ir. J. J. I. BUISMAN, medewerker van ir. L. Kellermann, Raadgevend Ingenieur O.N.R.I.Berekening van kokervloeren volgens de breukrnethodeU.D.C. 624.025.072.45:676.83:539.4.07berekening kokervloer: breukmethodeInleidingSinds de eerste artikelen (Cement X (1958) Nr. 17 - 18 en Cement XI(1959) Nr. 3) over het gebruik van waterdichte kartonnen kokers, alsgewichtsverminderend element in vloeren van gewapend beton, heeftdit systeem vrii algemeen ingang gevonden. Met name voor de gro-tere overspanningen zijn er tol van toepassingen over het gehele landaan te wiizen.Ondertussen heeft de invoering van de G.B.V. 1962 - waarbij de be-rekening volgens de breukmethode is toegestaan - de mogelijkhedengeboden om aan de prettige eigenschappen van dit type vloeren deeconomische-voordelen van genoemde rekenwijze toe te voegen.In het hierna volgende zal - zij het misschien wot lang na het ver-schijnen van de nieuwe voorschriften - getracht worden de breuk-methode ook voor kokervloeren toepasseliik te maken. Dit dringt temeer omdat het volgens artikel 49, lid 2, van de G.B.V. verboden isvoor eenzelfde bouwwerk, in gevallen van buiging zonder normaol-kracht, afwisselend de n-methode en de breukmethode toe te passen,zodat men nu voor bouwwerken met kokervloeren of voor alle con-structiedelen de n-methode moet toepassen ?f voor elke kokervloerapart een rekenwijze moet ontwikkelen op basis van de breukmethode.Bovendien zal - door het invoeren van een minimale vloerdikte, opgrond van de doorbuigingseisen volgens artikel 45 - de toepassingvan kokers eerder in aanmerking komen, vooral voor licht belastevloeren (dakplaten) en voor vierzijdig opgelegde platen, omdat bijwat grotere overspanningen deze vloeren vaak belangrijk dikker wor-den dan op grond van sterkte-eisen noodzakelijk zou zijn. De belas-ting door het extra eigengewicht waarop dan moet worden gerekend,kan door gebruik van de kokers worden vermeden.Berekening van het opneembaar momentHet opneembaar moment van een kokervloer zal, ten einde de for-mules niet onnodig ingewikkeld te maken, op grond van de benade-ringsmethode volgens art. 48 van de G.B.V. 1962 worden berekend.De fout die op deze wijze wordt gemaakt, is klein, zoals uit een ver-gelijking van de methode volgens artikel 47 en die volgens artikel 48,toegepast op een massieve plaat, moge blijken.Het opneembaar moment volgens artikel 47 (fig. 1) laat zich als volgtberekenen:IM47 = Mb.(h-3/8~)=-)X .b .(h-3/8~).0,6 KZ8YVolgens art. 48:Md7 h-3/8~ Y +0,05Hieruit volgt: -= -.----.Md8 h -'I~xYVoor kleine waarden van x is het quoti?nt van deze momenten dus vrii-y +0,05wel gelijk aan -. YHoe kleiner y hoe groter het quoti?nt, hetgeen bij de kleinste waarde169van y (nml. 1,641 neerkomt o p L = 1,0305.1,64Een (veilig) verschil dus van hoogstens 3O/o.Voor de maximale waarde van x, nl. x = 0,525 h vindt men echter:Na, _L l l Na,fig. 7fig. 2Voor de grootte van het apneembaor moment is deze vereenvoudi-ging van de rekenwijze dus geheel te verwaarlozen, maar ook voorde kleinere waarden van x zijn er nauwelijks gevolgen aan verbon-den, omdat daarvoor al gauw de minimum wapening volgens artikel32, lid 8, bepalend gaat worden.In analogie met de methode die bii toepassing van de elasticiteits-theorie in het eerste artikel werd gevolgd, zal ook hier bezien wor-den hoe groot het opneembaar moment is voor een vloerstrook terbreedte van ??n koker.In figuur 2 zijn de gebruikte symbolen genoteerd, allen uitgedrukt inde kokerdiameter D.Als de drukzane wordt gesteld op s.D, dan geldt voor de afstaiid xvan de van uiterste gedrukte vezel tot de neutrale lijn per definitie:x=1,5s.D.Voorts geldt: h = (7 +a +c) D en b = (s-a) D.De ligging van het zwaartepunt van het cirkelsegment kan ten op-zichte van de onderrand met voldoende nauwkeurigheid op 0,4 b.Dworden gesteld.Nu geldt zo = h -0,5 s .D = (1 +o +c-0,s s)D (zie fig. 3, blz. 468)z,=h-s.D+O,4b.D== (1 + a +c-s +0,4s-0,4a)= (1 +0,6 a +c -0,6 s) D.Het oppervlak van het cirkelsegment kan voor verschillende waardenvan b worden voorgesteld door:F=Ub.D2De normaalkracht N, die zou optreden zonder kokers bedraagt:No=D.s.D.b'b=s.D2.b'benM,=z,.N,=(l +a+c-0,5s)s.D3.0rb.Het door de kokers weggesneden deel van de normaalkracht N, kanworden voorgesteld door:Het verschil is dan 0,3O/o.N, =ah. D2.orben het daarbij behorend reducerend moment:M , = N , . Z , = ~ ~ . ( ~ + O , ~ ~ + C - O , ~ ~ ) . D ~ . O ' ~ .Cement XVII (1965) Nr. 7Men kan nu voor deze verschillende betonspanningen bii een mas-sieve plaat de waarde van k. berekenen voor elke waarde van x.Door gebruik te maken van de reductie-percentages p kan men danbii die zelfde waarde van x de verkleining van k, nl. A k berekenen,die ontstaat als een deel van de drukzonc door de kokers wordtweggesneden. De gereduceerde waarden van k zijn aangeduid alsk0,20;k0,25 en ko,30,afhankelijk van de waarde van a. In de grafieken1 t/m 4 ziin zowel k. als k0,20; k0,25 en k0,30gegeven. De waardenvan k0,20 enzovoort, gelden uiteraard voor denkbeeldige kokervloe-ren, waarbii de kokers tegen elkaar aan liggen. Op het gebruik vandeze grafieken zal bij het rekenvoorbeeld nader worden ingegaan.Maximaal opneembaar momentWil men nu het maximale moment bepalen dan kan men uitgaan vande uiterste ligging van de neutrale lijn, waarbii x = 0,525 h. Gezienechter het feit dat bii deze ligging van de neutrale liin, vooral bii na-behandeld staal, de benodigde plastische rek eigenliik niet gehaaldkan worden, liikt het mij beter om voor kokervloeren als uiterste grenssteeds x = 0,45 h aan te houden.Bovendien is het verschil in het opneembaar moment tussen x = 0,45hen x = 0,525h niet zo groot (voor de plaatdelen waarin kokers voor-komen).Voor K 225 en Y = 1,77 geldt bii voorbeeld:k0,45 = 19,42-4,66 = 14,76 dus M,,, = 14,76 h2k0,525 = 22,OO -6,86 = 15,14 dus M,,, = 15,14 h2Een verschil dus van slechts 2,5%, zodat, gezien het karakter van dekokervloeren, het in de praktiik nauwelijks verschil zal uitmaken omals uiterste grens x = O,45h aan te houden.Bovendien zal men bii een maximaal belaste kokervloer al spoedigmoeilijkheden kriigen met de dworskrachten.Het is goed er hier aan te herinneren dat een vloer, waarin een gro-tere koker wordt toegepast dan strikt noodzakelijk is en die daardooriets dikker wordt, nauwelijks zwaarder weegt en mogelijk nog mindertabe bepaling vanenz. uit M,,,het maximale=k.h2moment bii gegeven plaatdikte,tabel V M,,, = k . h2grafiek 7grafiekCement XVII (1965) Nr. 7grafiek 3grafiek 4kost, terwijl de stiifheid kwadratisch met de dikte toeneemt. Dit Iaat-ste is vooral voor vloeren waarop gemetselde wanden of andere ver-vormingsgevoelige constructies voorkomen van groot belang, in ver-band met kruip.In deze beschouwing zal verder dus steeds gelden x,,, = 0,45h.BIn de tabellen IV en V ziin voor verschillende waarden van-(hart-Dafstand gedeeld door kokerdiameter) de waarden van ko,20; k0,2,j enk0,30gegeven bii deze waarde van x.Met behulp van deze tabellen kan men bii geschatte waarden van heteigengewicht en globale bepaling van het maximale veldmoment eenindruk kriigen van de minimale plaatdikte, nameliik door:h =fcte berekenen.Omgekeerd I:an men op eenvoudige wijze het opneembaar momentvan een gegeven plaat berekenen.Bepaling van de wapeningAnaloog aan de berekening van k, enzovoort kan men, gebruikmakend van het reductiepercentage P, de waarde berekenen vanb hW uit de formule A = 0 .A.1O0Dit wapeningspercentage is onafhankelijk van de veiligheidsco?ffi-ci?nt en wordt alleen bepaald door de beton- en staalkwaliteit ende ligging van de neutraie lijn.In de grafieken 5 en 6 ziin voor QR40 de waarden Wo bepaald voorrespectievelijk K 225 en K 300.Tevens zijn aangegeven Wo,20, wo,25 en Wo,30; dit zijn de wapenings-percentages voor vloeren met a = 0,20, 0,25 en 0,30, waarbii de kokers'tegen elkaar' liggen.De uit deze grafieken gevonden wapeningspercentages zijn voor on-dere staalkwaliteiten omgekeerd evenredig met de vloeigrens.Het gebruik van de grafiekenHet gebruik van deze grafieken en tabellen is in principe als volgt.Men bepaalt uit een voorberekening met behulp van de tabellen IVfig. 4Cement XVII (1965) Ni. 7of V, de plaatdikte, kokerafstand, kokerdiameter en alle andere vanbelang zijnde gegevens. Uit de statische berekeningen volgen nu be-paalde waarden voor de momenten ier plaatse van de kokers. MenMberekent nu steeds k = - en zoekt in de betreffende grafiek de bii-hbehorende waarde op van x. Bii deze waarde van x bepaalt men hetwapeningspercentage. Nu is het aflezen van de grafieken 1 tot enmet 4 geen eenvoudige zaak, aangezien men noch met een massieveplaat, noch met een plaat te doen heeft waarin de kokers tegen el-kaar liggen.Om de iuiste wijze van 'aflezen' te kunnen begriipen, dient eerst devraag beantwoord te warden, hoe groot het opneembaar moment isin een kokervloer, bii een gegeven waarde van x, waarbii tussen dekokers over een afstand d de plaat massief is en waarbij bii vaor-beeld a = 0,20.Over een breedte d geldt dan de waarde van de liin k. en overeen breedte D geldt de waarde van de lijn ko,20 zodat de gemiddel-de waarde van k wordt bepaald uit:k =d . k. +D .ko,20d + Dof als k. = koZz0+A k geldt:Dit betekent dat de horizontale liin die bii de gegeven k-waardehoort, de verticaal door de gezochte x-waarde zodanig in twee stuk-ken verdeelt, dat de afstanden van het deelpunt tot respectievelijkde ko-liin en de kot20-liinzich verhouden als D :d.Om het 'aflezen' te vergemakkelijlten kan men het best op een stukiegeruit transparant papier een horizontale lijn trekken en daarop ineen punt verticaal naar boven de afstand D en verticaal omlaag deafstand d uitzetten.De uiteinden van deze verticalen moet men dan verbinden met eenwillekeurig punt O van de horizontaal (zie fig. 4),zodat twee hellen-de liinen ontstaan.Schuift men nu dit papier met de horizontaal over de gegeven k-lijn,dan vindt men de iuiste waarde van x als de snijpunten van de beidehellende liinen met de k. en kojio-liin recht boven elkaar liggen.(Men kan ook voor enige waarden van x het juiste punt bepalen endan een hulpkromme schetsen die direct afleesbaar is.)Heeft men x gevonden dan bepaalt men de wapening per kokeraf-stand als volgt.Men zoekt eerst bii x de waarde van wo en de waarde van 00,20Nu geldt:........,...... ............A = d. h. 00 = cm2+D . h . 00,20 = cm2A = ........................ cm2In dit verband is het misschien goed er op te wijzen dat het aanbe-veling verdient de wapening steeds min of meer tussen de kokers teconcentreren. Plaatsing van staven midden onder een koker is mijnsinziens onjuist, zowel om theoretische als om praktische redenen.De trekkracht in een dergelijke staaf moet immers eerst via schuif-spanningen uit de onderflens naar het 'lijf' van het balkje wordenovergebracht, hetgeen met het oog op de overige spanningen in dezeonderflens ongewenst is.Bovendien zou een staaf midden onder de kokers de blokies die dekokers steunen in de weg zitten, terwijl ook het volstorten van deruimte onder de koker er door wordt bemoeiliikt.RekenvoorbeeldEen vrij opgelegde plaat heeft een overspanning van 8 meter en eenbovenbelasting (inclusief afwerking) van 500 kgf/m2.Stelt men het eigengewicht eveneens op 500 kgf/m2, dan is het maxi-male moment 118 X l000 X 82 = 8000 kgflm.Bii toepassing van K 225 en y = 1,77 zou de waarde van k ca. 17kunnen ziin en dus h = = 20.6 cm.Bii toepassing van QR40 geldt echter:h . =mln 4000 .4 .800=25,9cm1,77 .35O00grafiekCement XVII (1965) Nr. 7Kies plaat ht = 28 cm dik, met kokers 018,5 hart op hart 25 cm.h =28,O -2,l =25,9 cm, c =1,85 cm, a =535 cm =0,30 DStel de plaat is voor 80% voorzien van kokers.q = e.g. = 0,28.2400 = 672 kgf/m2-kokers 0,8.258 =-207 kgf/m2nuttige belasting = 500 kgf/m2q = 965 kgf/m2M,. = :. 965 .8,02 = 7720 kgfm7720k =, = 11,50, waaruit direct volgt door aflezing op de lijn25,9voor k. :-+ x = 0,247.De kokers hebben dus geen invloed, aangezien x kleiner is dan degrenswaarde voor p0,30.Voor QR24 is A =0,928. 25 .25,91O0= 5,90 cm2per kokerafstand.5,90.24Voor QR40 geldt dan A = -40 -- 3,58 cm2per kokerafstand.Rekenvoorbeeld IISteb nu dezelfde opgave van rekenvoorbeeld I echter met een nuttigebelasting van F100 kgf/m2.IM e- .1600. 8,002 = 12800 kgfm8Kies ht =30 cm; kokers 021 cm hart op hart 28 cm.h = 28 cm, c =2,l cm, dekking op de kokers is 5 cma = 0,238q = e.g. = 0,30.2400 = 720 kgf/m2-kokers 0,8.296 =-237 kgf/m2nuttige belasting = 1100 kgf/m2q = 1583 kgf/m21M = -.1733.8,002 =l2664 kgfm8Dit is nog juist opneembaar en de waarde van x zal weinig van 0,45verschillen.Aflezen uit de grafiek geeft: x = 0,419 (zie fig. 4).Nu geldt: A =7.28.1,57ion = 3,08 cm221.%:l,30+T - 7,64 cm2Totaal A = 10,72 cm2QR24of A = 6,43 cm2QR40Opneembaar moment bij plaatsing van de kokers loodrecht op deoverspanningHet opneembaar moment wordt, als de kokers loodrecht op de over-spanning zijn geplaatst, geheel bepaald door de grootte van de dek-king op de kokers. De maximale hoogte van de drukzone is immersgeliik aan deze dekking: dus s,,, = o.Hieruit volgt dat het opneembaar moment kan worden berekend doork te bepalen bij x,,,:1,5aXmaxl + a + cHierbij kan men gebruik maken van de grafieken door uitsluitend delijn voor k, in acht te nemen.Bij gegeven k kan men dus direct x aflezen en daarmee ook direct dewaarde van w.Men dient er dus alleen op te letten of de waarde van x kleiner isdan of ten hoogste gelijk aan anderhalf maal de dekking op de ko-kers.Opneembare dwarskracht ter plaatse van de kokersIn het tweede artikel werd voor het berekenen van de opneembaredwarskracht de volgende formule gegeven (nieuwe notatie):fig. 5 IHierbii is T' de dwarskracht ter plaatse van de kokers. In deze formuleis de doorsnede als niet gescheurd gerekend. Het ligt nu voor de handom bij toepassing van de breukmethode wel van een gescheurdedoorsnede uit te gaan, ook voor kleine momenten.Het blijkt dat de opneembare dwarskracht bii een gegeven taelaot-bare schuifspanning beduidend groter is, te meer als men de bijdragevan de 'flenzen' in rekening brengt.De opneembare dwarskracht wordt kleiner naarmate de neutrale liinlager ligt, de afstand tussen de kokers relatief groter is (in verhoudinggeringere bijdrage van de flenzen) en de dekking op de koker klei-ner is.Om tot een algemeen geldende, eenvoudige formule te kunnen ko-men, die aan de veilige kant blijft, zal de opneembare dwarskrachtworden berekend voor een kokervloer met de extreme waarden vol-gens fig. 5 (a = 0,20 D en d = 0,5 D).De opneembare dwarskracht is evenredig met de inhoud van de ruim-telijke schuifspanningsfiguur.Deze zou voor een vloerstrook ter breedte B zonder kokers bedragen:I,=0,55h.B.t=0,55.1,3.1,5D2.t = 1,073 D 2 . t+ 3 . 0,45 h . B .t = 0,30.1,5D2.t = 0,585 D2.tI, =1,658D2.tTrekt men daar nu de inhoud I, vanaf, die ter plaatse van de kokersgemaks- en veiligheidshalve is gesteld op I, = Q . n .D*. t, danresteert I = 0,870 D2.ZVergeleken met de inhoud van het halsje Ihvindt men:Ih= 0,5D .1,3D . t = 0,650D2 . t enDe opneembare dwarskracht kan steeds veilig berekend worden uit:Opneembare dwarskracht bij plaatsing van de kokers loodrechtop de overspanningHierop is in het 2e artikel uitvoerig ingegaan. De opneembare dwars-kracht bleek enerzijds afhankelijk van de spanningen in de halsjesten gevolge van deuvelkrachten en anderzijds van de schuine trek-spanningen in de flenzen onder en boven de kokers.Aangezien de opneembare dwarskrachten voor zover de deuvel-krachten bepalend waren, reeds op basis van een 'breukmethode'werden berekend (proefresultaten gedeeld door een veiligheidsco-?ffici?nt), zie ik geen aanleiding hierin verandering te brengen. Wel-iswaar is de toen gekozen veiligheidsco?ffici?nt van 3 vrii hoog, maargezien het geringe aantal proeven acht ik het niet verantwoord dezete verlagen.Voor zover de schuine trekspanningen in de flenzen bepalend zijn,kan men nu uiteraard met de hogere toelaatbare spanningen voorK 300 rekening houden.In de hoop dat deze beschouwing een bijdrage zal leveren tot eenverantwoorde economie in het bouwen, Iaat ik het oordeel erovergaarne aan de lezers over.Cement XVII (1965) Nr. 7