Log in
inloggen bij Cement
Hulp bij wachtwoord
Geen account?
shop word lid
Home / Alle kennis / Artikelen

Stabiliteitskern met tweede-orde-effecten

Rekenen in de praktijk (14) Jorrit van Ingen - 19 januari 2021

De stabiliteitsbeschouwing is een van de belangrijkste paragrafen in de berekening van een hoogbouwproject. Om horizontale belastingen en belastingen uit scheefstand op verantwoorde wijze af te dragen naar de fundering, moet een voldoende stijve stabiliteitsconstructie worden ontworpen, bijvoorbeeld een kern. De belangrijkste parameter hierin is de buigstijfheid EI. In een case wordt toegelicht hoe die buigstijfheid kan worden bepaald en wordt bekeken hoe met scherp rekenen de tweede-orde-effecten kunnen worden beperkt.

Case

Deze case richt zich op het bepalen van de buigstijfheid van een kern en de invloed daarvan op het tweede-orde-effect. Er wordt een woongebouw beschouwd met een hoogte van 60 m en een grondoppervlak van 30 m x 30 m met één centrale stabiliteitskern van 6,0 m x 10,0 m (b x h) en een wanddikte van 0,3 m.

Uitgangspunten

hoogte gebouw
h = 60 m
grondoppervlak
b x h = 30 m x 30 m
maten kern (uitwendig)
b x h = 6,0 m x 6,0 m
wanddikte kern
d = 0,3 m
windgebied
windgebied II, terreincategorie II: onbebouwd
gevolgklasse
CC2

Rubriek Rekenen in de praktijk

Dit is de 14e aflevering in de Cement-rubriek ‘Rekenen in de praktijk’. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Mustapha Attahiri (Ingenieursbureau Gemeente Rotterdam), Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Lonneke van Haalen (ABT), Matthijs de Hertog (Nobleo), Jorrit van Ingen (WSP), Jacques Linssen (redactie Cement) en Bart Vosslamber (Heijmans).
De artikelen in deze rubriek worden telkens opgesteld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervolgens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid is de gepresenteerde rekenmethode de visie van een aantal individuen.

Buigstijfheid

Door constructeurs wordt over de buigstijfheid van kernen, vloeren, balken etc. vaak geroepen: “Ik reken met een gescheurde E van 10.000 N/mm2”. Verwarrend, want een elasticiteitsmodulus kan niet gescheurd zijn. Wat wordt er dan bedoeld? Dat kruip en langetermijneffecten van beton worden meegenomen? Dat er scheurvorming in het element ontstaat? Waarom dan een elasticiteitsmodulus van 10.000 N/mm2? Waarom geen 5000 N/mm2 of 15.000 N/mm2? Een onderbouwing ontbreekt (te) vaak.

Even opfrissen

De buigstijfheid wordt samengesteld uit de grootheden E en I, waarin E de elasticiteitsmodulus (hierna: E-modulus) van het beton is en I het traagheidsmoment van de doorsnede. Beide kennen, in tegenstelling tot de Wet van Hooke, niet-lineair gedrag. We onderscheiden fysisch en geometrisch (niet-)lineair gedrag.

Fysisch gedrag materiaal
Het materiaal is fysisch niet-lineair als de relatie tussen de spanningen en de rekken niet lineair is. Bij betonconstructies belast op buiging is hiervan sprake, omdat de drukzone vanaf een zekere spanning steeds sterker niet-lineair wordt, terwijl de trekzijde heel snel zijn lineariteit verliest omdat het beton scheurt en er daardoor helemaal geen spanning meer is. De mate van scheurvorming is hierbij afhankelijk van het aanwezige buigend moment en de normaalkracht. In deze beschouwing kan de wapening worden meegenomen.

Verder geldt dat de E-modulus afneemt, in de tijd gemeten, bij gelijkblijvende belasting: het zogenaamde kruipeffect. Je werkt dan met een schijnbare E-modulus waarin het kruipeffect op eenvoudige manier is verwerkt. Belangrijk is om te vermelden dat deze analyse moet worden uitgevoerd op het belastingeffect. Het is dus belangrijk voor wat voor type belasting (in deze case met name wind) de kruip- en tijdsinvloed wordt bepaald en of deze belasting lang- of kortdurig aanwezig is.

Geometrisch gedrag
Een element is geometrisch niet-lineair, als ten gevolge van vervormingen het evenwicht opnieuw moet worden bepaald. Anders gesteld: de constructie buigt uit, waardoor de excentriciteit van de belasting ten opzichte van het zwaartepunt van de niet-vervormde doorsnede toeneemt. Dit zijn de zogenoemde tweede-orde-effecten en die zijn in sterke mate van toepassing op kernen.

Voor deze case spelen beide effecten een belangrijke rol. Omdat het buigend moment niet constant is over de kernhoogte, betekent dit voor het traagheidsmoment dat deze op iedere hoogte een andere waarde heeft. De geëigende aanpak is om te rekenen met het traagheidsmoment van de ongescheurde doorsnede, om vervolgens de invloed van scheuren, samen met de kruipeffecten, te verwerken in een gecorrigeerde E-modulus. Eerlijk is eerlijk: hiervoor is 10.000 N/mm2 vaak een aardige schatting.

Deze aanpak passen we ook voor deze case toe. Eerst wordt het tweede-orde-effect bepaald bij een constante en vervolgens ook met een over de hoogte verlopende E-modulus.

Case

In deze case wordt een woongebouw beschouwd met een hoogte van 60 m en een grondoppervlak van 30 m x 30 m. Deze is gelegen in windgebied II en heeft terreincategorie II: onbebouwd. De gevolgklasse is CC2. Het bouwwerk telt twintig bouwlagen en heeft één centrale stabiliteitskern met de uitwendige maten 6,0 m x 10,0 m (b x h) met een wanddikte van 0,3 m. Ter vereenvoudiging zijn er geen wandsparingen in de kern meegenomen. De case richt zich in het bepalen van de buigstijfheid alleen op de ULS. De SLS kent een vergelijkbare aanpak, echter met andere fysische waarden.

Berekening 1: Controle E = constant

Eerst wordt de kern berekend met een constante waarde voor E van 10.000 N/mm2. Wij zoeken hier eerst naar het tweede-orde-effect, om deze later in de case te kunnen vergelijken met het tweede-orde-effect bij een verlopende E. Hiervoor worden eerst diverse uitgangspunten voor de belasting vastgesteld. Sommige daarvan worden vrij kort omschreven om de uitwerking compact te houden. Het is volledig een ULS-beschouwing.
Op de kern grijpen horizontale belastingen aan. Deze horizontale belastingen betreffen wind en aanpendelend gedrag door scheefstand.

Wind
De horizontale belastingen door wind kunnen worden bepaald conform NEN-EN 1991-1-4. Hieruit volgen de algemene windeigenschappen:
- Winddrukfactoren Cpe,D = 0,80, Cpe,E = -0,55
- Correlatiefactor = 0,85
- Bouwwerkfactor cscd = 1,0
Vanwege de gebouwgeometrie hoeft geen windwrijving in rekening te worden gebracht.

30 m tot 60 m:
qp(z) = 1,45 kN/m2
Qk,wind,1 = 1,45 • (0,80 + 0,55) • 0,85 • 1,0 = 1,66 kN/m2

0 m tot 30 m:
qp(z) = 1,20 kN/m2
Qk,wind,2 = 1,20 • (0,80 + 0,55) • 0,85 • 1,0 = 1,38 kN/m2

Met b = 30 m leidt dit tot een horizontale lijnlast (fig. 3):
qd,wind,1 = 1,66 • 30 • 1,5 = 74,7 kN/m1
qd,wind,2 = 1,38 • 30 • 1,5 = 62,1 kN/m1

Omdat de nadruk van de case ligt bij de stijfheidsbepaling van de kern, wordt niet gekeken naar asymmetrische belastingen.

Belasting direct aangrijpend op de kern en aanpendelende belasting
In het zwaartepunt van de kern werkt een direct aangrijpende belasting. Deze verloopt gelijkmatig over de hoogte en bedraagt NEd = 55.000 kN. Per verdieping is dit: NEd,bouwlaag = 2750 kN. Het resterend deel van de verticale belasting van het bouwwerk bedraagt NEd = 257.000 kN en verloopt eveneens gelijkmatig over de hoogte.

De totale belasting, de aanpendelende belasting, bedraagt hierdoor NVEd = 312.000 kN. Per verdieping is dit: NVEd,bouwlaag = 15.600 kN. Omdat in de stabiliteitsbeschouwing de windbelasting als extreme belasting wordt genomen, zijn alle vloeren met combinatiefactor ψ0 bepaald.

Scheefstand
Conform NEN-EN 1992-1-1, art. 5.2 moeten imperfecties in rekening worden gebracht.

θi = θ0 αh αm                                                                             [5.1]
θ0 = 1/300
αh = 2/3 (met h = 60 m)
αm = 0,72 (met m = 20)
θi = 1/300 • 2/3 • 0,72 = 0,0016

De scheefstand samen met uitbuiging door de aanpendelende belasting zorgt voor een extra buigend moment in de kern. Deze kan worden gevonden door de voorgenoemde effecten als een horizontale belasting op de kern te zetten:

qEd,scheefstand = NVEd θi / h = 312.000 • 0,0016 / 60 = 8,32 kN/m1

Stijfheid fundering
De stijfheid van de fundering speelt een belangrijke rol in het tweede-ordegedrag, voor deze case werkt dit echter verstorend. Er is daarom een hoge rotatiestijfheid aangehouden, namelijk Cr = 2,75 • 1014 Nmm/rad, zodat het een niet-significante bijdrage levert.

Traagheidsmoment kern
Voor het traagheidmoment van de kern wordt berekend: Iy = 1,262 • 1014 mm4. Dit is het traagheidsmoment zonder inbegrip van de wapening en uitgaande van een ongescheurde betondoorsnede met een constante E-modulus.

Rekenwaarden momenten
De hiervoor bepaalde gegevens zijn in een raamwerkprogramma geplaatst. Hierin is de kern gemoduleerd met de werkelijke kerndoorsnede en een E van 10.000 N/mm2. Hierop zijn de windbelastingen en de scheefstandbelasting gezet. Daarnaast is met oneindig stijve (scharnierende, aansluitende) staven de aanpendelende constructie gemodelleerd met de neerwaartse belasting per bouwlaag. Vervolgens zijn de eerste-ordemomenten te presenteren (fig. 5).

 T.g.v. wind  MEd,wind = 128.790 kNm
 T.g.v. scheefstand  MEd,scheefstand = 14.976 kNm
 Totaal  MEd,1e orde = 128.790 + 14.976 = 143.766 kNm


Tweede-ordemoment
Met de rekensoftware kan (iteratief) het tweede-ordemoment worden gevonden: MEd,2e orde = 165.915 kNm.
Hieruit kan de tweede-ordefactor worden afgeleid: 165.915 / 143.766 = 1,154.
Overigens kan deze factor bij een constante EI ook vrij eenvoudig handmatig worden bepaald.
Een tweede-ordefactor van 1,15 is in de regel acceptabel voor een kern, maar we proberen deze nog wat kleiner te krijgen door een wat nauwkeurigere analyse.

Berekening 2: controle E = oplopend

Vervolgens wordt gekeken naar een over de hoogte verlopende stijfheid. Daartoe wordt EI bepaald op basis van M-N-κ-diagrammen. Hiervoor wordt de kern opgedeeld in acht delen: verdieping 1, 2, 3-4, 5-6, 7-8, 9-12, 13-16 en 17-20. Per deel wordt voor het grootste moment de buigstijfheid bepaald. Het is uiteraard mogelijk minder delen te hanteren, maar voor de nauwkeurigheid zijn vooral kleine delen in de onderste bouwlagen belangrijk omdat deze een relatief grote bijdrage leveren aan de uitbuiging.

E-modulus
Allereerst moet de E-modulus worden vastgesteld. Bij C20/25 is dit in de korte duur 29.962 N/mm2. Voor tweede-ordeberekeningen kan het langeduureffect worden meegenomen op basis van NEN-EN 1992-1-1, artikel 5.8.4. Hierin wordt het eerste-orde buigend moment in de quasi-blijvende belastingcombinatie vergeleken met het eerste-orde buigend moment in de ULS. De eerder berekende momenten zijn nog van toepassing.

Omdat wind een kortdurende belasting is, met ψ2 = 0, vervalt dit aandeel in deze controle. Met een kruipcoëfficiënt φ(t,t0) = 2,50, volgt nu de effectieve kruipfactor.

φef = M0Eqp / M0Ed • φ(t,t0) = 14.976 / 143.766 • 2,50 = 0,26           [5.19]

Ecd = Ecm / [γcE • (1 + φef )] = 29.962 / [1,2 • (1 + 0,26)] = 19.816 N/mm         [5.20]

In de resultaten is duidelijk te zien dat de buigstijfheid naar boven toe fors toeneemt. Ook is te zien dat als het buigend moment de waarde 0 nadert (doorsnede ongescheurd), de korteduurelasticiteitmodulus wordt gevonden.
M-N-κ-diagrammen
Op de betreffende niveaus kan op basis van de normaalkracht en het buigend moment de buigstijfheid worden bepaald (tabel 1). Hierin is een tweede-ordetoeslag aangenomen van 1,15 (op basis de eerdere berekening en deze moet aan het einde worden geverifieerd). Met M-N-κ-software kan de doorsnede worden gemodelleerd. Voor de wapening is Ø12-150 v/a aangehouden. Voor de in de tabel gearceerde waarden van N en M is vervolgens de buigstijfheid en de gecorrigeerde E-modulus afgeleid. In figuur 6 en 7 zijn M-N-κ-resultaten voor deel 1 getoond.

Met deze E-waarden kan het raamwerk worden aangepast. De belastingen zijn ongewijzigd, echter is de kern opgedeeld in de acht delen met de toenemende E-waarden.

SLS versus ULS

Op vergelijkbare wijze, maar met andere fysische waarden, kan ook de horizontale verplaatsing worden bepaald in de SLS. Hiervoor hoeft alleen te worden gekeken naar de karakteristieke windbelasting en tweede orde, niet naar de scheefstand.

Tweede-ordemoment
De rekensoftware kan weer iteratief het tweede-ordemoment bepalen (fig. 8):

MEd,2e orde = 160.529 kNm

Hieruit kan de tweede-ordefactor worden afgeleid: 160.529 / 143.766 = 1,116.
Dit is een afname van ruim 3%. De aanname die eerder was gedaan voor tweede orde (1,15) was dus conservatief en daarmee akkoord.

Conclusie

De nauwkeurige beschouwing van de buigstijfheid van de kern levert bij deze case een paar procent winst op. Dit is weliswaar maar een paar procent, maar deze kleine winst kan net dat verschil maken als bijvoorbeeld de tweede-ordefactor aan de hoge kant is, als de trekkracht op de funderingspalen de capaciteit overschrijdt, of als de verplaatsing aan de top te groot is.

Er kan op basis van een enkel rekenvoorbeeld niets worden gezegd over wat de ‘winst’ in zijn algemeenheid is. Deze blijft vooral sterk afhankelijk van de aanwezige normaaldruk in de kern. Deze case laat zien hoe dit systematisch aan te pakken. Bovendien geeft de analyse een heel goed beeld van het geometrisch en fysisch niet-lineair gedrag van de kern. Met een beperkte inspanning krijg je dit inzichtelijk en kun je onderbouwen waarom je niet zomaar met 10.000 N/mm2 rekent, maar precies weet wat je doet.

Reacties

Martien Tjallema - Sedgwick Nederland bv 19 februari 2021 13:29

Hartelijk dank voor de aanvullende reactie. Goede overweging.

Jorrit van Ingen - WSP Nederland 10 februari 2021 17:20

De n/(n-1) is uiteraard ook een prima methode om een tweede orde factor te bepalen, omdat dit een heel nauwkeurige benadering is. Voor berekening 1 met een constante buigstijfheid zou dit dan ook tot nagenoeg dezelfde vergrotingsfactor hebben geleid. Bij berekening 2 met een variabele EI is n/(n-1) uiteraard niet hanteerbaar. Om een goed vergelijk te kunnen maken, en om het artikel compact te houden, is daarom gekozen alleen rekensoftware te gebruiken die iteratief rekent aan tweede orde. Overigens geldt natuurlijk nog dat bij de n/(n-1)-aanpak de constructeur zelf een goede inschatting moet maken voor de kniklengte van de kern. Deze zal, afhankelijk van het zwaartepunt van de belasting t.o.v. de hoogte, ergens tussen 1L en 2L liggen. De oude NEN6720 kent hiervoor voorschriften (1,12L tot 2L), de Eurocode helaas niet meer.

Martien Tjallema - Sedgwick Nederland bv 26 januari 2021 09:14

Mooi artikel. Zou het niet aardig zijn om bij dit onderwerp de vergrotingsfactor n/(n-1) te tonen? Groeten

x Met het invullen van dit formulier geef je Cement en relaties toestemming om je informatie toe te sturen over zijn producten, dienstverlening en gerelateerde zaken. Akkoord
Renda ©2022. All rights reserved.

Deze website maakt gebruik van cookies. Meer informatie AccepterenWeigeren