Doorbuiging1201086DoorbuigingIn de serie met rekenvoorbeelden, waarin de diverse onderdelenvan de Eurocode 2 1) worden toegelicht, is het in dit tiendeartikel de beurt aan doorbuiging. In het voorbeeld wordt eenstatisch bepaalde ligger behandeld.Rekenvoorbeelden bij Eurocode 2 (10)OpmerkingDe kruipco?ffici?nt is afgeleid met behulp van EC2 figuur 3.1:voor een binnenmilieu met RV = 50%, h0= 2Ac/u = 292 mm,t0= 30 d, cementsoort N en betonsterkteklasse C30/37 kan(,t0) worden afgelezen.De vrije krimpvervorming is opgebouwd uit uitdrogingskrimpen autogene krimp. Voor de uitdrogingskrimp is uit EC2 tabel3.2 af te lezen dat bij een RV = 50% en betonsterkteklasseC30/37 de nominale onbelemmerde uitdrogingskrimpverkor-ting cd,0= 480 ? 10-6. Voor t = is ds(t,ts) = 1 (EC2; vgl. (3.10)).EC2 tabel 3.3 geeft kh= 0,76 voor h0= 292 mm. De uitdro-gingskrimp is dan cd(t) = 365 ? 10-6.De autogene krimpverkorting voor fck= 30 N/mm2en t = (waardoor as(t) = 1; zie EC2 vgl. (3.13)) is dan ca(t) = ca() =2,5 ? (30 - 10) ? 10-6= 50 ? 10-6(EC2; vgl. (3.11) en (3.12)).De balk is in het ongescheurde stadium zolang het scheurmo-ment niet is bereikt. Om het gedrag te beschrijven wordt voorde treksterkte van het beton de waarde fctmaangehouden (EC2;art. 7.1 (2) & tabel 3.1). Voor sterkteklasse C30/37 isfctm= 2,9 N/mm2.OpmerkingHet is toegestaan de buigtreksterkte (EC2 art. 3.1.8) in plaatsvan de centrische treksterkte aan te houden (EC2 art. 7.4.3 (4)).Dan moet echter wel worden aangetoond dat geen normaal-trekspanningen optreden. In dit rekenvoorbeeld wordt afgezienvan het rekenen met de buigtreksterkte.UitwerkingHet scheurmoment is:Mcr= Wfctm=500 . 7002________62,9 = 118 . 106NmmRekenvoorbeeld (EC2, par.7.4.3)Een voorbeeld wordt behandeld waarin de langeduur doorbui-ging wordt berekend van een statisch bepaalde ligger belast opzuivere buiging.Bereken de langeduur doorbuiging van een gelijkmatigverdeeld belaste, statisch bepaalde ligger met rechthoekigedwarsdoorsnede (fig. 1).Uitgangspuntenoverspanning: l = 10 mtotale hoogte doorsnede: h = 700 mmnuttige hoogte doorsnede: d = 650 mmquasi-blijvend aanwezige belasting (de blijvende belasting plushet quasi-blijvende deel van de veranderlijke belasting):qEqp= qG,k+ 2qQ,k= 80 kN/mbetonsterkteklasse: C30/37betonstaal: As= 2945 mm2kruipco?ffici?nt (,t0) = 2,0vrije krimpvervorming cs= 415 ? 10-61) De artikelenserie is vertaald en bewerkt door dr.ir.drs. Ren? Braam (TU Delft,fac. CiTG / Adviesbureau ir. J.G. Hageman BV) en afgestemd met Voorschriften-commissie 20.Doorbuiging 12010 87g + qlz500650700Asg + qlz500650700AsOpgemerkt wordt dat in deze uitwerking de invloed van hetaanwezige betonstaal niet is meegenomen bij het berekenenvan het weerstandsmoment. Uiteraard is dat wel toegestaan.Als het scheurmoment is overschreden, wordt het momentopgenomen door de combinatie van een staaltrekkracht en eenbetondrukzone. De drukzonehoogte volgt uit:x = (?e + ___________(e)2+ 2e )dwaarin:e=Es__EcDe verhouding tussen de elasticiteitsmoduli van staal en beton(e) wordt berekend uitgaande van de effectieve elasticiteitsmo-dulus van beton (EC2; vgl. (7.20)):Ec,eff=Ecm__________1 + (,t0 )Met Ecm= 33 000 N/mm2(EC2; tabel 3.1) en (,t0) = 2,0 isEc,eff= 11 000 N/mm2en e= 200/11 = 18,2.Met = As/(bd) =0,0091 is e = 0,165.x__d= ?0,165 + ______________0,1652+ 2 . 0,165 = 0,433De drukzonehoogte in het gescheurde stadium:x = 281 mmDe werkelijk optredende kromming wordt gevonden door teinterpoleren tussen de krommingen die worden gevonden voorhet ongescheurde en het gescheurde stadium (EC2; art. 7.4.3(2)& vgl. (7.18)).In het ongescheurde stadium (subcript I) is de kromming:I=MEqp____(EI)I=12MEqp______Ec,effbh3In deze uitdrukking is de invloed van het betonstaal op hettraagheidsmoment verwaarloosd. Net als bij het berekenen vanhet scheurmoment mag deze invloed uiteraard wel wordenmeegenomen.In het gescheurde stadium (subscript II) wordt uiteraard deinvloed van het betonstaal wel meegenomen:II=M_____(EI)IIwaarin:(EI)II= Ec,eff (1___12bx3+ (bx) (1__2x)2+ eAs(d ? x)2)Deze uitdrukking volgt uit het traagheidsmoment van de beton-drukzone en het betonstaal ten opzichte van de neutrale lijn in hetgescheurde stadium (fig. 2). Voor het betonstaal is alleen debijdrage volgens de regel van Steiner toegepast; het traagheidsmo-ment van de wapening om het eigen zwaartepunt is verwaarloosd.Met MEqp= qEqpl2/8 = 80 ? (10 ? 103)2/8 = 1000 ? 106Nmm,Ec,eff= 11 000 N/mm2, b = 500 mm en h = 700 mm is:I=MEqp____(EI)I=1000 . 106________1,57 . 1014= 6,37 . 10?6mm?1Met e= 18,2, As= 2945 mm2en x = 281 mm is:II=MEqp_____(EI)II=1000 . 106________1,21 . 1014= 8,26 . 10?6mm?1De verdelingsfactor die rekening houdt met de tension stiffe-ning in een doorsnede (EC2; vgl. (7.19)) = 1 ? (sr____s,qp)2mag voor zuivere buiging worden geschreven als: = 1 ? (Mcr____MEqp)2Bij aanhoudende belastingen is = 0,5.Voor Mcr= 118 ? 106Nmm en MEqp= 1000 ? 106Nmm is = 1 ? 0,5 ( 118_____1000)2= 0,993OpmerkingDe invloed van de tension stiffening is in dit rekenvoorbeeld dusrelatief gering; een berekening op basis van een gescheurde door-snede levert bijna hetzelfde resultaat als een berekening waarinwordt ge?nterpoleerd tussen de ongescheurde en de vollediggescheurde toestand. Dit komt voort uit het feit dat hetbeschouwde moment MEqpveel groter is dan het scheurmomentMcr.1 Zijaanzicht en dwars-doorsnede van de liggerAfkortingenEC2 = NEN-EN 1992-1-1NB = Nationale Bijlage1Doorbuiging1201088bbetondrukzoneneutrale lijnxd-xAs2 Schematisatie gescheurderechthoekige doorsnede tenbehoeve van het berekenenvan het traagheidsmomentIII=1___12bx3+ (bx) (1__2x)2+ eAs(d ? x)2Met As= 2945 mm2, d = 650 mm, h = 700 mm, b = 500 mm enx = 281 mm:SI= 884 ? 103mm3SII= 1090 ? 103mm3II= 14,3 ? 109mm4III= 11,0 ? 109mm4cs,I=1___rcs,I= cseSI__II= 1,13 ? 10?3cscs,II=1___rcs,II= cseSII__III= 1,80 ? 10?3csDe kromming ten gevolge van de krimp wordt gevonden doorinterpolatie tussen de uiterste toestanden `ongescheurd' en`geheel gescheurd' (EC2; vgl. (7.18)):cs= cs,II+ (1 ? ) cs,I= (0,993 ? 1,80 + (1 ? 0,993) ? 1,13) ? 10?3cs= 1,80 ? 10?3csMet een vrije krimpvervorming cs= 415 ? 10-6volgt eenbijdrage aan de kromming cs= 0,75 ? 10-6mm-1.De totale kromming is de som van de kromming uit uitwen-dige belasting (qp) en de kromming uit krimp (cs):tot= qp+ cs= 8,25 ? 10?6+ 0,75 ? 10?6= 9,00 ? 10?6mm?1Bij een gelijkmatig verdeelde belasting is de doorbuiging in hetmidden van de overspanning van de gescheurde ligger bijbenadering gelijk aan:u* =5____384ql4___EI=5____3848Mmaxl2______EI=5___48maxl2waarin:EI = EIII+ (1 ? ) EIIDe kromming ten gevolge van de uitwendige belasting MEqpis:qp= II+ (1 ? ) I= (0,993 . 8,26 + (1 ? 0,993) . 6,37) . 10?6= 8,25 . 10?6mm?1De bijdrage aan de kromming door krimp wordt afzonderlijkin rekening gebracht (EC2; vgl. (7.21)):cs=1__rcs= cseS__IOpmerkingIn deze berekening wordt verondersteld dat het betonstaal dekrimpvervorming van het beton geheel meemaakt. Bij eenverkorting van het betonstaal wordt dan in het betonstaal eendrukkracht opgebouwd. Deze kracht wordt vervolgens `losgela-ten' op de doorsnede. Uit de ligging van het betonstaal in dedoorsnede volgt uit `kracht maal arm' (bij een excentrischeligging) een buigend moment. Dit buigend moment wordt opde ongescheurd en op de gescheurd veronderstelde gewapend-betondoorsnede aangebracht. Met de uitdrukking worden dehierdoor veroorzaakte krommingen berekend. Uit een interpo-latie tussen het `ongescheurde' en het `gescheurde stadium' volgteen gemiddelde kromming.De vrije krimpvervorming cs= 415 ? 10-6; e= Es/Ec,eff=18,2.S is het lineaire oppervlaktemoment van de wapening tenopzichte van de zwaartelijn van de doorsnede; I is het kwadrati-sche oppervlaktemoment van de gehele doorsnede, dus van hetbeton en het staal.Ongescheurd stadiumAls de invloed van het betonstaal niet in rekening wordtgebracht, bevindt de zwaartelijn zich in het zwaartepunt van debetondoorsnede:SI= As (d ?1__2h)II=1___12bh3Waarin in IIde invloed van het betonstaal weer buitenbeschouwing is gelaten.Gescheurd stadiumNu bevindt de zwaartelijn van de doorsnede zich ter hoogtevan de neutrale lijn (onderkant van de betondrukzone; zie ookfiguur 2):SII= As(d ? x)3 Statisch bepaalde ligger: Schematischeweergave van de momentenlijn, het ver-loop van de buigstijfheid en de krommingvoor enkele verhoudingen Mmax/ Mcr2Doorbuiging 12010 89MmaxMmax < McrMmax = 1,3 Mcr(EI)I(EI)IMcrMmaxMcr(EI)IMK =(EI)IM K(EI)IMMmax >> Mcr(EI)IMmaxMcr(EI)IMK(EI)IMDe gehele berekening opnieuw uitvoeren voor MEqp=500 ? 106Nmm bij een ongewijzigde Mcr= 118 ? 106Nmm geeftmax= 4,85 ? 10-6mm-1. De langeduur doorbuiging van de liggeru* = 50,5 mm = l/198.De invloed van de tension stiffening komt duidelijker naarvoren als het moment MEqpbeperkt groter is dan Mcr. Dit zalmet name optreden bij een relatief lage wapeningsverhouding:De verhouding tussen het moment in het gebruiksstadium enhet scheurmoment neemt dan af, hetgeen een grote invloedheeft op de variabele die, in combinatie met , bepaalt waarde `gemiddelde' toestand tussen de `ongescheurde' en de`gescheurde' toestand is gelegen.Zo is bijvoorbeeld voor As= 1500 mm2( = 0,0046) enMEqp= 200 ? 106Nmm bij een onveranderdeMcr= 118 ? 106Nmm = 0,83. Met (EI)I= 157 ? 1012Nmm2en(EI)II= 75 ? 1012Nmm2volgt via I= 1,27 ? 10-6mm-1enII= 2,67 ? 10-6mm-1een qp= 2,42 ? 10-6mm-1voor dekromming door het moment in het gebruiksstadium.Voor de krimpvervorming is cs,I= 0,24 ? 10-6mm-1encs,II= 0,72 ? 10-6mm-1en is cs= 0,63 ? 10-6mm-1.De totale kromming is dan max= 2,42 ? 10-6+ 0,63 ? 10-6=3,05 ? 10-6mm-1en de langeduur doorbuiging van de liggeru* = 31,8 mm = l/314.In voorgaande berekeningen is de doorbuiging berekend doorervan uit te gaan dat de ligger een over de gehele lengteconstante buigstijfheid heeft, gelijk aan de `gewogen' buigstijf-heid van de middendoorsnede. Voor het bepalen van dezebuigstijfheid is uitgegaan van het grootste moment (hetmoment in de middendoorsnede van de overspanning). Dit is,zoals eerder vermeld, een conservatieve aanname aangezien (1)OpmerkingVoorgaande uitdrukking voor de optredende doorbuiging inhet midden van de overspanning geeft een bovengrens voor dedoorbuiging die zal optreden. Immers, de middendoorsnedevan de ligger heeft de grootste verhouding = M/Mcren dus degeringste tension stiffening en, als gevolg daarvan, de kleinste`gewogen' buigstijfheid. Tevens zullen delen van de ligger onge-scheurd zijn, waardoor hier gerekend zou mogen worden metde ongescheurde buigstijfheid. Het integreren van de krom-mingen over de ligger geeft dan de doorbuiging. Echter, omdatde doorsneden in het midden van de overspanning veruit degrootste bijdrage leveren aan de doorbuiging, wordt de werke-lijke doorbuiging meestal voldoende nauwkeurig benaderd metdeze eenvoudige uitdrukking voor u*. Een analytische oplos-sing of een nauwkeurige berekening waarin de ligger wordtopgedeeld in `mootjes' met elk een eigen moment en krom-ming, kan uiteraard ook worden uitgevoerd. Het is mogelijkdat deze extra rekeninspanning in bepaalde situaties lonend is.Met name als het grootste moment beperkt groter is dan hetscheurmoment kan deze extra rekeninspanning lonend zijn. Infiguur 3 zijn ter illustratie enkele voorbeelden getoond van hetschematische verloop van de buigstijfheid en de krommingover de lengte-as van de ligger. Dit is gedaan voor enkeleverhoudingen Mmax/ Mcr.Als eenvoudig wordt gerekend op basis van de grootste krom-ming, de kromming in het midden van de overspanning, volgt:max= tot=9,00 ? 10-6mm-1Met de overspanning l = 10 ? 103mm volgt voor de langeduurdoorbuiging van de ligger u* = 93,8 mm = l/107.3Doorbuiging1201090x = 0uMmaxM (x)x = - l12 x = + l12x44 Doorbuigingsverloop, ori-entatie x-as en momenten-lijn ten behoeve van deanalytische oplossing5 Rechthoekige doorsnede uit het rekenvoor-beeld met een wapeningsverhouding =0,91%. Geschaalde doorbuiging (u / uI) enrelatieve lengte van de gescheurde ligger-delen (1= x1/l ) als functie van het belas-tingsniveau ( = Mmax/Mcr= MEqp/Mcr)u = x=0x=x1x=0x=x1(1 ? ( Mcr_____M(x))2)M(x)_____EIIIxx + x=0x=x1x=ox=x1 ( Mcr_____M(x))2M(x)_____EIIxx +x=x1x=1/2lx=x1x=1/2lM(x)_____EIIxxParameteriseren via = x/l en de uitdrukking voor M(x) substitueren levert:u = =0=1=0=1Mmax(1 ? 42 )___________EIIIl2 ? ( 1___EIII?1___EII) =0=1=0=1M2cr___________Mmax(1 ? 42 )l2 +=1=1/2l=1=1/2lMmax(1 ? 42)___________EIIl2waarin:1= x1/lVerder uitwerken levert als eindresultaat:u =5___48Mmaxl2______EII(1 + (c ? 1) [48___5(1__212?1__314)?6___52(c ? 1){(1 ? 21) ln (1 ? 21) + (1 + 21) ln (1 + 21)}])waarin:c = EII/ EIIIen = Mmax/McrDe ligging van de doorsnede waarin het scheurmoment wordt bereikt, wordtgevonden uit:Mmax(1 ? 412) = McrDus geldt:1=1__2 _____ ? 1_____Met de uitdrukking voor de doorbuiging in het midden van de overspanningkan voor een specifieke wapeningsverhouding worden onderzocht hoe groothet verschil is tussen de bovengrensbenadering (u*) en de exacte oplossing (u).gedeelten van de ligger ongescheurd zullen zijn en (2) alle andere gescheurdedoorsneden onderworpen zijn aan een moment kleiner dan het moment inde middendoorsnede waardoor zij een relatief grotere tension stiffeningondervinden en dus een grotere `gewogen' buigstijfheid bezitten.Voor de hier besproken ligger kan de doorbuiging nog relatief eenvoudiganalytisch worden beschreven. Uitgegaan wordt van het assenstelsel weerge-geven in figuur 4. De positie van de oorsprong van het assenstelsel is metopzet zodanig gekozen dat het gelegen is in een punt waar geen hoekver-draaiing optreedt.De doorbuiging in het midden van de overspanning is:u = x=0x=1/2lx=0x=1/2l(x)xx = x=0x=1/2lx=0x=1/2lM(x)_____EI(x)xxwaarin:M(x) = Mmax (1 ?2x___l)2voor M(x) < Mcr:EI(x) = EIIvoor M(x) > Mcr:EI(x) = (x) EIII+ (1 ? (x) ) EIImet: (x) = 1 ? ( Mcr_____M(x))2In deze berekening wordt in feite afgeleid hoeveel de rechter oplegging hogeris gelegen dan de middendoorsnede van de ligger. Dit is hetzelfde als hetberekenen van de doorbuiging ten opzichte van de opleggingen.De doorbuiging is:u = x=0x=x1x=0x=x1M(x)_____EI(x)xx + x=x1x=1/2lx=x1x=1/2lM(x)_____EIIxxDoorbuiging 12010 911,41,210,80,60,40,200 1 2 3 4 = Mmax/ Mcr5 6 7 8u/ul1u/u,en1=15Dan is voor c = EII/ EIII= 1,30 de `gewogen' stijfheid in demiddendoorsnede:EI = EIII+ (1 ? ) EII= (0,875 + 0,125 ? 1,30) EIII= 1,04EIIIVoor de middendoorsnede is het verschil tussen `gewogen'buigstijfheid en de gescheurde buigstijfheid dus slechts 4%. Debovengrensbenadering van de doorbuiging levert dan:u* =5___48MEqpl2_____EI=5___48MEqpl2_______1,04EIII=5___48MEqpl2____________1,04 ? EII/1,30=5___481,25MEqpl2_________EII= 1,25uIDe analytische oplossing (fig. 5) geeft u = 1,158 uI. Het verschiltussen de bovengrensbenadering en deze oplossing komt voortuit twee eerder genoemde invloeden:? ongescheurde liggerdelen;? het onderschatten van de tension stiffening door de midden-doorsnede als bepalend voor de invloed van de tension stif-fening te veronderstellen.Voor = 0 is de invloed van de tension stiffening uitgeschakelden is gevonden u = 1,165 uI. Een bovengrensberekening voorde middendoorsnede levert dan u* = 1,30uI. Het verschil tussendeze resultaten komt voort uit de invloed van de ongescheurdeliggerdelen.Als = 1 is de invloed van de tension stiffening maximaal en is = 0,75. Dan is de `gewogen' buigstijfheid EI = 1,075EIIIen isu* = 1,21uI.Tabel 1 geeft een overzicht van de resultaten verkregen voor = 2.OpmerkingDe voorgaande uitwerkingen maken het mogelijk een verande-ring in de variabelen eenvoudig door te voeren. Er wordtnadrukkelijk op gewezen dat de resultaten van de berekeningensterk afhankelijk kunnen zijn van de gekozen invoergegevens.De vermelde resultaten zijn dus zeker niet algemeen geldig; zijzijn alleen opgenomen om de rekenmethodiek te illustreren. In figuur 5 is voor de ligger uit het rekenvoorbeeld met As=2945 mm2(wapeningsverhouding 0,91%) de doorbuiging inhet midden van de overspanning u /uIuitgezet als functie van. Hierin is:uI=5___48Mmaxl2______EII=5___48MEqpl2_____EIIUitgegaan is van = 0,5 voor het beschrijven van de tensionstiffening.Voor de betreffende ligger zijn de buigstijfheden reeds bekenden kan worden berekend dat de verhouding van de buigstijfhe-den c = EII/ EIII= 1,57/1,21 = 1,30. Dit betekent dat de verhou-ding tussen de doorbuigingen in het midden van de overspan-ning u en uImaximaal gelijk zal zijn aan 1,30 (horizontaleasymptoot u/uI= 1,30 in fig. 5). Immers, een bovengrens voorde doorbuiging wordt gevonden door uit te gaan van degescheurde buigstijfheid, dus zonder rekening te houden mettension stiffening. Een toename van betekent een toenamevan MEqp/Mcr, hetgeen een relatieve afname van de invloed vantension stiffening tot gevolg heeft.Als = MEqp/Mcrnadert tot 1, nadert 1tot 0,5 (horizontaleasymptoot in fig. 5) en wordt de doorbuiging u gelijk aan dedoorbuiging die optreedt bij een geheel ongescheurde ligger:u = uI=5___48MEqpl2_____EIIDe invloed van de tension stiffening wordt nu nader bekekenvoor = 2.Voor = 0,5 (fig. 5) is u = 1,158 uI. Als = 0 is de invloed van detension stiffening uitgeschakeld en is u = 1,165 uI. Een andereuiterste situatie wordt bereikt voor = 1. Dan is de invloed vande tension stiffening zo groot als mogelijk en is u = 1,150 uI.De invloed van de tension stiffening is in dit voorbeeld relatiefgering. Immers, voor = MEqp/Mcr= 2 voor de middendoor-snede en = 0,5 is in de middendoorsnede: = 1 ? (Mcr____MEqp)2= 0,875Tabel 1 Doorbuiging van de middendoorsnede u in verhouding totde doorbuiging bij een geheel ongescheurd veronderstelde ligger(met een rechthoekige doorsnede met = 0,91%) uI; verschil tussenexacte oplossing en bovengrensbenadering voor = MEqp/Mcr= 2voor diverse waarden voor de tension stiffening parameter .tension stiffening parameter 0 0,5 1bovengrensbenadering 1,3 1,25 1,21analytische oplossing 1,165 1,158 1,15verschil 12% 8% 5%