themaGezonde tanden (2)1200910themaGezonde tanden (2)foto:PeterdeKoningEen nadere analyse met de eindige-elementenmethodeGezonde tanden (2) 12009 11RR1a1b2b2a1 Variant V1 met verticaleophangwapening en vari-ant V2 met schuin verlo-pende ophangwapening.Voor afmetingen zie figuur1 en 2, pag. 17.Voor het ontwerp van de tandconstructies zoals besproken in [1](fig. 1) is een hogere betonsterkte (= C45/55) nodig. Voor deprefabindustrie is dit nauwelijks een beperking omdat derge-lijke sterkteklassen in deze bedrijfstak vrij gebruikelijk zijn. Metminder wapening wordt zo een gezondere tandconstructieverkregen: meer tand dus voor minder geld. De analyse voor-spelt dat de tandconstructie nog effectiever zal werken (hogeredraagkracht en een kleinere scheurwijdte) als wordt gekozenvoor de variant met ophangwapening onder 60º.Eindige-elementenmodelDe twee varianten zijn gemodelleerd met ATENA versie 3.3.2(Cervenka Consulting, Praag). In de modellering zijn de afmetin-gen aangehouden van later te beproeven tandconstructies. Dezewijken af van die in het oorspronkelijke ontwerp . De balkbreedteis verminderd van 500 naar 350 mm en de ophangwapening van6Øk16 naar 4Øk16. Hoewel voor het bepalen van de krachtsaf-dracht kan worden volstaan met een 2D-benadering is ook een3D-modellering toegepast. De reden hiervoor is dat trekspannin-gen loodrecht op het vlak van een staafombuiging alleen in een3D-benadering in beschouwing worden genomen. In hetoorspronkelijke ontwerp is indirect wel aandacht besteed aan dezetrekspanningen die tot een splijtscheur in het vlak van de ombui-ging zouden kunnen leiden. Dit door de toelaatbare staalspanningte laten afhangen van de ombuigingsstraal. Het nadeel van het veelgrotere aantal elementen ­ en daarmee de langere rekentijd ­ isbeperkt door in de 3D-modellering slechts de halve balkbreedte tebeschouwen (175 mm). Om dezelfde reden is in beide modelle-ringen buiten het van belang zijnde gebied voor grotere elementengekozen. In de 2D-modellering zijn 4-knoops vlakke elementengebruikt en in de 3D-modellering 8-knoops volume-elementen.Figuur 2 geeft een beeld van de twee modelleringen.MateriaalmodellenVoor het beton zijn twee materiaalmodellen gebruikt, aange-duid als SBETA en 3DNLC2 (3D Non Linear Cementitious 2).Het 2D-materiaalmodel SBETA (verder B1) gaat uit van eenvlakke spannings- of vervormingstoestand en brengt het niet-lineaire gedrag onder trek en druk via spanning-rekrelaties inrekening. Het 3D-materiaalmodel 3DNLC2 (verder B2)beschouwt de som van de rekken uit elastische vervormingen,scheurvorming en plasticiteit. In de 2D-simulaties zijn beidemateriaalmodellen gebruikt, in de 3D-simulaties kon alleen hetlaatstgenoemde materiaalmodel worden toegepast. In beidemateriaalmodellen wordt de kubusdruksterkte als startwaardeingevoerd (hier 65 MPa). Voor de andere eigenschappen houdtIn Cement 2008/3 [1] kwam het ontwerp van een tandconstruc-tie aan bod met een gecombineerde ophang- en buigwapening.Hierin is de ophangwapening teruggebogen de tand in. De druk-diagonaal in de tand is `opgelegd' op deze ombuiging. Naast eenvariant met verticale ophangwapening (V1) is ook een variantmet schuin verlopende ophangwapening beschouwd (V2). Dekrachten in de wapening zijn bepaald met staafwerkmodellen ende detaillering is zo uitgevoerd dat de knopen waar de druk- entrekstaven bij elkaar komen, ook werkelijk kunnen optreden. Indit tweede artikel zijn de te verwachten sterkten bepaald met deeindige-elementenmethode.ir. Joop den UijlTechnische Universiteit Delft, faculteit CiTGir. Wim de Bruijn en ir. Bart SlendersIngenieursbureau Lincon2 Modellen met opleggingen, monitors en ele-mentenverdeling. Belasten door verticale ver-plaatsing opgelegd aan lastplaat op bovenzijde.Monitors: zakking van lastplaat en oplegreactie.a 2D-model ­ vlakke spanningstoestandb 3D-model ­ symmetrievlak XZ voor y=0themaGezonde tanden (2)120091201002003004005003DV2B22DV2B22DV1B23DV1B20 3 6 9 12zakking [mm]oplegreactie[kN]0 3 6 9 122DV2B22DV2B12DV1B22DV1B10100200300400500zakking [mm]oplegreactie[kN]3b3a3 a Last-zakkingsdiagrammen uit2D-berekeningen voor mate-riaalmodellen B1 en B2b en uit 2D- en 3D-berekenin-gen voor materiaalmodel B2functie van de verplaatsing. De berekening is gestopt als deoplegreactie bij het vergroten van de verplaatsing niet meertoenam. In sommige gevallen was sprake van een duidelijkeafname van de sterkte na het bereiken van de hoogste waarde,in andere bleef de oplegreactie gedurende verdere verplaatsingvrijwel gelijk. Figuur 3a laat voor de verschillende 2D-bereke-ningen het verband zien tussen de opgelegde verplaatsing en deoplegreactie. Bij de bespreking van de resultaten wordt naderingegaan op het gedrag in de bezwijkfase, de staalspanningenin de tandconstructie en de scheurontwikkeling. Een overzichtvan de belangrijkste uitkomsten staat in tabel 1. Tot slot wordtstilgestaan bij de maximale scheurwijdte in de gebruiksfase.Gedrag in bezwijkfaseUit figuur 3a komt naar voren dat de schuin geplaatste ophang-wapening (V2) een sijver gedrag en een hogere sterkte levert dande verticaal geplaatste (V1). Tot het begin van de fase waarin devervormingen sterk toenemen, vertonen de twee materiaalmodel-len, B1 en B2, nagenoeg het zelfde gedrag. In de eindfase tredenechter verschillen op, in het bijzonder bij de tand met verticaleophangwapening (V1). Vanaf een zakking van 4,27 mm (bij 309kN) neemt de oplegreactie van 2DV1B2 eerst af om vanaf eenzakking van 5 mm weer iets toe te nemen. Bij 2DV1B1 neemt destijfheid wel geleidelijk af, maar de oplegreactie blijft toenementot de uiterste waarde wordt bereikt. De tand met schuineophangwapening (V2) vertoont een overeenkomstig beeld, zij hetin veel mindere mate. De oorzaak van dit verschijnsel is mogelijktoe te schrijven aan verschillen in het gedrag van de materiaalmo-dellen B1 en B2 bij de combinatie van scheurvorming en plastici-teit in de betondrukzone. In de 3D-modelleringen, waarbij alleenmateriaalmodel B2 is toegepast, doet dit verschijnsel zich echterniet voor, zoals uit figuur 3b is op te maken.het programma de relaties aan uit de CEB/FIP Model Code1990, die desgewenst kunnen worden overschreven. Scheurenworden, uitgesmeerd over de betreffende elementen, als rek inrekening gebracht. De richting waarin een scheur ontstaat, kanworden vastgehouden of kan meedraaien met de hoofdrekrich-ting. Hier is voor de eerste optie gekozen. Wanneer de verdraai-ing van de hoofdrekrichting een zekere grenswaarde heeftoverschreden, kan een nieuwe scheur ontstaan.Voor de wapening is een bilineair spanning-rekdiagram metversteviging aangehouden (vloeispanning 500 MPa, breukspan-ning 575 MPa, breukrek 10%. De wapening, die als afzonder-lijke staven wordt ingevoerd, wordt in ATENA in rekeninggebracht als stijfheid toegevoegd aan de elementen waar destaven doorheen lopen. In plaats van perfecte aanhechting isvoor een aanhechtmodel gekozen behorend bij de gekozenkubusdruksterkte, omsloten beton en goede aanhechtcondities.In de 2D-modellering was het niet mogelijk de gecombineerdeophangwapening en buigwapening in de tand uit één staaf telaten bestaan vanwege de elkaar kruisende staafbenen. Dit isopgelost door deze staven op te vatten als twee afzonderlijkestaven die elkaar ontmoeten in het midden van de ombuigingin de voorzijde van de tand. Daarbij is de voorwaarde gestelddat de staafuiteinden geen slip ondergaan. In de uitkomstenkan dit een sprong in de staalspanning tot gevolg hebben. Deverdeelplaten onder het aangrijpingspunt van de belasting enbij de opleggingen zijn als lineair-elastisch staal gemodelleerd.BerekeningsresultatenDe tandberekeningen zijn uitgevoerd door aan de lastplaatbovenop de balk een stapsgewijs toenemende verplaatsing op teleggen. Tijdens de berekening kan de scheurvorming wordengevolgd en is de oplegreactie onder de tand weergegeven alsTabel 1 Berekeningsresultatenberekening 1) Rmax2) [kN] zmax4)[mm]staalspanng [MPa]oorzaak van bezwijkenophangwapening buigwapening2DV1B1 337 6,7 410 520 vloei buigwapening, stuik bij aansluiting tand2DV1B2 316 7,2 370 526 vloei buigwapening, stuik bij aansluiting tand2DV2B1 439 6,9 511 450 vloei ophangwapening, stuik bij lastplaat2DV2B2 446 8,1 520 480 vloei ophangwapening, stuik bij lastplaat3DV1B2 338 3) 9,0 405 523 vloei buigwapening, stuik bij aansluiting tand3DV2B2 488 3) 11,5 525 501 vloei ophang- en buigwapening, stuik bij lastplaat1) Ophangwapening: V1 ­ verticaal, V2 ­ schuinMateriaalmodel: B1 ­ SBETA, B2 ­ 3DNLC22) Oplegreactie3) Na vermenigvuldiging met factor 24) Zakking ter plaatse van lastplaatGezonde tanden (2) 12009 13-100-90-80-70-60-50-40-30-20-100-100-90-80-70-60-50-40-30-20-100abs. minabs. max4a4b4c4d5a5b4 Vervormingen (×5), scheuren (w > 0,2 mm)en hoofddrukspanningen (MPa) bij de hoog-ste belasting in de 2D-berekeningena 2DV1B1, stap 23, wmax= 4,4 mmb 2DV1B2, stap 25, wmax= 6,1 mmc 2DV2B1, stap 24, wmax= 2,4 mmd 2DV2B2, stap 28, wmax= 3,4 mmDe twee varianten vertonen een verschillend bezwijkgedrag. Ditwordt toegelicht aan de hand van de figuren 4 en 5. Deze figurenlaten de vervormingen (5× vergroot), de scheuren (wijdte > 0,2mm) en de hoofddrukspanningen zien. De weergave vindt steedsplaats bij de hoogste belasting. In tabel 1 zijn de spanningen inde ophangwapening en in de buigwapening van de tand gegevenbij de hoogste belasting. In variant V1 is steeds sprake vanvloeien van de buigwapening in de tand, terwijl de spanning inde ­ verticale ­ ophangwapening rond 400 MPa bedraagt.Bezwijken treedt dan ook op als gevolg van buigbreuk in deovergang van de tand naar de balk. Dit volgt uit het verloop vande wijdste scheuren (scheurwijdte evenredig aan lijndikte), uit despanningen aan de bovenzijde ­ de drukzone ­ van de tand (fig.4a en 4b), en uit de vervormingen loodrecht op het bovenvlak inde 3D-modellering (fig. 5a).In V2 treedt de vloeispanning het eerst op in de ­ schuine ­ophangwapening. In de 2D-modelleringen is de staalspanningin de tand dan 450 tot 480 MPa, terwijl in de 3D-modelleringbij een hogere bezwijkbelasting (zie fig. 3b) ook in de buigwa-pening de vloeispanning is bereikt. Uit tabel 1 volgt dat dehoogste spanningen in de 3D-modellering zijn gevonden endat dit gepaard gaat met het bereiken van de hoogste bezwijk-belasting. Dit hangt samen met het feit dat het bezwijkenuiteindelijk plaatsheeft door het stuiken van het beton aan debovenzijde van de balk, juist naast de lastplaat. In de2D-modelleringen is de hoogst bereikbare drukspanning 0,85× 65 = 55,25 MPa. Bij de 3D-modelleringen is de sterkte daaraanzienlijk hoger, vooral door de opsluitende werking van delastplaat, zoals ook bij vergelijking van de figuren 4c en 4d met5b naar voren komt. Door in de 2D-modelleringen de beton-sterkte ter plaatse van de lastplaat oordeelkundig te verhogenzou ook een hogere sterkte zijn gevonden.Opmerkelijk is dat bij de schuine ophangwapening (V2) hetbereiken van de hoogste belasting wordt bepaald door hetbezwijken van de drukzone van de balk. De tand zelf is dan nogniet bezweken, wat er op duidt dat deze een nog hogerebezwijkbelasting zal hebben.Terwijl bij de verticale ophangwapening (V1) de belangrijkstescheuren in een bijna verticaal verlopend vlak liggen, zijn bij deschuine ophangwapening (V2) de belangrijkste scheuren in eenvlak gelegen dat eerst over enige afstand horizontaal verloopten dan afbuigt naar de lastplaat op de bovenzijde van de balk.In de 2D-modelleringen verschilt de hoogteligging van dithorizontale vlak per materiaalmodel. Bij B1 ligt het vlak juistboven de onderzijde van de tand (fig. 4c), maar bij B2 juistdaaronder (fig. 4d). In de 3D-modellering is geen sprake vaneen dergelijk uitgesproken voorkeursvlak (fig. 5b).De verhouding tussen de spanning in de ophangwapening ende buigwapening wordt gereflecteerd door de scheurvorming.5 Vervormingen (×5), scheuren (w > 0,2 mm)en hoofddrukspanningen (MPa) bij de hoog-ste belasting in de 3D-berekeningen terplaatse van de langsdoorsnede door hetbalkmiddena 3DV1B2, stap 46, wmax= 7,0 mmb 3DV2B2, stap 60, wmax= 5,6 mmthemaGezonde tanden (2)12009140501001502002503003504004505005506a 6bspanningen ter plaatse van de ombuigingen nog lager geweest.In de berekeningen zijn geen aanwijzingen gevonden voor hetontstaan van een doorgaande splijtscheur in het vlak van deombuigingen. Wel is te zien dat loodrecht op dit vlak trekspan-ningen tot ontwikkeling komen, en dat als gevolg van deze trek-spanningen scheuren ontstaan. Dit wordt geïllustreerd in figuur 7aan de hand van resultaten van berekening 3DV1B2. In figuur 7azijn de staalspanningen te zien voor de verticale ophangwapeningbij een oplegreactie van 300 kN. Figuur 7b geeft een beeld van denormaalspanningen (syy) loodrecht op het vlak van de meest naarbinnen gelegen ophangwapening in de tand. Figuur 7c geeft desituatie weer in een vlak dat een hoek van 45º maakt met hetXY-vlak en door het middelpunt van de ombuiging aan de boven-zijde loopt. Naast de normaalspanningen syyzijn ook scheurenaangegeven. Deze scheuren zijn ontstaan nadat in deze elementenal eerder in een andere richting de treksterkte was bereikt. Dewijdte van deze scheuren is echter gering, zodat nog steeds trek-spanningen kunnen worden opgenomen. De donkere vlek links-boven in figuur 7c geeft aan dat hier in y-richting drukspannin-gen aanwezig zijn. Dit gebied ligt in de drukzone van de tand,zodat hier ook de spanningen in x-richting drukspanningen zijn.Zoals eerder vermeld, is in de ophangwapening in het ontwerpmet een lagere staalspanning (283 MPa) dan de rekenwaardevan de treksterkte (435 MPa) gerekend om splijten vanwege dekleine ombuigingsstraal te voorkomen. Voor de beugelwape-ning is wel met 435 MPa gerekend. Dit kan omdat in hetontwerp voorbij wordt gegaan aan de compatibiliteitscondities.De eindige-elementenberekening houdt daar wel rekening mee,wat tot andere staalspanningen in de verschillende staven leidt.Zo zal in een beugel parallel aan de ophangwapening de staal-spanning gelijk zijn aan die in de ophangwapening. Zou destaalspanning werkelijk moeten worden beperkt, dan geldt datop grond van compatibiliteitsoverwegingen voor alle staven.Wordt dat niet gedaan, dan zal de optredende staalspanninggroter zijn dan de waarde die in het ontwerp is aangehouden.In een dergelijke situatie moet dus op een andere manier hetoptreden van splijtscheuren worden voorkomen. Een goedeombeugeling zou dit kunnen bewerkstelligen.Gedrag in gebruiksfaseDoor spanningsconcentraties is een tandaansluiting gevoelig voorscheurvorming in de keel van de aansluiting. In de ontwerpbere-Zo is in de 2D-simulaties van variant V1 (figuren 4a en 4b)duidelijk te zien dat de buigwapening wel vloeit en de ophang-wapening niet, terwijl dat bij V2 (figuren 4c en 4d) juistandersom is. Ook in de 3D-modellering van variant V1 vloeitde buigwapening wel en de ophangwapening niet (fig. 5a),maar in V2 is het beeld minder uitgesproken (fig. 5b). Ditlaatste stemt overeen met het vloeien van zowel de ophang- alsde buigwapening (tabel 1).Vergelijking met ontwerpberekeningOok in de ontwerpberekening [1] was bij de verticale ophang-wapening (V1) de buigwapening in de tand maatgevend,terwijl bij de schuine ophangwapening (V2) de ophangwape-ning bepalend was voor de sterkte. Gecorrigeerd voor de terug-gang van het aantal ophangstaven van zes in het ontwerp naarvier in de huidige studie, en voor het niet in beschouwingnemen van de horizontale kracht, is het berekende draagver-mogen 194 kN voor de verticale ophangwapening (V1) en 241kN voor de schuine ophangwapening (V2). De hier berekendecapaciteit is duidelijk groter: in geval van de verticale ophang-wapening (V1) 63 tot 74% en bij de schuine ophangwapening(V2) 82 tot 102%. De oorzaak voor dit verschil is in belangrijkemate toe te schrijven aan het in rekening brengen van eenlagere maatgevende staalspanning in de ontwerpberekening.Niet alleen is een materiaalcoëfficiënt van 1,15 toegepast, watleidt tot een rekenwaarde van de sterkte van 435 MPa, maarook is een verlaging toegepast voor de kleine ombuigingsstra-len in de ophangwapening. Dit laatste vanwege het risico vansplijtspanningen als gevolg van hoge drukkrachtoverdracht ophet beton aan de binnenzijde van een ombuiging. Zoals eerdergenoemd werden naast de 2D- ook 3D-modelleringen uitge-voerd om dit verschijnsel te onderzoeken.In figuur 6 zijn de staalspanningen te zien bij de hoogste belas-ting in de 3D-modelleringen. Allereerst wordt nog eens deaandacht gevestigd op het feit dat bij V1 alleen de buigwape-ning in de tand vloeit. Bij V2 is de vloeispanning bereikt in deophangwapening en in de buigwapening. Verder is duidelijk tezien dat in de ophangwapening de hoogste staalspanningennaar de ombuigingen toe worden afgebouwd door de aanhech-ting met het beton. Bij de ombuigingen zijn de staalspanningendus lager dan tussen de ombuigingen in. Zou zijn uitgegaanvan de rekenwaarde van de staalspanning, dan waren de staal-6 Staalspanning (MPa) bij dehoogste belasting in3D-berekeninga Variant V1: 3DV1B2b Variant V2: 3DV2B2Gezonde tanden (2) 12009 152DV1B1R = 149 kNwmax = 0,52 mmss,oph = 174 MPass,buig = 248 MPa2DV2B1R = 185 kNwmax = 0,40 mmss,oph = 230 MPass,buig = 172 MPa2DV2B1-altR = 185 kNwmax = 0,17 mmss,oph = 211 MPass,buig = 100 MPa0501001502002503003504004505005507a 7b8a 8b 8c7c-3,0-2,0-1,00,01,02,02,5abs. min.abs. max.7 Staalspanningen (MPa) intand van 3DV1B2 (stap 25,reactiekracht 300 kN) (a).Betonspanningen (MPa)loodrecht op het van deombuigingen (syy): in hetvlak van de eerste ombui-ging uit het midden (b) enin een vlak loodrecht daar-op (c). In (c) ook 2e-fasescheuren. De snijlijn vande vlakken is met eenstreeplijn in (b) en (c) aan-gegeven.opgemerkt dat bij het afleiden van een verwachtingswaardevoor de maximale scheurwijdte uit de berekende scheurwijdtenmoet worden bedacht dat scheuren in naast elkaar gelegeneindige elementen zich in werkelijkheid als één scheur kunnenmanifesteren.BesluitSamenvattend kan worden gesteld dat de berekening met deniet-lineaire eindige-elementenmethode beter inzicht geeft inde werking van de onderzochte tandconstructie. Dit betreft hetbezwijkgedrag en het aandeel van de verschillende wapenings-elementen in de bezwijkfase, maar ook de scheurontwikkelingin de bruikbaarheidsgrenstoestand. Zowel uit het oogpunt vansterkte als uit het oogpunt van constructiegedrag (vervormin-gen en scheurwijdte) verdient V2 de voorkeur. Bij deze variantis de wapening effectiever.Voor de onderzochte gevallen voegt het gebruik van een3D-modellering in plaats van een 2D-modellering betrekkelijkweinig toe aan de verkregen inzichten, zeker afgezet tegen deextra tijd die het gebruik van een 3D-modellering met zichmeebrengt. Echter ook de eindige-elementenmethode heefthaar beperkingen en bij het gebruik ervan in een ontwerpbere-kening wordt daarom vaak een modelfactor ingevoerd vanbijvoorbeeld 1,1. Het is van wezenlijk belang dat de uitkomstenvan eindige-elementenberekeningen in voldoende mateworden gevalideerd met behulp van experimentele resultaten.Dergelijke proeven zijn inmiddels uitgevoerd. Hierop wordtingegaan in het artikel `Gezonde tanden (3), Daadwerkelijkebeproevingen in het van Musschenbroek laboratorium' verderin deze uitgave. Fkening is niet expliciet aandacht besteed aan de scheurwijdte inde bruikbaarheidsgrenstoestand. Maar in de eindige-elementen-berekening, waarbij de belasting stapsgewijze wordt opgevoerd, isinformatie beschikbaar over het gehele belastingtraject. Aan dehand van enkele berekeningsresultaten wordt dit verduidelijkt. Debelasting in de bruikbaarheidsgrenstoestand is benaderd door deontwerpwaarde voor de uiterste grenstoestand te delen door 1,3.Voor varianten V1 en V2 levert dit achtereenvolgend 149 kN en185 kN. In figuur 8 zijn enkele observaties samengevat. Daaruit isop te maken dat de scheurwijdte in variant V1 groter is dan invariant V2, ondanks dat de belasting bij variant V2 het hoogst is.Ook is te zien dat de scheurwijdte en de staalspanning in demeest op deze scheuren betrokken wapening, gelijk oplopen. InV1 is dat de maximale spanning in de buigwapening, die met 248MPa groter is dan de maximale spanning van 230 MPa in deophangwapening van variant V2.De berekende scheurwijdtes overschrijden de vaak gehanteerdetoelaatbare waarde van 0,3 mm. Om aan deze grenswaarde tevoldoen, moet de toelaatbare belasting worden verlaagd. Dezeverlaging zou in variant V1 meer bedragen dan in V2. Eenandere mogelijkheid om minder wijde scheuren in de keel vande tandaansluiting te krijgen, is het afsnuiten van de binnen-hoek. Het effect daarvan op de scheurontwikkeling is te zien inde berekeningsresultaten van een alternatief voor V2. In ditalternatief zijn de voorzijde van de tand en de keel van deaansluiting over 50 mm afgesnoten. Ook is de helling van deophangwapening verkleind van 60º naar 53º, waarbij eendekking van 25 mm op de wapening is aangehouden. Figuur 8claat zien dat dit leidt tot een meer uitgesmeerde scheurvor-ming, met als gevolg dat de maximale scheurwijdte duidelijkkleiner is dan in de twee eerder besproken gevallen. Terzijde zijI LITERATUUR1 Bruijn, W.A. de, Slen-ders, B.M.A.; Gezondetanden. Nieuwe moge-lijkheden bij toepassingvan hogere beton-sterkte. Cement 2008/3,blz. 43-48.8 Scheurontwikkeling, maxi-male scheurwijdte enmaximale staalspanning inophang- en buigwapeningonder gebruiksbelastingvoor variant V1 (2DV1B1, a),variant V2 (2DV2B1, b) eneen alternatief voor variantV2 (2DV2B1-alt, c)