Stabiliteit ongeschoorde elementen1 22011 | onlineextra onlineStabiliteitongeschoordeelementenIn een voorgaand artikel over stabiliteit in Eurocode 2 [1] isingegaan op het toetsen van geschoorde en ongeschoordeelementen. Daarbij is aangegeven waarom de NederlandseNationale Bijlage enkele onderdelen uit de Eurocode niethanteert en alternatieven aanreikt. Ook is ingegaan op deknikbelasting van een verend ingeklemd ongeschoordelement. In de in december 2010 verschenen conceptversievan de Nationale Bijlage is de formule voor de bepaling vandeze knikbelasting aangepast. In dit artikel wordt ingegaanop de achtergronden van die aanpassing.Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2Bij het toetsen van de stabiliteit biedt NEN-EN 1992-1-1 demogelijkheid te toetsen of voor een gebouw een tweede-orde-berekening moet worden uitgevoerd. Zo'n berekening kanachterwege worden gelaten als het tweede-orde-effect kleiner isdan 10% van het eerste-orde-effect. Echter, vergelijking 5.18,waarin dit is beschreven, is in de Nationale Bijlage zodanigaangepast dat hij hiervoor niet bruikbaar is. De achtergrondenhiervoor zijn beschreven in [1]. Dan resteert vergelijking H.1 inbijlage H. Hierbij is gesteld dat de tweede-orde-effecten mogenzijn verwaarloosd indien:Stabiliteit ongeschoorde elementen 222011 | onlineLEIEI1 Schorend element met puntlast aan detop, zoals bij 1 bouwlaag (links) en metgelijkmatig verdeelde verticale belasting, zoals bij een groot aantal bouwlagen (rechts)FV,Ed 0,1 FV,BB(1)waarin:FV,Edis de totale verticale belasting op geschoorde enongeschoorde elementen;FV,BBis de nominale knikbelasting voor algemene buigingIn de uitdrukking verwijst het subscript BB naar kniklast (B =buckling) op basis van vervormingen waarin buiging (B) over-heerst. De grootte van de nominale knikbelasting van eenelement kan worden bepaald uit vergelijking H.2 en H.4:FV,BB = 7,8ns_______ns + 1,61_______1 + 0,7kEI__L2(2)Hierin is k de verhouding tussen de buigstijfheden van hetschorend element en de stijfheid van de gedeeltelijke inklem-ming (NEN-EN 1992-1-1 vgl. (H.5):k =EI/L____M/(3)EI is de buigstijfheid van het schorende element. Zoals in [1] isbeschreven moet deze buigstijfheid worden bepaald volgenstabel 15 van NEN 6720. Deze tabel is als tabel NB1 in deontwerp Nationale Bijlage bij NEN-EN 1992-1-1:2010 reedsovergenomen. Deze ontwerp Nationale Bijlage is deel van wijzi-gingsblad A11 bij NEN-EN 1992-1-1 [4] dat in december 2010is uitgebracht. Er wordt op gewezen dat uitdrukking 3 deinverse geeft van de uit NEN 6720 bekende stijfheidsverhou-ding (NEN 6720 art. 7.7.2.2): =CL___EI=M/____EI/L=1__k(4)NEN-EN 1992-1-1 stelt voor, bij het ontbreken van een nauw-keuriger bepaling, bij een gescheurde doorsnede te rekenenmet 40% van de ongescheurde buigstijfheid. Het ligt voor dehand hiervan af te zien en de Efuit NEN 6720 toe te passen.In het geval van een oneindig stijve inklemming is k = 0. MetEI = 0,4 EcdIczoals voorgesteld door NEN-EN 1992-1-1, volgt:FV,BB = 7,8ns_______ns + 1,61_____1 + 00,4EcdIc______L2= 3,1ns_______ns + 1,6EcdIc____L2(5)Nu is uitdrukking 2 overgegaan in vergelijking 5.18 uitNEN-EN 1992-1-1 als daarin k1= 0,31 wordt gebruikt.De vraag kan worden gesteld of NEN-EN 1992-1-1 bijlage Hhet mogelijk maakt op correcte wijze de invloed van de gedeel-telijke inklemming in rekening te brengen.Alvorens antwoord te geven op deze vraag, moet nog een aspectworden beschouwd, namelijk de invloed van de verdeling vande verticale belasting over het schorende element. Uit detheorie is bekend dat de kniklengte van een aan de top belast,onderaan oneindig stijf ingeklemd element, l0= 2L is (fig. 1). Bijeen over de hoogte gelijkmatig verdeelde verticale belasting isde kniklengte l0= 1,12L (fig. 1). Tussengelegen situaties zijn metde theorie, zie bijvoorbeeld Dicke [2], te analyseren.Door Dicke is ook aangegeven hoe de invloed van deze belasting-verdeling kan worden gecombineerd met de invloed van eengedeeltelijke inklemming aan de voet van het schorende element.In NEN 6720 is ervoor gekozen de kniklengte te bepalen doorlineair te interpoleren tussen de waarden die worden gevondenbij 1 tot en met 5 bouwlagen. Voor 5 bouwlagen en meer magworden uitgegaan van een gelijkmatig verdeelde verticale belas-ting.NEN-EN 1992-1-1 neemt het aspect van de belastingverdelingover de hoogte ook mee en wel door de component (zie vgl. 2en 5):ns_______ns + 1,6(6)Om de vraag te beantwoorden of NEN-EN 1992-1-1 bijlage Hgeschikt is voor het berekenen van de knikbelasting van eenverend ingeklemd element, zijn in een theoretisch onderzoek deresultaten volgens bijlage H vergeleken met die volgens de theorievan Dicke en een geometrisch niet-lineair raamwerkwerkpro-gramma. De resultaten hiervan worden hierna besproken.ir. Simon WijteAdviesbureau ir. J.G. Hageman BVdr.ir.drs. Ren? BraamTU Delft, fac. CiTG / Adviesbureauir. J.G. Hageman BV1Stabiliteit ongeschoorde elementen3 22011 | onlineextra online0,0000,2000,4000,6000,8001,0001,2001,4000 1 2 3 4 5 = 1 = 1/2 = 1/4 = 1/8FV,BB/(EI/L2)aantal bouwlagen [-]EIk=EI = kEIk = +Oneindig stijve inklemming aan de voetBij een oneindig stijve inklemming aan de voet, is = dus k =0. De uitdrukking volgens NEN-EN 1992-1-1 is dan (zie vgl. 2):FV,BB = 7,8ns_______ns + 1,6EI__L2(8)Het verschil tussen de theorie van Dicke en NEN-EN 1992-1-1bijlage H is opgenomen in tabel 1 en figuur 4. Uit de resultatenblijkt dat de uitkomsten relatief geringe verschillen vertonen.De benaderingsregel waarmee NEN-EN 1992-1-1 de invloedvan de verdeling van de belasting over de hoogte van hetelement in rekening brengt, is dus adequaat.Verticaal gelijkmatig verdeeld belast element,verend ingeklemdHet verschil tussen de theorie van Dicke en NEN-EN 1992-1-1wordt voor dit element zichtbaar gemaakt door uitkomstenvolgens de betreffende uitdrukkingen te vergelijken:Dicke (vgl. 7 met = 1 / k):FV,BB = 7,83________ + 3,915EI__L2= 7,831_________3,915k + 1EI__L2(9)NEN-EN 1992-1-1 (vgl. 2 voor ns= ):FV,BB = 7,81_______1 + 0,7kEI__L2(10)De invloed van de verende inklemming in de formules wordtdus bepaald door de volgende factoren:factorDicke =1_________3,915k + 1(11)factorEC2 =1_______0,7k + 1(12)Theorie van DickeIn de theorie van Dicke wordt de uitbuiging van een verendingeklemd element berekend als de sommatie van de uitbui-ging van een verend ingeklemd oneindig stijf element en deuitbuiging van een oneindig stijf ingeklemd element met eeneindige buigstijfheid (fig. 2) [2]. De theorie geeft de volgenderesultaten voor de grootte van de knikbelasting (fig. 3):puntlast aan de top:FV,BB=3_____ + 3EI__L2twee puntlasten:FV,BB=32_______7 + 24EI__L2drie puntlasten:FV,BB=27_______5 + 18EI__L2vier puntlasten:FV,BB=256_________45 + 160EI__L2gelijkmatig verdeelde belasting:FV,BB=7,83________ + 3,915EI__L2(7)Tabel 1 Knikbelasting van een aan de voet oneindig stijf ingeklemd elementaantal bouwlagen theorie Dicke NEN-EN 1992-1-11234oneindig332/7 = 4,575,4256/45 = 5,697,8334,335,095,577,82 Het knikgedrag van eenschorend element metverende inklemminggeschematiseerd tot hetgedrag van een seriesysteem met een oneindigstijf verend ingeklemd element en een oneindig stijfingeklemd element [2]3 Invloed van het aantalbouwlagen op de groottevan de knikbelasting vaneen verend ingeklemdschorend element( = CL/EI = 1/k) [2]2 3Stabiliteit ongeschoorde elementen 422011 | online0,00,20,40,60,81,01,20,001 0,01 0,1 1 10 100 1000Dicke (vgl. 11)EC2 (vgl. 12)factork100,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,02 3 4 5k6LM11aantal verdiepingen:ns = 10ns = 2-4ns = 1L=30meoqh=50kN/mqv = 400 kN/mqh L = 1500 kNe = 0qvL= 12 MNC =0,533?10 kNmEI = 16?10 kNm4 Invloed van de verende inklemming op de knikbelasting vaneen element met gelijkmatigverdeelde verticale belasting(factor = knikbelasting bijverende inklemming / knikbelasting bij oneindig stijveinklemming)5 Schema voor beschouwdschorend element6 Beschrijving van de invloed vank, de relatieve flexibiliteit van deverende inklemming, voor eenaantal bouwlagen ns, op deknikbelasting. De curve volgens1= 1 / (0,7k + 1) bij een oneindig groot aantal bouwlagen nsis gestreept weergegevenKnikbelasting van het oneindig stijf ingeklemd verondersteldeelement:Qk,EI = 7,83EI__L2= 7,8316 . 106______302= 139,2 . 103kNKnikbelasting van het oneindig stijf veronderstelde verendingeklemde element:Qk,C = 2C__L= 20,533 . 106_________30= 35,5 . 103kNKnikbelasting van het element:Qk =1_________1____Qk C+1____Qk E=1______________1_____35 500+1______139 200= 28,3 . 103kNn =Qk___qvL=28,3 . 103________12 . 103= 2,358De verschillen tussen beide uitdrukkingen zijn weergegeven infiguur 4. Uit de figuur blijkt dat er bij k-waarden tussen 0,01 en100 een groot verschil aanwezig is tussen de formule uitNEN-EN 1992-1-1 (vgl. 10) en de formule van Dicke (vgl. 9).Achtergronden over de methode volgens NEN-EN 1992-1-1zijn beschreven in [3]. Volgens Westerberg is vergelijking 10een benadering die gevonden is door te kalibreren aan de resul-taten van een aantal numerieke berekeningen die voorconstructies met een verschillend aantal bouwlagen zijn uitge-voerd (fig. 6).Volgens [3] (vgl. 10) is de kniklast bij k = 1 gelijk aan 0,59 maalde knikbelasting bij een volledig stijve inklemming (fig. 6).Volgens de theorie van Dicke is bij k = 1 de knikbelasting nogmaar gelijk aan 0,16 maal die bij een volledig stijve inklemming(vgl. 9). Dit grote verschil in gevonden knikbelasting is aanlei-ding de resultaten te toetsen.Beoordeling van de uitdrukkingenHierna is deze situatie beoordeeld met de formules van Dickeen een raamwerkprogramma waarbij de krachtsverdelinggeometrisch niet-lineair en fysisch lineair is bepaald:Gegevens (fig. 5):L = 30 mqv= 400 kN/mqh= 50 kN/mEI = 16 ? 106kNm?C = 0,533 ? 106kNmBepaling van de grootte van het tweede-orde inklemmingsmo-ment volgens de formule van Dicke.Relatieve flexibiliteit van de inklemming:k =EI___CL=16 . 106____________0,533 . 106. 30= 14 56Stabiliteit ongeschoorde elementen5 22011 | onlineextra online0,00,20,40,60,81,00 2 4 6 8 10vgl. 11vgl. 12tabel 2factorkHieruit is ook een grootte van de knikbelasting af te leiden:n =Mt_______Mt ? M0=37 920______________37 920 ? 22 500= 2,46Zodat voor de knikbelasting wordt gevonden:Qk= n qvL = 2,46 ? 400 ? 30 = 29 520 kNBerekeningen zoals hiervoor beschreven zijn met behulp vanhet raamwerkprogramma voor verschillende waarden van kgemaakt. De resultaten zijn in tabel 2 opgenomen. De `factor'in de rechter kolom geeft de vermenigvuldigingsfactor diemoet worden toegepast op een oneindig stijf ingeklemd veron-derstelde constructie, k = 0, om de invloed op de knikbelastingvan de rotatieveer onderin mee te nemen.Overeenkomstig figuur 6 zijn de resultaten van uitdrukkingen 11en 12 en de resultaten uit tabel 2 grafisch weergegeven (fig. 7).ConclusiesOp basis van een vergelijking met analytische formules en eenvergelijking met numeriek bepaalde waarden, moet wordengeconcludeerd dat vergelijking 10 de invloed van de verendeinklemming op de grootte van de knikbelasting onderschat.Daarom is aanbevolen de formule aan te passen.Op basis van het voorgaande is voorgesteld de formule voor hetbepalen van de kniklast als volgt aan te passen:Vergrotingsfactor:n_____n ? 1= 1,73Eerste-orde buigend moment aan de voet:M0= 0,5 qhL? = 0,5 ? 50 ? 30? = 22 500 kNmEerste- plus tweede-orde buigend moment aan de voet:Mt=n_____n ? 1M0= 1,73 ? 22 500 = 38 925 kNmDe reductie van de kniklast door verende inklemming isvolgens Dicke in de beschouwde situatie gelijk aan:Qk____Qk E=28,3_____139,2= 0,203 hetgeen een reductie van de knikbelastingmet circa 80% betekent.Ook met het raamwerkprogramma is door middel van eengeometrisch niet-lineaire berekening het tweede-orde momentbepaald. Het resultaat van deze berekening is dat het totalemoment gelijk is aan:Mt= 37 920 kNmTabel 2 Berekeningsresultaten geometrisch nietlineaire berekeningenk EI[kNm?]L[m]C[kNm]Mt[kNm]M0[kNm]n Qk[kN]qvL[kN]factor0 16 ? 10630 24 164 22 500 14,522 174 260 12 000 1,0000,1 16 ? 10630 5333 ? 10325 073 22 500 9,745 116 936 12 000 0,6710,5 16 ? 10630 1067 ? 10329 514 22 500 4,208 50 494 12 000 0,2901 16 ? 10630 533 ? 10337 920 22 500 2,459 29 510 12 000 0,1695 16 ? 10630 107 ? 10392 167 11 250 1,139 6 834 6 000 0,03910 16 ? 10630 53,3 ? 10370 706 11 250 1,189 3 568 3 000 0,0207Stabiliteit ongeschoorde elementen 622011 | online0,00,20,40,60,81,01,20,001 0,01 0,1 1 10 100 1000Dicke (vgl. 17)EC2 (vgl. 18factork7 Vergelijking tussen uitdrukkingen 11 (Dicke)en 12 (NENEN 199211) en de resultatenuit tabel 28 Vergelijking tussen factoren voor de invloedvan een nietoneindig stijve inklemmingvoor een kern over twee bouwlagen; NENEN 199211`gecorrigeerd'(vgl. 18) en Dicke(vgl. 17)overeenkomt. De voorgestelde aanpassing van de vergelijkingvoor de knikbelasting leidt dus tot betrouwbare resultaten.Hieruit kan worden afgeleid dat formule H.4 in bijlage H vanNEN-EN 1992-1-1 als volgt kan worden aangepast: = 7,8ns_______ns + 1,61_______3,9k + 1(19)Deze aanpassing is opgenomen in de ontwerp Nationale Bijlagebij NEN-EN 1992-1-1 die onderdeel uitmaakt van het ontwerpwijzigingsblad A11 bij NEN-EN 1992-1-1 [4].Resum?NEN-EN 1992-1-1 maakt het mogelijk de knikbelasting vaneen aan de voet verend ingeklemd schorend element te bereke-nen. De wijze waarop de invloed van het aantal bouwlagen isverwerkt, komt overeen met theoretische resultaten. Deinvloed van de verende inklemming blijkt echter te wordenonderschat. Daarom is een voorstel voor een aanpassinggedaan die in de ontwerp Nationale Bijlage bij NEN-EN 1992-1-1 is overgenomen. FV,BB = 7,8ns_______ns + 1,61_______3,9k + 1EI__L2(13)Voor een oneindig aantal bouwlagen komt dit overeen met:FV,BB = 7,81_______3,9k + 1EI__L2(14)Dit strookt geheel met uitdrukking 9 die door Dicke voor diesituatie is afgeleid.Voor twee bouwlagen komt uitdrukking 13 overeen met:FV,BB =13________11,7k + 3EI__L2(15)Voor deze situatie stelt Dicke:FV,BB =32 _______7 + 24EI__L2=32_______24k + 7EI__L2(16)De invloed van de verende inklemming in de formules wordtdus bepaald door de volgende factoren:factorDicke=7_______24k + 7(17)factorEC2=3________11,7k + 7(18)In figuur 8 zijn deze factoren uitgezet tegen k.Uit deze figuur blijkt dat de invloed van de rotatieveerstijfheid,na de voorgestelde aanpassing, ook bij twee bouwlagen goed8 LiteRatuuR1 Wijte, S.N.M. & Braam, C.R., Het ontwerpen en berekenen van betonconstructies met Eurocode 2 (9) ? Stabiliteit.Cement 2008/5.2 Dicke, D., Stabiliteit voor ontwerpers.Delftse Uitgevers Maatschappij, 2edruk, 1994.3 Westerberg, B., Second order effects? Supporting Document for Section58.8, 5.9 and Annex D of EN 19921,November 2001.4 NEN, Ontw. A11 2010 bij NENEN 199211_2005_NB_2007, December 2010.
Reacties