-kenen zich kunnen houden aan de afspraken. Wanneer elkeen hetspel voortaan volgens de regels speelt, k?n erniets meermisgaan.Op zichzelf is daar weinig tegenin te brengen. Er zijn echter tweekanttekeningen te maken. Ten eerste: v??r 1980 waren er ook af-spraken en regels. Wanneer iedereen zich daaraan had gehoudenwas erook niets fout gelopen. Ten tweede: erzullen altijd enkelingenzijn die zich niet aan afspraken en procedures houden.Dat blijkt ook wel: een ISO 9000 gecertificeerd bureau - een 'hoofd-constructeur', zoals Sagel en Vambersky zich die wensen (Cement1997, nr. 6)- ontwerpt een niet al te ingewikkeld betonskelet. Hetskelet wordt door de aannemer geheel volgens het ontwerp uitge-voerd. De uitvoerder vindt dat de vloeren na het ontkisten wel watveel doorbuigen en belt met 'kantoor'. Dan blijkt bij naderonderzoek,dat op enkele plaatsen tot 50% te weinig wapening op de tekeningwas aangegeven. Na lange besprekingen volgt het voor alle betrok-kenen pijnlijke en 'dure', maar enigjuiste besluit het skelet te slopen.Het doorslaggevende telefoontje van de uitvoerder; dat grotere ellen-de voorkwam, stond overigens niet 'beschreven', noch 'voorgeschre-ven' in de vigerende kwaliteitsprocedures en handboeken.7. Van Cauwelaert, A rigorous analytical solution of a concrete slabsubmitted to interior and edge loads. Proc. of the 5thlnt. Conf. onConcrete PavementDesign. Purdue, West-Lafayette, Indiana, 1993.8. Burmister, The Theory ofStresses and Displacements in LayeredSystems and Applications to the Design ofAirport Runways. Procee-dings of the Highway Research Board, 23rd annual meeting, Was~hington, 1943.9. Pasternak, On a new method of analysis of an elastic foundationby means of two foundation constants. Moscow: Gps. Izd. Ut. poStraiti Arkh. (En russe), 1954.10. Van Cauwelaert, Investigation by FWD measurements on concre-teslabs ofthe value of Pasternak's parameter ina Win kier founda-tion. Infrastructuur in het Leefmilieu, 1995, nr. 5. Ministerie van deVlaamse Gemeenschap, Brussel.11. Van Cauwelaert, The Hmited rectangular slab on aHmited Paster-nak-Kerr foundation. Document de Recherche, CROW, Ede, 1996.12. Picket, Astudy of Stressesin the Corner Region ofConcrete Pa-vement Slabs Under Large Corner Loads. P.C.A., Skokie, 111., 1946.13. Losberg, Structurally reinforced concrete pavements. Th?se deDoctorat. Elanders Bocktryckeri Aktiebolag, G?teborg, 1960.14. Johansen, Yield-Iine formulae for slabs. Cement and ConcreteAssociation 52 Grosvenor Gardens, London, SW1W OAQ, 1972.15. Hogg,Equilibrium of athin plate symmetrically loaded, resting onan elastic foundation of infinite depth. The London, Edimburg andDublin Magazine of Sciences, 1938.?nadruk sterk op een combinatie van opsporing (kwaliteitscontrole)en bestraffing van afwijkend gedrag. De regels worden bekend ver-ondersteld: dat je niet mag stelen weet langzamerhand iedereen.Preventie, een pijlervan het kwaliteitsmanagement in de betonbouw,wordt ook bij de rechtshandhaving populair. Er waren onlangs be-richten dat menjeugdige wetsovertreders wil testen om aan de handdaarvan een voorspelling te doen over mogelijk afwijkend crimineelgedrag in de toekomst. Zou zo'n individueleprognose van kwaliteits-beperkend gedrag ook wat voor de betonbouwzijn? Ik denk van niet.Waar zouje overigens op moeten testen? In de heilzame werking vanbestraffing geloven slechts weinigen nog. Gevangenisstraf fungeertals bescherming van de samenleving door tijdelijke uitsluiting van degevangene van die samenleving. Boetes zijn een nog geaccepteerdinstrument. Misschien is dat wel iets voor de betonbouw. Naast her-stel van schade zou de schuldige overtreder een boete moeten beta-len. Hetstaat vast dat we het voor wezenlijke voortgang moeten zoe-ken in positieve be?nvloeding van gedrag. Meer dan in verdere vervol-making van regelgeving en procedures. De papierwinkel is nu wel inorde, maar het daarin veronderstelde ideale menselijk gedrag nogniet. We moeten toe naar een grotere nadruk op zorg en zorgvuldig-heid op de werkplek, zoals de uitvoerder met zijn telefoontje demon-streerde. Hoe bereiken we dat?Juristen zoeken het ook niet meer in verdere verfijning van de wetge-ving, maar gaan in toenemende mate te rade bij gedragsweten-schappers. Wanneer we verder willen komen met het kwaliteitsma-nagement (= de rechtshandhaving) in de betonbouw, dan doen wijer goed aan de verworvenheden van de gedragswetenschappendaarvoor te mobiliseren. Als er al een sleutel is, dan ligt die daar.Onze rechtsstaat stoelt ook op een stelsel van regels en afspraken.Misschien valt daar wat van te leren?? In de rechtshandhaving lag de IN.R. de Sitter46?CEMENT1997/10