42
Bedrijfsvloeren
berekend
1
Achtergronden berekening Floor 3.0
van elastisch ondersteunde,
gewapende betonplaat
In een betonvloer met een grote voegloze lengte ontstaan grote
trekkrachten door verhinderde vervorming bij afkoeling en op
termijn ook door krimp. Door voldoende wapening op de
juiste plaats in de vloer aan te brengen, kan de optredende
scheurvorming worden beheerst. Onder 'beheerste scheurvorming'
wordt in dit verband verstaan dat scheuren op regelmatige
afstanden optreden met een scheurwijdte die voldoet aan het
scheurwijdtecriterium bij een bepaalde milieuklasse. In dit
artikel zal de berekening van de optredende krachten in de
wapening en de daarbij optredende scheurafstand en scheurwijdte
worden toegelicht.
Verhindering opgelegde vervorming door
grondwrijving
Vervormingen kunnen ontstaan door verandering van de
betontemperatuur als gevolg van hydratatiewarmte en klimaat
(verwarming in binnenmilieu, zon, regen, vorst) en op termijn
ook door optredende krimp van het beton. Deze opgelegde
vervormingen veroorzaken spanningen in de betonplaat omdat
de vervorming gedeeltelijk wordt verhinderd door de wrijving
tussen de plaat en de ondergrond.
Voor het dimensioneren van bedrijfsvloeren en
verhardingen van ongewapend beton en staal -
vezelbeton wordt in Nederland al sinds vele jaren
gebruikgemaakt van het rekenprogramma Floor.
Met de onlangs verschenen versie 3.0 van dit
programma kunnen ook gewapende betonvloeren
en verhardingen worden berekend. Dit artikel
gaat in hoofdlijnen in op de achtergronden van de
berekening in Floor 3.0 van een elastisch
ondersteunde, gewapende betonplaat.
Het doel van wapening in een betonnen bedrijfsvloer, gestort
op een daarvoor geprepareerde ondergrond, is het verminde -
ren of zelfs geheel kunnen laten vervallen van voegen. In
distributiecentra met hoogbouwmagazijnen zijn voegloze en
supervlakke, gewapende betonnen monolietvloeren immers
vaak een vereiste (foto 1).Bedr 4 2016
43
De rek bij de optredende spanning wordt de spanninggevende rek
genoemd. Deze rek is afhankelijk van de graad van verhindering:
(1)
[Formule 1]
0 c Rc =
[Formule 2]
0c
0c 0
[Formule 4]
g g,max 2
bL N =
[Formule 5]
0c cr| |<
[Formule 6]
0c cr| |<
[Formule7]
0c
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
[Formule 10]
()
e cr c cr,0 1e 1 1
A N cc
= ++
[Formule 11]
23t 1 23 0t
l c Ll
??=???? ??
[Formule 12]
0 cc =
waarin:
?c? = spanninggevende betonrek [m/m], ?c? ? 0
?R = graad van verhindering [?], 0 ? ?R ? 1
[Formule 1]
0 c Rc =
[Formule 2]
0c
[Formule 3]
0c 0
[Formule 4]
g g,max 2
bL N =
[Formule 5]
0c cr| |<
[Formule 6]
0c cr| |<
[Formule7]
0c
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
[Formule 10]
()
e cr c cr,0 1e 1 1
A N cc
= ++
[Formule 11]
23t 1 23 0t
l c Ll
??=???? ??
[Formule 12]
0 cc =
= opgelegde vervorming (temperatuurverandering,
krimp) [m/m],
[Formule 1]
0 c Rc =
[Formule 2]
0c
0c 0
[Formule 4]
g g,max 2
bL N =
[Formule 5]
0c cr| |<
[Formule 6]
0c cr| |<
[Formule7]
0c
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
[Formule 10]
()
e cr c cr,0 1e 1 1
A N cc
= ++
[Formule 11]
23t 1 23 0t
l c Ll
??=???? ??
[Formule 12]
0 cc =
Gegeven een betonplaat met voegloze lengte L. Bij afkoeling
van de plaat wil deze korter worden, wat gedeeltelijk wordt
verhinderd door de grondwrijving aan de onderzijde van de
plaat. Gevolg hiervan is dat er een trekkracht in de plaat
ontstaat. Dit is geschematiseerd weergegeven in (fig. 2).
Als de plaatlengte ( L) voldoende groot is, ontstaat er in het
midden van de plaat een gedeelte (lengte L0) waar de opgelegde
vervormingen volledig worden verhinderd ( ?R = 1). Dit
middendeel van de plaat wordt in beschouwing genomen voor
de berekening van de optredende scheurwijdte door opgelegde
vervormingen.
Toelichting:
Ng,max = maximaal door grondwrijving te mobiliseren trekkracht
[N]
Ng = door grondwrijving gemobiliseerde trekkracht [N]
Nc,0 = maximale normaalkracht in ongescheurde situatie [N]
?R = graad van verhindering van het beschouwde gedeelte
van de plaat [?]
L = lengte (voegloze) betonplaat [mm]
L0 = lengte van de beschouwde betonplaat met volledige
verhindering [mm]
Voor de denkbeeldige kracht door grondwrijving Ng,max, die in
het plaatmidden een maximale waarde bereikt, geldt:
[Formule 1]
0 c Rc =
[Formule 2]
0c
0c 0
[Formule 4]
g g,max 2
bL N =
[Formule 5]
0c cr| |<
[Formule 6]
0c cr| |<
[Formule7]
0c
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
(2)
waarin:
?g = schuifspanning beton ? ondergrond [N/mm 2]
b = breedte betonplaat [mm], b = 1000 mm
L = lengte (voegloze) betonplaat [mm]
Deze kracht zal in werkelijkheid niet groter worden dan de
maximale kracht Nc,0 die nodig is om de gewapende plaat te
laten scheuren. In (fig. 2) is de situatie weergegeven met de
krachten nét voor het ontstaan van de eerste scheur.
Beoordeling optreden scheurvorming
In het plaatdeel met lengte L0 is de opgelegde vervorming volledig
verhinderd ( ?R = 1). Hieruit volgt uit vergelijking 1 dat in dit
gedeelte van de plaat de spanninggevende betonrek in absolute
waarde gelijk is aan de opgelegde rek: 0 cc =| | [nummer 1]
0 0 c [nummer 2]
Voor de beoordeling of de opgelegde vervorming volledig wordt
verhinderd, wordt in eerste instantie uitgegaan van volledige
verhindering van de opgelegde krimp en temperatuurvervor -
ming, uitgedrukt in de normaalkracht Nc,s+T . Er is sprake van
volledige verhindering van de vervorming als de kracht Nc,s+T
kleiner of gelijk is aan de maximaal te mobiliseren kracht uit
grondwrijving Ng,max (fig. 3).
Op basis van de vergelijking van de grootte van Nc,s+T met Ng,max
wordt de maximale trekkracht bepaald: Ntrek,max . Als deze kracht
kleiner is dan de (opneembare) kracht bij scheuren Nc,0, dan is
de conclusie dat er geen scheurvorming zal optreden (zie
stroomschema, fig. 3).
In het geval dat de maximale trekkracht kleiner is dan de
kracht bij scheuren, wordt er vervolgens een zogenaamde
'Unity check' (UC) uitgevoerd op basis van de combinatie van
normaalkracht + buiging. De UC is de verhouding tussen de
optredende trekspanning en de treksterkte van het beton in de
beschouwde doorsnede. Als uit de UC blijkt dat er toch scheur -
vorming zal optreden (UC > 1), dan wordt nog onderzocht of
ir. Gustaaf Bouquet
ir. Henk Lamers
Ingenieursbureau Lamers (IbL)
1 Voegloze gewapende betonnen bedrijfsvloer foto: Van Berlo Bedrijfsvloeren B.V.2 Normaal(trek)krachten in een elastisch opgelegde betonplaat als gevolg van opgelegde verhinderde vervorming
Meer over Floor 3.0
Over de werking van Floor 3.0 is in Cement 2016/2 het artikel
'Rekenen aan betonvloeren' verschenen. Dit artikel is beschikbaar
op www.cementonline.nl . Meer informatie over het programma is
te vinden op www.sbrcurnet.nl/floor3.0 .
geen verplaatsing
Ngmax
Ng = Nc2o
L
L0
?g ?g
yR = 1 yR = 1
2Bedr 4 2016
44
3 Stroomschema berekening elastisch ondersteunde, gewapende betonplaat4 Voegloze gewapende betonplaat, belast door geconcentreerde (wiel)lasten ter plaatse van de scheur5 Optredende spanning in beton ( ?c,0) en het betonstaal ( ?s,0) in de ongescheurde fase ( ?c < ?cr) bij volledige verhindering van de opgelegde vervorming ( ?R = 1)
Voor de beoordeling van de bruikbaarheidsgrenstoestand
(BGT) wordt de scheurwijdte berekend ter plaatse van de
wapening, op basis van de meest ongunstige opgelegde ver-
vormingen. Omdat aan de bovenzijde van de plaat de grootste
opgelegde vervormingen optreden, wordt de wapening bij
voorkeur boven in de plaat aangebracht.
In de uiterste grenstoestand (UGT) wordt beoordeeld of de
gescheurde betonplaat de uitwendige belastingen, bijvoorbeeld
een wiellast, kan opnemen (fig. 4).
De doorgaande scheur in de betonplaat wordt beschouwd als
een verdeuvelde voeg waarbij lastoverdracht voor een belang -
rijk deel plaatsvindt door de deuvelwerking van de wapening.
Ook wordt een deel van de belasting gedragen door buiging
van de belaste plaat evenwijdig aan de scheur. De draagkracht
onder deze situatie wordt uitgedrukt in de 'belastingratio':
Md,pos / Mu. Bij waarden van deze ratio ? 1,0 kan de uitwendige
belasting ter plaatse van de scheur (fig. 4) worden opgenomen.
Plaat met verhindering van opgelegde vervorming
? ongescheurd
Bij het optreden van een opgelegde vervorming in de ongescheurde
fase
[Formule 1]
0 c Rc =
[Formule 2]
0c
0c 0
[Formule 4]
g g,max 2
bL N =
[Formule 5]
0c cr| |<
[Formule 6]
0c cr| |<
[Formule7]
0c
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
[Formule 10]
()
e cr c cr,0 1e 1 1
A N cc
= ++
[Formule 11]
23t 1 23 0t
l c Ll
??=???? ??
[Formule 12]
0 cc =
, onder de voorwaarde van volledige verhinde -
ring van vervorming ( ?R = 1), blijft de spanning in het betonstaal
nul (fig. 5).
Bij toename van de opgelegde rek
[Formule 1]
0 c Rc =
[Formule 2]
0c
0c 0
[Formule 4]
g g,max 2
bL N =
[Formule 5]
0c cr| |<
[Formule 6]
0c cr| |<
[Formule7]
0c
[Formule 8]
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
[Formule 10]
()
e cr c cr,0 1e 1 1
A N cc
= ++
[Formule 11]
23t 1 23 0t
l c Ll
??=???? ??
[Formule 12]
0 cc =
tot de rek bij scheuren van
het beton cr neemt de normaalkracht Nc toe tot de maximale
waarde Nc,0 juist voor het moment van scheuren:
(3)
[Formule 1]
0 c Rc =
[Formule 2]
0c
0c 0
[Formule 4]
g g,max 2
bL N =
[Formule 5]
0c cr| |<
[Formule 6]
0c cr| |<
[Formule7]
0c
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
[Formule 10]
()
e cr c cr,0 1e 1 1
A N cc
= ++
[Formule 11]
23t 1 23 0t
l c Ll
??=???? ??
[Formule 12]
0 cc =
waarin:
?cr = scheurspanning beton [N/mm 2], ?cr = 0,6 fctm,0
Ac = doorsnede betonplaat per meter breedte [mm 2/m]
? = wapeningsfractie [mm 2/mm 2], ? = As/Ac
?e = verhouding elasticiteitsmoduli staal/beton [MPa/Mpa],
?e = Es/Ecm
de beschouwde doorsnede geheel onder trek staat of dat er een
situatie is met een druk- en trekzone. In het laatste geval wordt
een evenwichtsberekening uitgevoerd.
In dit artikel wordt nader ingegaan op de veelvoorkomende
situatie waarbij een lange (voegloze) plaat, onder invloed van
opgelegde vervormingen, zal scheuren door een grote trekkracht
(stroomschema, fig. 3).
doorgaande scheur
enkele wapening
geconcentreerde(wiel)last
betonspanning: 0 ? ?c,0 < ?cr
opgelegde rek beton 0 ? | ?oc | < ?cr
staalspanning: ?s,0 = 0
?R = 1
L0
As
?R = 1
0 ? Nc < N c,0 0 ? Nc < N c,0
volledige verhindering Ntrek,max = Nc,s+T onvolledige verhindering Ntrek,max = Ng,max
Nc,s + T = Ncs + NcT
ja
ja
geen scheur door N-kracht:
UGT: unity-check met:N = N trek,max & M = Mbelasting
scheur door N-kracht: Ntrek,max = Nc,0 BGT: Ncr,? ?> Wtoets UGT: bel.ratio Md /Mu
ja
doorsnede evenwicht:N = N trek,max & M = Mbelasting BGT: Wtoets UGT: bel.ratio Md /Mu
ongescheurde betonplaat
unity-check ? 1,0
Ntrek,max ? Nc,0
Nc,s + T ? Ng, max
nee
nee
nee
3
4
5Bedr 4 2016
45
6 Aan de uiteinden ingeklemde betonplaat onder invloed van een opgelegde verhinderde vervorming (krimp, temperatuurverandering). Situatie na ont - staan van de eerste scheur
Toelichting:
Nc,0 = maximale normaalkracht in ongescheurde situatie [N]
Ncr,0 = normaalkracht na het ontstaan van de eerste scheur [N]
?c1,0 = betonspanning in zone 1 na het ontstaan van de eerste
scheur [N/mm 2]
?s1,0 = staalspanning in zone 1 na het ontstaan van de eerste
scheur [N/mm 2]
?s2,0 = staalspanning in zone 2 na het ontstaan van de eerste
scheur [N/mm 2]
lt = overdrachtslengte [mm]
Na het ontstaan van de eerste scheur wordt de kracht Ncr,0 in het
betonstaal aan weerzijden van de scheur aan het beton over -
gedragen over de overdrachtslengte lt. De plaat bestaat nu uit een
scheurzone met lengte 2 lt (zone 2) en verder uit ongescheurde
zones 1. In figuur 6 is het verloop van de optredende beton- en
staalspanningen in de ongescheurde zones 1 en de scheurzone 2
schematisch weergegeven. De lengte waarover de staalspanning
tot de waarde ?s2,0 toeneemt ter plaatse van de scheur is gesche -
matiseerd tot de equivalente lengte ? l t waarin de aanhechtspan -
ning nul is (zie onderste grafiek, fig. 6). De gesommeerde staal -
spanningen, ?s2,0 over de lengte ? l t en ? s1,0 over de lengte L - ? lt, ,
zijn nul om daarmee te voldoen aan de eerdergenoemde rand -
voorwaarde ?s = 0 bij volledige verhindering van de vervorming.
Bij volledige verhindering van de vervorming kan worden
afgeleid dat de grootte van de trekkracht na het optreden van
de eerste scheur gelijk is aan:
(4)
[Formule 1]
0 c Rc =
[Formule 2]
0c
0c 0
[Formule 4]
g g,max 2
bL N =
[Formule 5]
0c cr| |<
[Formule 6]
0c cr| |<
[Formule7]
0c
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
[Formule 10]
()
e cr c cr,0 1e 1 1
A N cc
= ++
[Formule 11]
23t 1 23 0t
l c Ll
??=???? ??
[Formule 12]
0 cc =
Met daarin de verhouding tussen de equivalente lengte van
de scheurzone ? l t en de gesommeerde lengte van de
ongescheurde zones:
(5)
[Formule 1]
0 c Rc =
[Formule 2]
0c
0c 0
[Formule 4]
g g,max 2
bL N =
[Formule 5]
0c cr| |<
[Formule 6]
0c cr| |<
[Formule7]
0c
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
[Formule 10]
()
e cr c cr,0 1e 1 1
A N cc
= ++
[Formule 11]
23t 1 23 0t
l c Ll
??=???? ??
[Formule 12]
0 cc =
waarin:
?e = verhouding elasticiteitsmoduli staal/beton [MPa/MPa],
?e = Es / Ecm
? = wapeningsfractie [mm 2/mm 2], ? = As / Ac
?cr = scheurspanning beton [N/mm 2], ?cr = 0,6 fctm,0
Ac = doorsnede betonplaat per meter plaat [mm 2/m]
c1 = verhouding tussen equivalente lengte gescheurde en
ongescheurde zone [mm/mm]
L0 = lengte van het beschouwde plaatdeel [mm]
lt = overdrachtslengte [mm], lt = Ø / 8? (Ø = diameter
betonstaal)
De maximale trekkracht Nc,0, nodig voor het ontstaan van een
scheur, is een functie van de scheurspanning van beton waar -
voor is uitgegaan van 60% van de gemiddelde 28-daagse
(axiale) korteduurtreksterkte van beton fctm,0 . In vergelijking 3 is
de relaxatie van spanningen buiten beschouwing gelaten omdat
ervan uit is gegaan dat de plaat door afkoeling vroegtijdig zal
scheuren. Dit is een realistische aanname als wordt bedacht dat
bij afkoeling aan het betonoppervlak al vrij snel de scheurrek in
het beton wordt overschreden.
Plaat met verhindering van opgelegde vervorming
? gescheurd
Als in de plaat, met volledige verhindering aan de uiteinden, de
opgelegde vervorming (in absolute waarde) gelijk wordt aan de
scheurrek in het beton
[Formule 1]
0 c Rc =
[Formule 2]
0c
0c 0
[Formule 4]
g g,max 2
bL N =
[Formule 5]
0c cr| |<
[Formule 6]
0c cr| |<
[Formule7]
0c
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
[Formule 10]
()
e cr c cr,0 1e 1 1
A N cc
= ++
[Formule 11]
23t 1 23 0t
l c Ll
??=???? ??
, dan bereikt de trekkracht in
de plaat de waarde Nc,0. Als de opgelegde rek dan nog een
fractie toeneemt, ontstaat de eerste scheur en zakt de normaal -
kracht naar de waarde Ncr,0, die lager is omdat de stijfheid van
de plaat door de eerste scheur is afgenomen (fig. 6).
geschematiseerde staalspanningen
betonspanningen
staalspanningen
zone 1 zone 2 zone 1
Nc,0
Ncr,0
As Nc,0
Ncr,0
L0
lt lt w
opgelegde rek beton | ?oc | < ?cr
? lt
?s1,0
?s1,0
?s1,0
?s2,0
?s2,0
6Bedr 4 2016
46
7 Gecombineerd kracht-rekdiagram en rek-scheurafstanddiagram, voor de situatie ?R = 1, dus:
[Formule 19]
3 -9s2
1 1 9 10 =
[Formule 20] 0 cc=
?c? = spanninggevende betonrek [m/m]
L = lengte betonplaat [mm]
s = gemiddelde scheurafstand [mm]
ncr = aantal scheuren [?]
Bij volledige verhindering van de vervorming is de resulterende
normaalkracht bij het bereiken van de maximale waarde van de
opgelegde vervorming
[Formule 8]
( ) c,0 cr c e 11 NA ?? ??
[Formule 9]
0c cr| |=
[Formule 10]
()
e cr c cr,0 1e 1 1
A N cc
= ++
[Formule 11]
23t 1 23 0t
l c Ll
??=???? ??
[Formule 12]
0 cc =
gelijk aan:
(6)
[Formule 13]
() es 0 cr , cr c cm 2
A NE c
= +
[Formule14]
0c
23t 2
1 1 sl c
?? =+ ????
[Formule 16]
()
()
e 0 cr c cm
2 e 0 cr c cm cr
E
c
E
?? + ?? ?? = ?? ++ ????
[Formule 17]
cr , s2 s
N
A =
[Formule 18]
toets m s eisww w =
[Formule 19]
3 -9s2
1
1 9 10 =
[Formule 20]
0 cc =
waarin:
?e = verhouding elasticiteitsmoduli staal/beton [MPa/MPa],
?e = Es/Ecm
As = oppervlak betonstaal per eenheidsbreedte [mm 2/m]
? = relaxatiecoëfficiënt [?]
[Formule 13]
() es 0 cr , cr c cm 2
A NE c
= +
[Formule14]
0c
[Formule 15]
23t 2
1 1 sl c
?? =+ ????
[Formule 16]
()
()
e 0 cr c cm
2 e 0 cr c cm cr
E
c
E
?? + ?? ?? = ?? ++ ????
[Formule 17]
cr , s2 s
N
A =
[Formule 18]
toets m s eisww w =
[Formule 19]
3 -9s2
1
1 9 10 =
[Formule 20]
0 cc =
= opgelegde rek ter hoogte van de neutrale lijn [m/m] ,
0 cc =| | [nummer 1]
0 0 c [nummer 2]
?cr = scheurspanning beton [N/mm 2], ?cr = 0,6 fctm,0
Ecm = secante elasticiteitsmodulus beton [N/mm 2]
De gemiddelde scheurafstand na het ontstaan van de laatste
scheur is gelijk aan:
(7)
[Formule 13]
() es 0 cr , cr c cm 2
A NE c
= +
[Formule14]
0c
23t 2
1 1 sl c
?? =+ ????
[Formule 16]
()
()
e 0 cr c cm
2 e 0 cr c cm cr
E
c
E
?? + ?? ?? = ?? ++ ????
[Formule 17]
cr , s2 s
N
A =
[Formule 18]
toets m s eisww w =
[Formule 19]
3 -9s2
1
1 9 10 =
[Formule 20]
0 cc =
Voor de factor c2 in de resulterende normaalkracht Ncr,?en de
gemiddelde scheurafstand s geldt:
(8)
[Formule 13]
() es 0 cr , cr c cm 2
A NE c
= +
[Formule14]
0c
23t 2
1 1 sl c
?? =+ ????
[Formule 16]
()
()
e 0 cr c cm
2 e 0 cr c cm cr
E
c
E
?? + ?? ?? = ?? ++ ????
[Formule 17]
cr , s2 s
N
A =
[Formule 18]
toets m s eisww w =
[Formule 19]
3 -9s2
1
1 9 10 =
[Formule 20]
0 cc =
In figuur 8 is de veronderstelde eindfase van scheurvorming
(bij vier scheuren) weergegeven. Onder de gewapende plaat zijn
in figuur 8 de grafieken weergegeven met de betonspanning ?c1 en
de staalspanning ?s1 in de ongescheurde zones 1 en de staalspanning
?s2 in de gescheurde zones 2.
De resulterende staalspanning in de scheuren, nodig voor de
berekening van de gemiddelde scheurwijdte, volgt uit:
(9)
[Formule 13]
() es 0 cr , cr c cm 2
A NE c
= +
[Formule14]
0c
23t 2
1 1 sl c
?? =+ ????
[Formule 16]
()
()
e 0 cr c cm
2 e 0 cr c cm cr
E
c
E
?? + ???? = ?? ++ ????
[Formule 17]
cr , s2 s
N
A =
[Formule 18]
toets m s eisww w =
[Formule 19]
3 -9s2
1
1 9 10 =
[Formule 20]
0 cc =
De gemiddelde scheurwijdte is berekend met het 'TU Delft
trekstaaf model' [1] met het algemene toetsingscriterium voor
de scheurwijdte:
[Formule 13]
() es 0 cr , cr c cm 2
A NE c
= +
[Formule14]
0c
23t 2
1 1 sl c
?? =+ ????
[Formule 16]
()
()
e 0 cr c cm
2 e 0 cr c cm cr
E
c
E
?? + ???? = ?? ++ ????
[Formule 17]
cr , s2 s
N
A =
[Formule 18]
toets m s eisww w =
[Formule 19]
3 -9s2
1
1 9 10 =
(10)
Scheurontwikkeling
Een belangrijk criterium voor een 'beheerste scheurvorming' is
dat er voldoende wapening aanwezig is: ? ? ?min. Als dit niet het
geval is, kan er geen tweede scheur ontstaan en zal de scheur -
wijdte van de eerste scheur bij een toenemende opgelegde
vervorming in gelijke mate groter worden en zal er in het
betonstaal ter plaatse van de scheur vloei optreden.
Bij toename van de geleidelijk optredende vervorming (en vol -
doende wapening: ? ? ?min) neemt de trekkracht in de ongescheurde
zones weer toe tot de maximale waarde Nc,0. Op dat moment
ontstaat er ergens in een van de ongescheurde zones, op de
zwakste locatie, de tweede scheur. Dit geleidelijke proces van
voortgaande scheurvorming is wel onderhevig aan relaxatie
omdat trekspanningen nu langdurig op het ongescheurde
beton werken. In figuur 7 is het proces van geleidelijke scheur-
ontwikkeling bij toename van de opgelegde vervorming sche -
matisch weergegeven. Op de verticale as naar boven is de
normaalkracht uitgezet als functie van de spanninggevende rek
op de horizontale as. Op de verticale as naar beneden is de
gemiddelde scheurafstand uitgezet. In figuur 7 is de denkbeel -
dige situatie getekend waarbij in de eindfase, onder invloed van
de volledig ontwikkelde opgelegde vervorming, er vier scheu -
ren zijn ontstaan met een resulterende normaalkracht Ncr,?.
Toelichting:
Nc,0 = maximale normaalkracht in ongescheurde situatie [N]
Ncr,0 = normaalkracht na het ontstaan van de eerste scheur [N]
Ncr?, = normaalkracht na het ontstaan van de laatste scheur
(t = ?) [N]
ncr = 4
ncr = 3
ncr = 2
ncr = 1
nc,0
ncr,?
ncr,0
L0/4
L0/3
L0/2
L0
n
Ec,? ?c?
7Bedr 4 2016
47
8 Geschematiseerde verdeling van de beton- en staalspanning in de onge - scheurde zones 1 ( ?c1 en ?s1) en de staalspanning in de scheuren ( ?s2) 9 Verdeling van de opgelegde rek over de hoogte van de doorsnede en de mogelijke ligging van de wapening (cb = betondekking van de enkele wapening bovenzijde)
De grootte van de scheurwijdte als functie van het wapenings -
percentage bij verschillende dekkingen op betonstaal Ø = 12 mm
is weergegeven in figuur 10.
Uit figuur 10 kan worden afgelezen dat bij een toetswaarde van de
scheurwijdte wtoets = 0,40 mm het daarvoor benodigde wapenings -
percentage varieert van ?0 = 0,47% bij cb = cb,min = 15 mm tot ?0
= 0,52% bij cb = 84 mm, dit geldt bij de ligging van de wapening
in het hart van de plaat. Het verschil in wapeningpercentages
komt overeen met een verschil in hoeveelheid wapening, uitge -
drukt in oppervlak van ? As = 900 mm 2/m bij een ligging met
minimale dekking ten opzichte van ligging in hart plaat! Het
verschil in benodigde wapening voor het bereiken van een
bepaalde scheurwijdte neemt af bij afname van de gradiënt van
opgelegde vervormingen. Als de opgelegde rekken aan de
boven- en onderzijde van de plaat bij benadering gelijk zijn,
wat veelal het geval is bij betonverhardingen (bedrijfsterreinen,
vliegveld platforms, betonwegen in doorgaand gewapend beton
waarin:
wtoets = toetswaarde van de scheurwijdte [mm]
wm = gemiddelde scheurwijdte [mm]
weis = het geldende scheurwijdtecriterium bij bepaalde milieu -
klasse [mm]
?s = factor voor optredende spreiding [?],onvoltooid scheuren -
patroon: ?s = 1,3
?? = factor voor langeduur- / wisselbelasting:
?s2 ? 295 N/mm 2 ?? = 1,3
?s2 > 295 N/mm 2
[Formule 13]
() es 0 cr , cr c cm 2
A NE c
= +
[Formule14]
0c
23t 2
1 1 sl c
?? =+ ????
[Formule 16]
()
()
e 0 cr c cm
2 e 0 cr c cm cr
E
c
E
?? + ?? ?? = ?? ++ ????
[Formule 17]
cr , s2 s
N
A =
[Formule 18]
toets m s eisww w =
[Formule 19]
3 -9s2
1
1 9 10 =
[Formule 20]
0 cc =
?s2 = staalspanning in de scheur [N/mm 2]
Scheurwijdte afhankelijk van ligging wapening
Aan het bovenoppervlak treedt de sterkste afkoeling op. Ook
uitdroging is het grootst aan de bovenzijde van de elastisch
ondersteunde plaat. Bij een ongelijke afkoeling en uitdrogings -
krimp kan een verdeling van de opgelegde vervormingen
ontstaan zoals weergegeven in figuur 9. Door de (enkele) wape -
ning zo hoog mogelijk in de plaat te leggen, wordt deze optimaal
benut voor de beperking van de scheurwijdte. Dit komt omdat in
deze zone de grootste opgelegde vervorming optreedt. In figuur
9 is de zone aangegeven waar de bovenwapening kan worden
geplaatst, variërend van hart plaat tot een zo hoog mogelijke
ligging met een minimale betondekking van cb = 15 mm.
De invloed van de hoogteligging van de wapening op de
grootte van de scheurwijdte is inzichtelijk gemaakt door middel
van een rekenvoorbeeld met de uitgangspunten zoals genoemd
in tabel 1.
Ncr,? Ncr,?
?c1
?s1
?s2 ?s2 ?s2 ?s2
s /2 s /2 s s s
L0
? lt ? lt ? lt ? lt
?oc,b
dikte plaat
h cb
cb,min = 15 mm
?oc, 0 opgelegde rek (?)
Tabel 1 Uitgangspunten berekening
omschrijving symbool grootte
betonsterkteklasse C28/35
hydratatiesnelheid cement klasse N
dikte betonplaat h 180 mm
lengte betonplaat L 50 m
gemiddelde relatieve luchtvochtigheid per etmaal RV 50%
ouderdom bij belasten t0 7 dagen
beschouwde ouderdom beton t 365 dagen
ontwerplevensduur told 30 jaar
gelijkmatig verdeelde belastingen- permanent- veranderlijk ( ?1 = ?2 = 0,8) 5 kN/m 2
2 kN/m 2
wrijving beton ? ondergrond- cohesie- wrijvingscoëfficiënt ?0µ0
puingranulaat15 kN/m 2
1,2
totale krimp- krimp bovenzijde plaat- krimp onderzijde plaat
?cs -268,5 ? 10 -6 m/m 90%60%
temperatuurverandering- bovenzijde plaat- onderzijde plaat ?Tc,b?Tc,o
kortdurend 4 °C2 °C
8
9Bedr 4 2016
48
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75
scheurwijdte (toetswaarde) [mm]
wapeningspercentage [%]
c = 84 mm c = 70 mm c = 55 mm c = 40 mm c = 25 mm c = 15 mm
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
50 100 150 200 250 300 350
staaldoorsnede
As [mm2/m']
h.o.h. afstand staaf [mm]
wtoets = 0,10 mm wtoets = 0,15 mm wtoets = 0,20 mm wtoets = 0,25 mm wtoets = 0,30 mm wtoets = 0,35 mm wtoets = 0,40 mm staaf d = 12 mm staaf d = 16 mm staaf d = 20 mm
12 Doorsnede van de gewapende betonvloer met: As = 785,4 mm 2/m, ?0 = 0,462% 13 Betonstort van een gewapende betonnen bedrijfsvloer foto: Van Berlo Bedrijfsvloeren B.V.
(DGB)), dan heeft de hoogteligging van de wapening gemid -
deld weinig of geen invloed op de grootte van de scheurwijdte
aan het bovenoppervlak.
Scheurwijdte afhankelijk van staafdiameter
De invloed van de staafdiameter op de scheurwijdte is onder -
zocht met de uitgangspunten zoals die ook zijn gebruikt voor
de berekening van de scheurwijdte afhankelijk van de ligging
van de wapening (tabel 1).
Voor toetswaarden van de scheurwijdte, variërend van
0,10 ? wtoets ? 0,40 mm, bij toepassing van enkele wapening
aan de bovenzijde van de plaat met diameters Ø12, Ø16 en
Ø20, alle bij een betondekking cb = 20 mm, is de relatie
berekend tussen de hart-op-hart-afstand van de staven en
de staaldoorsnede per strekkende meter breedte (fig. 11).
Rekenvoorbeeld gewapende betonnen voegloze
bedrijfsvloer
De berekening vindt plaats in de volgende twee stappen:
1. Bij een gekozen plaatdikte wordt de benodigde hoeveelheid
wapening en scheurwijdte berekend op basis van uitsluitend
de opgelegde vervormingen door:
- temperatuurverlaging met negatieve temperatuurgradiënt;
- krimp met negatieve gradiënt;
- zetting ondergrond waarbij het negatieve moment in rekening
wordt gebracht.
2. Berekening of bij de gekozen plaatdikte de nuttige belastingen
(geconcentreerde lasten en eventuele plaatselijke (blok)
lasten) kunnen worden opgenomen.
Als voorbeeld is een berekening gemaakt op basis van de
uitgangspunten zoals vermeld in tabel 1. In aanvulling hierop is
ook het opgelegde negatieve moment als gevolg van zetting van
de ondergrond ( wz = 20 mm, Lz = 20 m) in rekening gebracht.
Tabel 2 Resultaten van de berekening
omschrijving symbool grootte
normaalkracht bij optreden eerste scheur Nc,0 300,80 kN
maximale normaalkracht uit grondwrijving Ng,max 694,86 kN
normaalkracht volledige verhinderde opgelegde vervorming Nc,s+T 537,67 kN
minimaal benodigde plaatlengte voor initiëren eerste scheur Lmin 21,65 m
normaalkracht na optreden eerste scheur Ncr,0 232,89 kN
normaalkracht na optreden laatste scheur Ncr,? 277,71 kN
gescheurde stijfheid beton Ec,? 5943 MPa
toetswaarde van de scheurwijdte wtoets 0,375 mm
gemiddelde scheurafstand s 3,30 m
rek ter hoogte bovenwapening ?c,wap 305 ? 10 -6 m/m
rek bij bereiken volledig ontwikkeld scheurenpatroon ?fdc 904 ? 10 -6 m/m
fundering: puingranulaat (BSA)
h = 170 mm beton: C28/35
Ø10 ? 100 cb = 15 mm
10 Scheurwijdte (toetswaarde) als functie van het wapeningspercentage bij verschillende dekkingen variërend van cb,min ? cb ? (h ? Ø) / 2, voor betonstaal Ø = 12 mm, betonsterkte - klasse C28/35, plaatdikte h = 180 mm 11 Scheurwijdte (toetswaarde) als functie van de staaldoorsnede en h.o.h.-afstand van de sta - ven, betonstaal Ø = 12, 16 en 20 mm, betonsterkteklasse C28/35, plaatdikte h = 180 mm
10
11
12Bedr 4 2016
49
eigenspanningen. Deze spanningen kunnen ten dele worden
beperkt door een goede nabehandeling van de betonvloer
(afdekken met folie na het vlinderen).
De kwaliteit van het eindresultaat staat of valt met de kwaliteit
van de uitvoering door de aannemer (foto 13). ?
? LITERATUUR
1 Breugel, K. van, Braam, C.R., Veen, C. van der, Walraven,
J.C. , Beton-constructies onder Temperatuur- en Krimp -
vervormingen ? Theorie en Praktijk, Betonpraktijkreeks 2,
BetonPrisma 's-Hertogenbosch, 1996.
2 Achtergrondrapport Floor 3.0, Software voor het dimensioneren
van elastisch ondersteunde betonvloeren en betonverhardingen,
SBRCURnet, Delft, 2015.
De opbouw van de berekende vloer is weergegeven in figuur 12
en de resultaten van de berekening zijn samengevat in tabel 2.
Om de benodigde kracht voor het initiëren van de eerste
scheur Nc,0 uit grondwrijving te mobiliseren, moet het
beschouwde plaatdeel een lengte hebben van minimaal
L0 ? Lmin = 21,65 m. Bij een ondergrond met een lagere
wrijvingscoëfficiënt en lagere gelijkmatig verdeelde belastin -
gen, wordt de minimaal benodigde plaatlengte al snel veel
groter. Het is daarom belangrijk dat de betonvloer wordt
aan gelegd op een vlakke, gelijkmatig verdichte, ruwe onder -
grond (bijv. puin-granulaat) die een grote wrijving kan
mobiliseren.
Tot slot
Onder invloed van de opgelegde vervormingen ontstaat er
vrijwel altijd een onvoltooid scheurenpatroon. Het aantal
scheuren neemt toe bij toename van de opgelegde vervorming
met als gevolg dat de gemiddelde scheurafstand afneemt.
Afwijkingen van de berekende scheurwijdte en scheurafstand
kunnen in de praktijk ontstaan door de invloed van optredende
13Bedr 4 2016
Reacties
Martin Blom 11 februari 2021 08:53
Nieuwe hal, betonvloer is belastbaar tot 1250 kg/m2 staat op brochure. Hoe dik is dat eigenlijk beton? Is dat voldoen met 4-hefbrug van 2000kg auto?