ing.W.A. de BruijnTH-Delft, afdeling der Civiele Techniek, vak-groep BetonconstructiesTen geleideOver de doorbuiging van vloeren is het laat-ste woord nog niet gezegd. In CVR-VB-ver-band wordt het onderwerp bestudeerd incommissie C 24. Bij de voorschriften blijkthet niet goed mogelijk eisen op te stellen dievoor ieder geval een economisch en tech"nisch aanvaardbare grenswaarde geven.Deze grenswaarde is namelijk sterkafhanke-lijk van onder andere de functie van de vloer,de aard van de scheidingswanden en degevel en van de detaillering van de aanslui-tende wanden. In de VB '74 zijn de eisen tenaanzienvan de doorbuiging dan ookbeperkttot een eenvoudige slankheidseis, die alleengehanteerd mag worden 'indien de vervor-mingen .. geen ernstige schade of ongeriefkunnen veroorzaken' (art. E-507). In dit ver-band is ook illustratief het gestelde in detoelichting op artikel 4.2.2.2.1. van de TGBAlgemeen Gedeelte (NEN 3850):'... voordegenoemdeaspecten is geen vervormingscri-terium aan te geven. Om praktische redenenmoeteen concrete grens worden gesteld. Degrenswaarde 0,003 (voor bijkomende door-buiging) moet echterniet worden gezien alseen exact afleidbare grootheid. Het verdientdan ook aanbevelingvangevaltotgevalna tegaan of er aanleiding bestaat deze eis teverzwaren of anders te formuleren ... '.Het is dan ook van belang dat de construc-teur zich inzicht kan vormen in de te ver-wachten doorbuiging, al zal die ook nooitnauwkeurig te voorspellen zijn. Het lijkt nut-tig, in afwachting van de resultaten van hetwerk van commissie C 24 de gedachtenvor-ming over dit onderwerp in wijdere kring testimuleren dooreraandachtaan te bestedenin Cement. Een eerste artikel vindt u hier-naast. Er zullen waarschijnlijk nog meer vol-gen.RedactieCement XXXIII (1981) nr. 10Bepaling van 'de buigstijfheid'van gewapendbeto.nInleidingDat gewapend-betonconstructies onder het opbrengen van eenbelasting doorbuigen en datde grootte van de doorbuigingin de loop der tijd belangrijk kan toenemen mag als algemeenbekend worden verondersteld. Het is echter moeilijk om deze doorbuiging door berekeningrealistisch te benaderen.De VB 1974 geeft thans een eenvoudige slankheidseis. Wordt aan die eis voldaan dan blijft dedoorbuiging binnen de toegestane grenzen. Zo' n eenvoudige regel heeft als nadeel dat dezede ene keer wat meer en de andere keer wat minder afwijking vertoont. Deze afwijkingen zijnwellicht door nadere studie te elimineren. Hieraan wordt in CUR-VB-verband gewerkt.Daarnaast heeft een eenvoudige slankheidseis de beperking dat deze voor slechts ??nvervormingseis, bijvoorbeeld bijkomende doorbuiging ~ 0,003 e, geldt. Deze beperking is inhet algemeen niet zo storend omdat deze vervormingseis voor veel constructies maatgevendis.Wil men echter een betonconstructie ontwerpen welke moet voldoen aan specifiek voor dieconstructie gestelde vervormingseisen ,dan is hetwenselijk om de optredende vervormingenvan een gewapend-betonconstructie zo nauwkeurig mogelijk te schatten. Men betreedt daneen terrein met nogal wat problemen. Deze problemen worden veroorzaakt door de invloedvan de als functie van de tijd optredende verschijnselen krimp, kruip en scheurvorming. Ditartikel poogt voor de berekening van de optredende vervormingen eenweg aan te wijzen dievoor de betonconstructeur niet te veel problemen geeft en aansluit aan zijn ervaringsgebieden bovendien het inzicht verschaft in de grenzen waarbinnen de doorbuiging van eenbepaalde betonconstructie zal liggen. Daartoe wordt in dit artikel het begrip 'buigstijfheid'ingevoerd. Dit begrip moet dan wel verstaan worden als een rekengrootheid en niet als eenwerkelijke stijfheid.Een groot voordeel van het werken met de buigstijfheid is dat dit aansluit op de klassieketoegepaste mechanica. Dat hiervoorook buiten de vervormingsberekening een toepassings~gebied ligt behoeft geen betoog. De methode die in dit artikel wordt voorgesteld voor deberekening van de buigstijfheidis algemeen toepasbaar. De resultaten zijn echter afgestemdop de ter plaatse gestorte betonconstructie van een gebouw, omdat in gebouwen de wense-lijkheid om de vervormingen van de betonconstructie te kennen het grootst is. Debijkomendedoorbuiging Van een vloer in een gebouw moet namelijk beperkt blijven, onder andereteneinde in de afbouwconstructie hinderlijke scheurvorming te voorkomen. Is men in staat dedraagconstructiezodanig te construeren dat de afbouwconstructie niet kan worden bescha-digd door vervormingen van de draagconstructie, dan is men doorgaans niet in dewerkelijkedoorbuiging ge?nteresseerd.De nu volgende benaderingsberekening richt zich daarom in beginsel op een statistischeoverschrijdingskans met betrekking tot de doorbuiging. Deze berekening zal echtereerstdangoed mogelijk zijn als twee parameters uit het model 'nauwkeurig' kunnen worden bepaaldop grond van onderzoekresultaten. Hierover verderop in dit artikel meer.Bekend is dat bij constructies met een laag wapeningspercentage de spreiding in dedoorbuiging groot is. Dit is verklaarbaaralswordt bedacht datbij een laag wapeningspercen-tage de mate van scheurvorming in ogenschijnlijk identieke gevallen sterk kan vari?ren. Bijhoge wapeningspercentages is deze spreiding in het algemeen veel geringer. Door despreiding inde werkelijk optredende doorbuigingen en door de afstemming op een statis-tische overschrijdingskans moet vooral niet worden gedacht dat de doorbuiging met de hiergegeven methode exact te berekenen is. Zoals opgemerkt, is dit vaak (gelukkig) niet noodza-kelijk. Wel moet men weten hoe de draagconstructie van een gebouw gedimensioneerd moetworden zodanig dat in een ongunstig geval juist geen hinderlijke scheurvorming in deafbouwconstructie optreedt. Overigens kan het resultaat, na voldoende metingen, wordenafgestemd op een gemiddelde en kan de daarbij behorende standaardafwijking in degrafieken worden verwerkt.In de hoop dat de theoretische achtergrond voor de lezer dan meer gaat leven wordt eerst hetresultaat gegeven en verduidelijktaan de hand van twee rekenvoorbeelden. Pas daarnawordtde theoretische achtergrond behandeld.6381Sch?jnbare Eb b?j bU?g?ng als funct?e van hetwapen?ngspercentage voor rechthoek?gedoorsneden3Rekenvoorbeeld stat?sch bepaaldopgelegde plaat=41?~,"mr7d~O.9hV4Vervorm?ng doorsnede door kr?mpCement XXXIII (1981) nr. 102Zoals Nguur 1, echter voor het geval deconstruct?e ?s belast door een beperkt deelvan de nutt?ge belast?ng (M = O,4Me)ResultaatHet resultaat is weergegeven in de figuren 1 en 2. FAguur 1 geeft een schijnbare Eb (Eb) voornormaal verhard beton voor de belastingstijden t = 1 dag en t = 00. (EI) gescheurd wordtvervolgens berekend uit (EI)g = EbI', waarinr == 1~ bhi- Het vervormingsprobleem van ge-wapend beton ishiermeevoorbuiging gereduceerd tot een mechanicaprobleem:De uitdruk-kingen Eb en r zijn niet meer dan rekengrootheden. De term (EI)g moet eveneens wordengezien als een rekengrootheid en niet, zoals bij staalconstructies gebruikelijk, als eenstijfheid. In de methode is uitgegaan van t = 1 dag in plaats van t= 0 omdat er nu eenmaaltijdsverschil zittussen hetontkisten en hetaanbrengen van de afbouwconstructie. Doordalinde eerste dag na het ontkisten een aanmerkelijk gedeelte van de kruip van het beton heeftplaatsgevonden wordt bij deze defini?ring de bijkomende doorbuiging gereduceerd.Me is het buigend moment waarbij de trekwapening juist gaat vloeien. Figuur 1 is tot standgekomen onder de conditie M = 0,6 Me. Dit is bij benadering de situatie onder de maximalegebruiksbelasting (0,6 Me = ~~ ). Figuur2 geeft hetzelfde indien de constructie isbelastdooreen beperkt deel van de nuttige belasting (M = 0,4 Me). Deze situatie zal in een gebouw nogaleens optreden. Voor de berekening van de bijkomende doorbuiging moeten beide grafiekenworden gebruikt. Is de constructie eenmaal belast geweest tot de maximale gebruiksbelas-ting, dan moet worden gerekend met de grafiek M = 0,6 Me.De gestippelde gedeelten van de grafiek geven de Eb indien de constructie grotendeelsongescheurd blijft. Uit de grafiek volgt dat bij lage OJo(OJo < 0,4) en bij lage belastingsgraad (M= 0,4 Me) de schijnbare Ebsterk afhangt van de mate van scheurvorming, terwijl de mate vanscheurvorming van zoveel factoren afhangt dat deze moeilijk is te voorspellen.Voor het bepalen van een bovengrenswaerde voor de doorbuiging wordt in de volgenderekenvoorbeelden uitgegaan van gescheurd beton (niet onderbroken lijnen in de grafiek).Rekenvoorbeeld statisch bepaald opgelegde plaatAls rekenvoorbeeld wordt de in figuur 3 weergegeven vloerplaat gehanteerd. Overigegegevens:betonkwaliteit B 22,5staalkwaliteit FeB 400wapening 012-160Wo = 0,37betondekking c = 15mmDe doorbuigingseis uit de VB 1974 leidt - zonder staalspanningsverlaging - tot de gekozendikte.In defiguren 1en2 is de krimpinvloed niet verwerkt. Deze wordt derhalveals eerste berekend.Aangenomen wordt dat door scheurvorming de vezel ter plaatse van de wapening geenverkorting ondergaat ten gevolge van krimp (f?g. 4). Daarentegen ondergaat de drukzoneweleen verkorting door krimp. Hierdoor krijgt de plaat een cirkelvormige uitbuiging (Ug. 5).Krimp volgens de VB 1974:E~ = 39? 10--5 (droge lucht, ht= 190 mm)Kromming ten gevolge van krimp:39 . 10--5 _ . -6 1 .Kr =0,9(190_21)-2,56 10 mm(ftg.4)Kromtestraal Pr = -l = 3,9' 10Smm.KrMet behulp van de stelling van Pythagoras is de doorbuiging door krimp te berekenen:or = 3,9' 10s-y'(3,9' 10S)L 25002 = 8,0 mmo6395000Omdat de plaat ook ongescheurdegedeeltes bevat wordt deze waarde voor 80% in rekeninggebracht zodat or = 0,8 ?8 = 6,4 mmo Voor hoge wapeni ngspercentages (bijvoorbeeldWo = 0,7en hoger) wordt aangeraden deze reductie niet in rekening te brengen, omdat de relatievelengten van de ongescheurde gedeeltes dan kleiner zijn.De maximale doorbuiging kan nu met figuur 1 worden berekend. Voor het gedeelte eigengewicht + V3 deel van de veranderlijke belasting wordt dekruipinvloed volledig in rekeninggebracht. Dit geeft Eb = 4700N/mm2 (M= 0,6Me,t= 00,000 = 0,37). Voorhetoverigedeelvandeveranderlijke belasting wordt de kruipinvloed niet in rekening gebracht. Dit geeft Eb = 7300N/mm2 (M = 0,6 Me, t= 1dag,wo = 0,37). Eris in dit voorbeeld gerekend metM= 0,6 Meomdater van is uitgegaan dat de constructie tussen t = 0 en t = 00 belast is geweest tot de maximalegebruiksbelasting.5Vervorming plaat door krimp_ 5, (4,56 + V3 . 4,0)' 50004 5, (2/3. 4)' 50004 ~Omax -384.4700. 1/12'1000.1903 + 384.7300. 1/12'1000'1903 + 6,4 ~ 29,7 mmDoor de vloer een zeeg te geven van tenminste 9,7 mm kan voldaan worden aan de TGB-eisOmax"" 0,004 e= 20 mmoDe direct optredende doorbuiging wordt vervolgens berekend met figuur 2: Eb = 10600NImm2 (M = 0,4 Me, t = 1dag, Wo = 0,37). Erwordt hierbij van uitgegaan dat deconstructie nietbelast is geweest tot de maximale gebruiksbelasting.?o_ 5, (4,56 + V3 . 4) .50004 _~ 384.10600. 1/12'1000.1903 - 7,9 mm,zodat de bijkomende doorbuiging ?bij = 29,7 - 7,9= 21,8 mmoDit isgroterdan deTGBtoestaat: Obij