Wandliggers op drie steunpunten8201264Er wordt een symmetrische wand op drie steunpuntenbeschouwd. De belasting bestaat uit eigen gewicht, belasting uitverdiepingsvloeren en dakbelasting. Deze belasting wordtuitgesmeerd tot een gelijkmatig verdeelde belasting over hethele oppervlak van de wand (belasting q per eenheid vanwandbreedte). Essentieel is het kennen van de oplegreacties.Deze kunnen op twee manieren zijn bepaald. ?f ze volgen uitgeotechnische stijfheidsoverwegingen, ?f uit een globaleconstructieberekening. Belangrijk is steeds te starten vanuit eenevenwichtssysteem van belasting en oplegreacties. We beper-Wandliggers opdrie steunpuntenWandeningewapendbetonkunnenwordengedimensioneerdmetbehulpvaneenstaafwerk.Alsdewandovereenmiddensteunpuntdoorloopt,ishetvindenvaneengeschiktstaafwerkredelijklastig.Naaraanleidingvaneeninteressantvoorbeeldinhetrecentefib-bulletin61`Designexamplesforstrut-and-tiemodels'(ziekader`fib-bulletin61')ishetprobleemonderzocht.Kansteedswordenteruggevallenophetzelfdestaafwerkongeachtdeverdelingvandetotalebelastingoverdedriesteunpunten?1Keuze staafwerkmodel afhankelijk van momentverdelingStufibDit artikel is een uitwerking van een presentatiebij Stufib op 8 mei 2012. Tijdens deze presentatieis ook aandacht besteed aan staafpaneelmodellen. Hierover iseen artikel verschenen in Cement 2012/7. Dit artikel is ook teraadplegen op www.cementonline.nl.Wandliggers op drie steunpunten 82012 65ll lhl??n lange drukboogdirect staafwerktwee korte drukbogen1 Hogewandligger2 Wand op drie steunpunten3 Drie bouwstenen voorstaafschema2prof.dr.ir. johan Blaauwendraademeritus hoogleraar, TU Delftfib-bulletin 61fib-bulletin 61`Design examples for strut-and-tie models'is eenvervolg op bulletin 16 (2002). In bulletin 61 wordt het ontwerpenvan D-gebieden met behulp van staafwerkmodellen (strut-and-tie models) in betonconstructies toegelicht. Dit wordt aan dehand van veertien voorbeelden gepresenteerd. Meer informatieover fib-bulletin 61 staat op www.fib-international.org.ken ons tot een wand zonder sparingen. Het introduceren vanopeningen vraagt om een verfijning die voor de hoofdkracht-werking als niet relevant wordt beschouwd. De keuze voorsymmetrie hoeft eveneens geen grote beperking te zijn. Hetopgebouwde inzicht kan ook helpen bij asymmetrische wand-constructies.ProbleemstellingDe breedte van de wand is 2l en de afstand van de buitensteoplegreacties tot de rand l, (fig. 2). De dimensieloze zalaltijd klein zijn ten opzichte van 1. De belasting van een veld isql. Per veld wordt een deel ql afgevoerd naar het buitensteun-punt en (1 ? )ql naar het middensteunpunt. De breedte van deopleggingen wordt genegeerd. De oplegreacties worden dus alspuntlasten beschouwd. Momenten in de wandligger zijnpositief voor trekspanningen aan de onderzijde. Het blijktessentieel om twee verschillende situaties te onderscheiden: ??nmet een negatief moment boven het steunpunt en ??n met eenpositief moment, hierna te noemen het negatieve en positieveregime. Onder verwaarlozing van het kwadraat van tenopzichte van 1 ligt de overgang van de twee regimes bij: = 0,5(1 + ) (1)In figuur 3 worden drie bouwstenen onderscheiden: een directstaafwerk, twee korte drukbogen en een lange drukboog.Een direct staafwerk voert de belasting van een wanddeel rechtnaar beneden af naar een steunpunt. Hierbij hoort een horizon-tale drukkracht (gestippelde lijn) nabij de onderrand en trek-kracht (volgetrokken lijn) daarboven, samen goed voor eennegatief moment.Korte drukbogen overspannen elk ??n veld met een nulmo-ment boven het middensteunpunt.De lange drukboog overspant twee velden en levert boven hetmiddensteunpunt een positief moment. 3Wandliggers op drie steunpunten8201266l ll lql ql2(1-)qll l l l,0 68 ,0 68l l0,680,450,32l 0,32l0,450,450,45 0,23 0,230,321,100,320,68h = 0,5l4 Staafschema voor negatief steunpuntsmoment5 Resultaat voor negatief moment: krachten gedeeld door qlbron: fib bulletin 61genoemd (fig. 4). De dimensieloze parameters en zijngegeven en wordt gezocht. Wanddelen ter breedte van 2lvoeren hun belasting rechtstreeks af naar de buitensteunpunten.Een wanddeel met breedte 2l voert zijn belasting af naar hetmiddensteunpunt. De tussengelegen wanddelen dragen hunbelasting af met een korte drukboog. Uit evenwicht volgt, weermet verwaarlozing van het kwadraat van ten opzichte van 1: =_________1 + ? 2_________1 + (2)De formule wordt nu toegepast op het voorbeeld van fib-bulle-tin 61: een wand van 14,4 m lang en 3,6 m hoog met = 0 en = 0,45. De middenreactie is 1,1ql en beide buitenreacties zijn0,45ql, samen 2ql. Volgens formule (2) is = 0,32. De auteursvan het fib-bulletin berekenen 0,28 omdat w?l rekening wordtgehouden met de spreidingsbreedte van de oplegreacties. Deoplossing is getekend in figuur 5 met een weergave van dehoofdspanningstrajectori?n en het ingetekend schema. Alshefboomsarm voor de korte drukboog is 0,8h gekozen. Deplaats en de grootte van de resultante van de belasting op dekorte bogen is bekend. Dat geldt ook voor de uitsplitsing vande resultante over twee krachten, want ??n van de krachten isgelijk aan de buitenste oplegreactie. De trajectori?n ondersteu-nen het gekozen staafwerk en helpen de hefboomsarm van hetdirecte staafwerk kiezen. Deze is om redenen van duidelijkheidte groot getekend. Op basis van het trajectori?nbeeld zou dieongeveer een derde van de hoogte moeten worden. In hetfib-bulletin is voor tweederde gekozen.Wand met positief steunpuntsmomentDe tweede situatie gaat uit van een wand met relatief grootpositief steunpuntsmoment. De uiteenzetting gaat het meesteenvoudig aan de hand van een voorbeeld. Gekozen wordt eenvierkante wand met de parameterwaarden = 0,15 en = 0,8.De middenreactie is dan 0,4ql, beide buitenreacties bedragen0,8ql, totaal 2ql. De waarde van is nu groter dan de grens-waarde van vergelijking (1). Merk op dat de reactie in hetmidden slechts de helft is van de buitenste reacties. De oplos-sing staat in figuur 6. De relatief kleine middenreactie 0,4qllaten we volledig samenvallen met het directe staafwerk; kortedrukbogen kunnen dan niet meer voorkomen. De lange druk-boog en negatieve staafwerken aan de einden maken evenwichtmet de buitenreacties 0,8ql.Wand in overgangsgebiedOm een wand in het overgangsgebied te beschouwen, wordthet voorbeeld van de vierkante wand met positief steunpunts-moment en = 0,15 nogmaals gebruikt. Nu met = 0,6, dichtMet deze bouwstenen worden drie karakteristieke situatiesbehandeld: een duidelijk negatief middenmoment, een duide-lijk positief middenmoment en een overgangssituatie.Een negatief moment correspondeert met een grote reactie inhet middensteunpunt, dus met een kleine . Voor dit gevalmoet de combinatie van direct staafwerk en korte drukbogenworden gebruikt.Omgekeerd correspondeert een positief middenmoment meteen kleine middenreactie, dus een grote . Nu wordt gewerktmet een combinatie van direct staafwerk en lange drukboog.Voor overgangswaarden van in de buurt van vergelijking (1)worden alle drie de bouwstenen ingezet.Wand met negatief steunpuntsmomentDe eerste situatie betreft een wand met relatief groot negatiefmiddenmoment. De breedte van het wanddeel per veld datdirect wordt afgevoerd naar het middensteunpunt wordt l45Wandliggers op drie steunpunten 82012 67l l0,25 0,250,250,250,300,80 0,800,300,400,40h = 1,5l0,30 l 0,30 l0,40 ll lh = 1,5l0,30 l 0,30 l0,60 l0,190,210,30 0,300,600,60 0,600,800,210,196 Resultaat voor positief moment: krachten gedeeld door ql7 Resultaat voor overgangsgebied: krachten gedeeld door qlis. Dus er moeten ook korte drukbogen zijn. Elke korte boogdraagt 0,1ql bij aan het middensteunpunt. Daaruit volgt dat debelasting op de korte boog 0,21ql is en dat 0,11ql wordt afge-dragen naar het buitensteunpunt. Uit evenwicht van dat puntvolgt tenslotte de belasting 0,19ql op de lange drukboog. Deaansluiting op het trajectori?nbeeld is goed, behalve bij hetmiddensteunpunt. In de EEM-berekening is de middenopleg-reactie w?l gespreid en in het bepalen van het staafschema niet.Tot slotVoor situaties met een duidelijk negatief steunpuntsregimegebruiken we een andere combinatie van twee staafwerken danvoor een duidelijk positief regime. Met drie staafwerken tege-lijk maken we een geleidelijke overgang van het negatieve naarhet positieve regime. Trajectori?nplots van een EEM-bereke-ning kunnen helpen bij de keuze van de goede combinatie. Hetwordt aan de lezer overgelaten verticale wapening bij de illlus-traties te denken, waarmee de belasting aan de drukbogenwordt opgehangen. De detaillering van knopen valt ook buitenhet bestek van dit artikel. bij de overgangswaarde 0,575 volgens (1). De oplegreactie inhet tussensteunpunt is 0,8ql; in elk van de twee buitensteun-punten bedraagt die 0,6ql, samen 2ql. Nu heeft het zin alle driede bouwstenen in te zetten. Voor de keuze van het directe staaf-werk laten we ons leiden door de trajectori?n uit een EEM-berekening. Het kan enige iteratie vragen. Het resultaat staat infiguur 7. Met de breedte 0,6l van het middendeel sluiten we hetbeste aan bij de trajectori?n. Dit draagt 0,6ql bij aan demiddenreactie; minder dan 0,8ql die de reactie in werkelijkheid LiTeRATuuR1 Design examples for strut-and-tie models. fib bulletin 61,International Federation for Structural Concrete (fib), 2011.2 Practitioners'guide to finite element modelling of reinforcedconcrete structures. fib bulletin 45, International Federation forStructural Concrete (fib), 2008.3 Schlaich, J., Sch?fer, K. & Jennewein, M., Toward a consistent design ofstructural concrete. PCI Journal, special report, May/June 1987.6 7