Een puntvormige ondersteuning van vlakke plaatvloeren resulteert in EEM-programma's vaak in piekresultaten in moment en dwarskracht. Dit komt doordat de reële afmeting van de kolom in EEM-berekeningen wordt verwaarloosd (ondersteuning wordt in een knoop aangebracht). Omdat er in de norm geen rekenregels zijn opgenomen voor het uitmiddelen van deze pieken, worden hier in de praktijk verschillende methoden voor aangehouden door constructeurs. In dit rekenvoorbeeld werken we enkele methoden uit om tot realistische resultaten te komen.
4
5 2018 78 Rekenen in de praktijk
Spreiding
piekmomenten in
vlakke plaatvloeren
Een puntvormige ondersteuning van vlakke plaatvloeren resulteert in EEM-programma's vaak in
piekresultaten in moment en dwarskracht. Dit komt doordat de reële afmeting van de kolom in
EEM-berekeningen wordt verwaarloosd (ondersteuning wordt in een knoop aangebracht). Omdat
er in de norm geen rekenregels zijn opgenomen voor het uitmiddelen van deze pieken, worden hier
in de praktijk verschillende methoden voor aangehouden door constructeurs. In dit rekenvoorbeeld
werken we enkele methoden uit om tot realistische resultaten te komen.
Rubriek Rekenen in de praktijk
Dit is de vierde aflevering in de Cement -rubriek 'Rekenen in de
praktijk'. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de
praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werk -
groep, bestaande uit: Mustapha Attahiri (Ingenieursbureau
Gemeente Rotterdam), Gökhan Dilsiz (Arup), Maartje Dijk
(Witteveen+Bos), Jorrit van Ingen (Bartels Ingenieurs voor Bouw
& Infra), Jacques Linssen (redactie Cement ), Bart Vosslamber
(Heijmans) en Bas Wijnbeld (ABT ). Een artikel wordt steeds opge -
steld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt
vervolgens gereviewd door de andere leden en door minimaal
één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks
deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenmethode de
visie van een aantal individuen. Er kan nooit volledig worden
gegarandeerd dat wat er is geschreven waar is.
Case
Er wordt een rekenvoorbeeld beschouwd van een puntvormig
ondersteunde vlakke plaat. De plaat heeft een rechthoekige
dwarsdoorsnede met b = 4500 mm,
h = 500 mm en d = 450 mm (fig. 1). De puntvormige ondersteu -
ning is een ronde kolom met doorsnede D = 600 mm. De kolom is
monoliet verbonden met de plaat. Over het gehele oppervlak van
de plaat is een gelijkmatig verdeelde belasting aanwezig.
Modellering
De plaat is gemodelleerd in een EEM-programma met
2D-schaalelementen. De geometrie van de plaat is ingevoerd,
waarna het rekenprogramma automatisch een net genereert.
De gemiddelde netfijnheid bedraagt 500 mm. Ter plaatse van
de kolom is een automatische lokale netverfijning toegepast
van circa 125 mm (0,25 h). Als buigtheorie voor de schaalele -
menten is de theorie van Mindlin toegepast, die iets meer
betrouwbare resultaten geeft ten opzichte van Kirchoff omdat
de vervorming door dwarskracht wordt meegenomen.
79
4500 mm
500 mm
600 mm
arctg
h
3
1
2
2
?
?
b2
b1
s
164.25 kNm/m
369.56 kNm/m
mx [kNm/m] 369.56330.00300.00270.00240.00210.00180.00150.00120.0090.0060.0030.000.00
De kolom is gemodelleerd als een liggerelement met aan de
onderzijde een volledig starre inklemming.
Toetsing
Door de puntvormige ondersteuning wordt het buigend
moment in de plaat overschat (fig. 3). In NEN-EN 1992-1-1
worden echter geen rekenregels gegeven voor spreiden van
pieken in 2D-resultaten.
Spreiding in de praktijk
De gebruikelijke spreidingsmaat voor momenten is veelal 2 d of
2d + D, waarbij d de effectieve hoogte van de plaat is en D de
diameter van de kolom. In dit geval zou een spreidingsbreedte
van 2 d = 900 mm betekenen en een spreidingsbreedte van
2d + D = 1500 mm. Deze spreidingsbreedten zijn arbitrair
gekozen waarden die in de praktijk vaak worden aangehouden.
In de praktijk wordt de spreiding in rekening gebracht door het
aanbrengen van een snede in het 2D-model. Deze snedefunctie
stelt de constructeur in staat de resultaten in de sectie door het
programma te laten middelen. Het wapeningsmoment in de
snede betreft het moment na spreiding.
Spreiding volgens VBC
De voorganger van de Eurocode, de VBC (NEN 6720 art.
7.5.3.4), bevat wel een methode om piekmomenten te spreiden
in een wapeningsbaan. Hierbij wordt een spreiding aangehou -
den onder een helling 3:2 vanaf de rand van de kolom tot 0,5 h
vanaf diezelfde rand (fig. 2). Dit resulteert in een wapenings -
baan van s = b2 + 1,5 b1 + 1,5 h. Hierin zijn b1 en b2 de afmetin -
gen van een kolom in de twee verschillende richtingen en is h
de dikte van de plaat. Gemakshalve wordt in het rekenvoor -
beeld een afmeting van 600 x 600 mm 2 aangehouden in plaats
1 Geometrie plaat en kolom2 Spreidingsbreedte conform VBC3 Wapeningsmomenten in bruikbaarheidsgrenstoestand over snede in het hart van de kolom zonder spreiding
van Ø600 mm. In het voorbeeld heeft de wapeningsbaan dus
een breedte van
s = 600 + 1,5 · 600 + 1,5 · 500 = 2250 mm.
Deze wapeningsbaan wordt als snede ingevoerd in het
2D-model (zie onder 'Spreiding in de praktijk'). Dit resulteert
in een momentverdeling als in figuur 4.
Spreiding volgens aanpassing model
Een meer theoretisch onderbouwde methode is het vervangen
van de puntvormige ondersteuning door een verdeelde last die
de doorsnede van de kolom representeert. In figuur 5b is een
dergelijke schematisering en de bijbehorende dwarskrachten -
lijn getoond. Door de verdeelde last ontstaat een andere dwars -
krachtenlijn. Omdat de hellingsfunctie van de momentenlijn
gelijk is aan de dwarskrachtenlijn, neemt hiermee ook het
moment af. Het moment wordt ter plaatse van de kolom als het
ware afgevlakt (fig. 5c). Het verschil in het moment is eenvou -
dig handmatig uit te rekenen door verschil in oppervlak te
bepalen van beide dwarskrachtlijnen:
1
2
3
Rekenen in de praktijk 5 2018
80 5 2018
R1 a.
b.
c.
R1
R2/D
R2/D
D
0,5 ? R2/2 ? D/2
0,5 ? R2/2 ? D/2
dwarskrachtenlijnvolgens rekenmodel (blauw)
dwarskrachtenlijn inaangepast model (oranje)
momentenlijn inrekenmodel (blauw) en in werkelijkheid (oranje)
?M / ?x = V ? V ?x = M
?M = R2 D/4
R2
R3
R3
272.80 kNm/m
mx [kNm/m] 369.56330.00300.00270.00240.00210.00180.00150.00120.0090.0060.0030.000.00
?M = 2 ? (0,5 ? R2/2 ? D/2) = R2 ? D/4. Het aangepaste moment
wordt vervolgens handmatig uitgerekend door ? M van het
moment uit het rekenmodel af te trekken.
Deze methode is direct toe te passen op liggers of lijnvormig
ondersteunde platen. Het is echter de vraag of deze methode ook
mag worden toegepast bij puntvormig ondersteunde platen.
Bij puntvormig ondersteunde platen moeten ? M en de resulta -
ten uit het rekenmodel worden gespreid over een spreidings -
breedte. Hiervoor kunnen de eerder gepresenteerde methoden
worden toegepast. In dit rekenvoorbeeld is de methode 'sprei -
ding volgens VBC' gecombineerd met aanpassing van het
model.
Discussie
De piekresultaten in dit rekenvoorbeeld zijn de oorzaak van
een schematisering van de constructie. In werkelijkheid treden
deze pieken niet op. Door gebrek aan een eenduidige rekenre -
gel in de Eurocode worden door constructeurs verschillende
spreidingsbreedten aangehouden voor piekmomenten en
-dwarskrachten. Er zijn verschillende manieren uitgewerkt om
de resultaten te spreiden. Echter, andere methoden zijn ook
mogelijk. Zo kan bijvoorbeeld de kolom als verticale bedding
worden gemodelleerd. Het is onduidelijk welke methode de
werkelijkheid het beste benadert.
De VBC-methode in combinatie met aanpassing van het model
blijkt te resulteren in het laagste wapeningsmoment (tabel 1).
Het is echter de vraag of deze methoden gecombineerd mogen
worden.
Conclusie
In dit rekenvoorbeeld is een puntvormig ondersteunde plaat
uitgewerkt. Als gevolg van de schematisering van de kolom als
puntvormige ondersteuning ontstaan er piekmomenten in de
2D-EEM-resultaten. Voor het middelen van die pieken zijn
drie methoden voorgesteld. De uitkomsten lopen behoorlijk
uiteen. Aan de constructeur te beoordelen welke methode hij
of zij het meest verantwoord acht. ?
4
5
4 Wapeningsmomenten in bruikbaar - heidsgrenstoestand gespreid over 2250 mm conform VBC5 Schematisering van steunpunt door verdeelde last
Tabel 1 Resultaten wapeningsmoment in langsrichting na
spreiden bij verschillende methoden
methode spreidings - breedte [mm]
maximum moment in langsrichting [kNm/m]
reductie t.o.v. piekresultaat [%]
resultaat zonder middeling 0 370 0
spreiden over 2d 900 330 -11%
spreiden over 2d + D 1500 300* -19%
spreiding volgens aanpassing model + VBC-methode
2250 196** -10%
VBC-methode 2250 273 -26%
*) Volgt uit niet-getoonde EEM-berekening**) M = 273 ? R2 ? D / (4 ? 2,25) = 196 kNm/m
Rekenen in de praktijk
Dit is de vierde aflevering in de Cement-rubriek ‘Rekenen in de praktijk’. In deze rubriek staat telkens één rekenopgave uit de praktijk centraal. De rubriek wordt samengesteld door een werkgroep, bestaande uit: Mustapha Attahiri (Ingenieursbureau Gemeente Rotterdam), Gökhan Dilsiz (Arup), Maartje Dijk (Witteveen+Bos), Jorrit van Ingen (Bartels Ingenieurs voor Bouw & Infra), Jacques Linssen (redactie Cement), Bart Vosslamber (Heijmans) en Bas Wijnbeld (ABT). Een artikel wordt steeds opgesteld door één van de leden van deze werkgroep. Het wordt vervolgens gereviewd door de andere leden en door minimaal één senior adviseur binnen het bedrijf van de opsteller. Ondanks deze zorgvuldigheid, is de gepresenteerde rekenmethode de visie van een aantal individuen. Er kan nooit volledig worden gegarandeerd dat wat er is geschreven waar is.
Er wordt een rekenvoorbeeld beschouwd van een puntvormig ondersteunde vlakke plaat. De plaat heeft een rechthoekige dwarsdoorsnede met b = 4500 mm,
h = 500 mm en d = 450 mm (fig. 1). De puntvormige ondersteuning is een ronde kolom met doorsnede D = 600 mm. De kolom is monoliet verbonden met de plaat. Over het gehele oppervlak van de plaat is een gelijkmatig verdeelde belasting aanwezig.
Reacties
Emiel Peltenburg - MSc Engineering bv 05 september 2018 08:38
Hallo Gökhan, Leuk artikel, dat mij gelijk inspireerde om het even in RFEM te controleren. RFEM, www.rfem.nl, heeft de mogelijkheid om de kolomdoorsnede automatisch te laten omzetten in een bedding, waarbij de constanten worden bepaald op basis van de randvoorwaarden en de geometrie van de kolom. Tevens wordt de stijfheid van het gedeelte van de vloer binnen de dagzijde van de kolom verhoogd met een factor 3. Het resultaat is een piekmoment van 274 kNm, nagenoeg gelijk aan de VBC-methode. Bovenstaande volautomatische methode heeft ook het grote voordeel dat je deze in zuivere plaatmodellen kunt toepassen, zonder de kolom te moeten modelleren. Als je volgend keer nog zo'n artikel hebt en je wilt het door iemand laten nalezen, dan help ik je graag.