Voorspanning met nagerekt staal wordt in berekeningen doorgaans beschouwd met de evenwichtsbelastingmethode. Hierbij wordt het effect van de voorspanning vertaald naar een uitwendige belasting op de constructie. Het maakt een verschil of je daarbij uitgaat van een cirkelvormig of parabolisch verloop van de kabel en ook de exacte ligging van de kabel in de omhullingsbuis heeft de nodige invloed. Krommingsdruk nader beschouwd Invloed van het verloop van voorspankabels en de ligging in de omhullingsbuis 48? CEMENT 8 2020 auteur ING. MARCEL VLAARconstructeur Arcadis Nederland Voorspanning met nagerekt staal in voorspankanalen met een ge- bogen verloop veroorzaakt speci - fieke krachten in de constructie. Met de invoering van de VBC werd voor het bepalen van de effecten op de constructie de evenwichtsbelastingmethode dwingend voorgeschreven. Hiermee kwam de uitwen - dige momentenmethode te vervallen. In de huidige voorschriften is de evenwichtsbelas- tingmethode de meest voor de hand liggende manier om de effecten van voorspanning in de berekening te verwerken. Bij deze methode wordt gerekend met een krommingsdruk die de kabel op de con - structie uitoefent. In figuur 1 zijn de onderde- len van een krommingsdruk weergegeven. De trekkracht in de voorspankabel oefent een kracht uit op het beton loodrecht op de as van de kabel. Deze kracht is afhankelijk van de kromming van de voorspan kabel ? en de trekkracht in de kabel P . De kracht is een radiale druk die gelijk is aan ?  ·  P en dit wordt de krommingsdruk genoemd. In een statisch bepaalde ligger wordt over het algemeen de voorspankabel ter plaatse van de twee steunpunten verankerd. Hier veroorzaakt de trekkracht in de voor- spankabel een drukkracht op het beton die aangrijpt in deze verankeringen (aan beide zijden van de ligger). De krommingsdruk en de veranke- ringskrachten vormen samen het belasting - geval voorspanning (fig. 1). Omdat deze be- lasting een inwendige belasting is, is de som van deze belasting gelijk aan nul. In dit artikel worden twee elementen van de effecten van een gebogen voorspankabel beschouwd: 1? het verschil tussen cirkelbogen en parabolen; 2?het effect van de ligging van de kabel in de omhullingsbuis. Verschil tussen cirkelbogen en parabolen Wanneer de voorspankabel een gebogen ver- loop heeft met een constante kromming (cir- kelboog) is de krommingsdruk ook constant. ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? q de krommingsdruk ? de kromming van de kabel P de trekkracht in de kabel R de straal van de hartlijn van de kabel (cirkelboog) Indien de voorspankabel een parabolisch verloop heeft is de kromming niet constant, waarmee de krommingsdruk ook niet con - stant is. De basis voor de krommingsdruk is ook q = ?  ·  P . Maar voor de kromming geldt: ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? Met ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? volgt ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? en ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? Hierin is: F (x) vergelijking van het kabelverloop x de horizontale positie op de x-as C een constante in de vergelijking Omdat de eerste afgeleide afhankelijk is van x, is de kromming niet constant. Rekenvoorbeeld? De verschillen in het kabel - verloop tussen cirkelbogen en parabolen worden toegelicht met een rekenvoorbeeld. In dit voorbeeld zijn de volgende uitgangs- punten aangehouden: 1 1 Krommingsdruk ten gevolge van een voorspankabel CEMENT 8 2020 ?49 2 L is de lengte van de overspanning: 4,0 m ? is de pijl van de gebogen kabel: 1,0 m P is de voorspankracht in de kabel: 1000 kN Overspanning op twee steunpunten, waar- bij de as van de kabel ter plaatse van de steunpunten samenvalt met de neutrale lijn van de ligger. Met deze uitgangspunten ligt het verloop van beide kabelvormen vast. Ze zijn weerge- geven in figuur 2. Voor beide kabelvormen geldt dat de hoek tussen de voorspankabel en de neutrale lijn van de ligger ter plaatse van het steunpunt hoek ? wordt genoemd. De twee kabelvormen hebben een verschil - lende constante. De cirkel heeft een con - stante R en de parabool heeft een constante C. De berekende eigenschappen zijn: Voor de cirkelboog: De straal R volgt uit ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? en hieruit volgt R = 2,5 m Hoek ? volgt uit ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? en hieruit volgt ? = 53,13° Voor de parabool: Hoek ? volgt uit ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? en hieruit volgt ? = 45,0° De constante C volgt uit ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? en hieruit volgt C = 0,25 Met de oorsprong van de parabool in het midden van de overspanning kan er voor ieder punt op de parabool een straal worden uitgerekend, die alleen lokaal geldt: - De straal in het midden volgt uit ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? en hieruit volgt R 0 = 2,0 m - De straal bij het steunpunt is ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? en hieruit volgt R 2 = 5,657 m In figuur 2 is te zien dat de parabool in het midden een grotere kromming heeft. Deze kromming wordt richting het steunpunt steeds kleiner, waardoor het bij dit steun - punt weer samenvalt met de cirkelboog. Hiermee is hoek ? voor de parabool kleiner dan de ? voor de cirkelboog. In figuur 3 en 4 zijn de krachten ten gevolge van de voorspankabel weergegeven. Deze krachten zijn berekend met een spread- sheet, waarbij is uitgegaan van de daadwer- kelijke krommingsdrukken. Het belangrijk - ste verschil tussen de twee kabelvormen is het wel en niet constant zijn van de krom - ming. De krommingsdruk bij een parabool is een cosinusfunctie. Deze functie resul - teert in een gebogen dwarskrachtenlijn. Bij de cirkelboog resulteert de constante krom - mingsdruk in een rechte dwarskrachtenlijn. Benadering moment en dwarskracht? In het algemeen wordt in de praktijk voor beide kabelvormen een gelijkmatige krommings- druk aangehouden. Voor de parabolen gaat men uit van de maximale kromming van de kabel in het midden. Dit uitgangspunt leidt tot een benaderde krommingsdruk gelijk aan 8 · P · ?/L². Als het moment in het mid - den en de dwarskracht ter plaatse van het steunpunt met dit uitgangspunt wordt uitge- Naast een verticale druk ontstaat er ook een horizontale druk 2 Kabelvorm 50? CEMENT 8 2020 3 4 Het kabelverloop met een hogere graad functie is vergelijkbaar met een kabelverloop met twee cirkelbogen en een recht horizontaal deel in het midden rekend volgt: M = 1000 kNm en V = 1000 kN. Het is opvallend dat het moment exact klopt met de exacte waarden uit de grafiek uit figuur 4, terwijl de dwarskracht een aan - zienlijke afwijking heeft. Dat het moment klopt zegt nog niet zo veel. Want alleen het moment in het midden is correct. Op alle andere punten wijkt de benadering af van het werkelijke moment. Bovendien blijkt dat het moment in het mid - den niet correct is wanneer de voorspankabel ter plaatse van het steunpunt niet samenvalt met de neutrale lijn van de ligger. Verder geldt dat als je de parabool met de benaderingsbelasting 8 · P · ?/L² uitrekent de dwarskracht niet correct is. Horizontale en verticale krommingsdruk? Niet alleen de feitelijk niet volledig juiste be- naderingsbelasting zorgt voor een verschil, ook het feit dat er naast de verticale druk ook een horizontale druk ontstaat speelt een rol. Dit komt doordat de krommingsdruk loodrecht op de as van de kabel werkt zoals in figuur 1 is aangegeven. In de praktijk wordt deze horizontale druk vaak verwaar- loosd. Bij een normale verhouding van L/? is dit toelaatbaar omdat de invloed van deze druk dan zeer klein is. In het rekenvoorbeeld is er echter bewust gekozen voor een extre- me verhouding van L/? (in dit geval is deze verhouding 4). Met deze verhouding is het verschil tussen de beide kabelvormen goed zichtbaar. Het verschil tussen de werkelijk optredende krachten en de krachten die worden gevonden met de praktische bena - dering is nu groot. Bij een verhouding L/? van 16 is dit verschil kleiner dan 3%. In de praktijk is de verhouding L/? gelijk aan circa 40. Dit betekent dat het verwaarlozen van de horizontale druk en het gebruik van een benaderingsbelasting bij parabolen in de praktijk geen probleem is. 3 Krachten door voorspankabel met cirkelboog 4 Krachten door voorspankabel met parabool CEMENT 8 2020 ?51 5 6 Benadering bij cirkelbogen? Bij de cirkel- bogen is de krommingsdruk gelijk aan ? · P, wat neerkomt op een verticale krommings- druk in het midden gelijk aan 800 kNm (fig. 3). Daarbij is de horizontale krommings- druk verwaarloosd. Het werkelijke moment is 1000 kNm. Het verwaarlozen van de horizontale krommingsdruk heeft bij de cirkelbogen geen invloed op de gevonden dwarskrachtenlijn. Verschillen? De fout in het moment is afhan - kelijk van de ligging van de kabel ten opzichte van de neutrale lijn van de ligger. De fout in de dwarskracht (komt alleen voor bij de parabool) is over het algemeen maatgevend en deze fout is direct uit het kabelverloop te bepalen. De fout is gelijk aan: Dwarskracht fout = (1 ? cos ?) Hierin is ? de hoek tussen de voorspankabel en de neutrale lijn van de ligger ter plaatse van de eindoplegging of in het buigpunt. Als deze hoek kleiner of gelijk is aan 14,0° is de afwijking in de dwarskracht kleiner dan 3%. In figuur 5 zijn de momentenlijnen uit bo- venstaande afleidingen samen gepresen - teerd. Uit de figuur blijkt de momentenlijn met cirkelboog dichterbij de momentenlijn van een gelijkmatige q-last ligt dan de momentenlijn met parabool. Het is de bedoeling dat de krommings- druk ten opzichte van de verticale neer- waartse belasting een tegengesteld effect heeft. Over het algemeen is de momenten - lijn van de verticale neerwaartse belasting overeenkomstig met een gelijkmatige last. Tandemstelsel? Voorspanning kan behalve voor het compenseren van een gelijkmatige belasting ook worden gebruikt voor het com - penseren van de belasting uit een tandem - stelsel. In figuur 6 zijn de krachten door een tandemstelsel weergegeven. Hier is het 5 Vergelijking momentenlijnen 6 Krachten door tandemstelsel (2 maal F 150 kN) 52? CEMENT 8 2020 7 8 ALGEMENE FORMULES VOOR EEN PARABOOL Functie van de parabool: F(x) = e 2 ? C 1 · x n Constante van de parabool: (x = ½L) Hoek alfa ? = arctan(2 · n · ??L) Verlopende hoek t q­last Normaalkracht N p = ­P · cos t Dwarskracht V p = P · sin t Moment M p = ­P · cos t · F (x) x is de horizontale afstand op de boog t.o.v. de oorsprong t is de hoek tussen de kabel en de neutrale lijn in punt x e 1 is de excentriciteit van de kabel ter plaatse van de oplegging e 2 is de excentriciteit van de kabel in het midden (? ­ e 1) P is de voorspankracht ? is de pijl van de boog L is de lengte van de boog Tabel 1?Vergelijking van het kabelverloop onderdeel met rechte delenzonder rechte delen straal eindveld R = 94,325 meter R = 98,583 meter straal middenveld R = 93,177 meter R = 97,798 meter hoekverdraaiing eindoplegging ? = 3,7° ? = 4,0° hoekverdraaiing tussensteunpunt ? 1 = 4,9° en ? 2 = 5,3°? 1 = 6,0° en ? 2 = 6,4° 7 Krachten door voorspankabel 3e graad 8 Overgang van dal- naar topboog CEMENT 8 2020 ?53 stelsel uit LM1 toegepast met de halve as-last (wiellast). De equivalente M is een neer- waartse krommingsdruk met cirkelbogen (ten behoeve van de vergelijking is het mo- ment door krommingsdruk neerwaarts). De cirkelboog is in het midden (tussen de twee maximale momenten) onderbroken met een stukje rechte kabel. Het momentenverloop met cirkelbogen blijkt ook hier goed verge- lijkbaar met de momenten uit de optreden belasting. Voor het compenseren van zowel een gelijkmatige belasting als voor de belasting met tandemstelsels is de krommingsdruk met cirkelbogen beter. Parabolische kabelvorm volgens 3e-graad-vergelijking? Tot nu toe is voor de parabolische kabelvorm uitgegaan van een 2e-graad-vergelijking. Bij een kabelverloop volgens een 3e-graad-vergelijking blijft de kabel in het midden over een groter deel on - derin de constructie, waardoor het moment over een groter gebied groot blijft (fig. 7). Het kabelverloop met een hogere graad functie is vergelijkbaar met een kabel - verloop met twee cirkelbogen en een recht horizontaal deel in het midden. In het kader op voorgaande pagina zijn de algemene formules voor parabolen gegeven. Opgemerkt wordt dat de formules voor dwarskracht en moment alleen voor statisch bepaalde constructies gelden. Het zijn formules voor de oude uitwendige momentenmethode. Berekenen met raamwerkprogramma's? In raamwerkprogramma's kunnen gebogen kabelverlopen worden ingevoerd. Deze pro- gramma's delen de gebogen kabel op in kleine stukjes en bepalen voor ieder stukje kabel de gemiddelde kromming. Dit gemid - delde wordt omgezet naar een horizontale en een verticale kracht. De krachtenlijnen in dit artikel zijn, zoals aangegeven, in een spreadsheet gemaakt. Als het rekenvoorbeeld uit dit artikel in een raamwerkprogramma wordt gezet worden dezelfde resultaten ge- vonden. Wel is het zo dat de normaalkrach - ten,- en dwarskrachtenlijn niet vloeiend zijn. Dit komt door het opdelen in kleine kabelstukjes. Voor deze programma's geldt dat zij wel met horizontale en verticale druk rekenen. En dat zij bij parabolen de cosinusbelasting benaderen met kleine gelijkmatige krom - mingen. Ligging kabel in de omhullingsbuis Omdat een voorspankabel bewegingsvrij- heid in de omhullingsbuis moet hebben volgt de as van de voorspankabel niet exact de as van de omhullingsbuis. De construc- teur moet rekening houden met een ver- schuiving van de as van de voorspankabel ten opzichte van de as van de omhullings- buis. De verschuiving is afhankelijk van het toegepaste voorspansysteem. In tabel 6-3 van de ROK zijn verschuivingen voor de verschillende voorspansystemen gegeven. In berekeningen van statisch onbe- paalde liggers (of vloeren) zijn de krom - mingsdrukken voor de top-, en dalbogen, over het algemeen, aansluitend geschemati - seerd. Dit betekent dat de voorspankabel over een zeer kleine lengte van topboog over gaat in een dalboog. Door de verschuiving van de as van de kabel in de omhullingsbuis zal dit in werkelijkheid nooit optreden. In een dalboog wordt de kabel tegen de bin - nenkant van de omhullingsbuis gedrukt aan de bovenzijde. In de topboog zal hij aan de onderzijde tegen de binnenkant worden gedrukt. Dit betekent dat de kabel nabij het buigpunt in de omhullingsbuis oversteekt van bovenzijde naar onderzijde (fig. 8). Tijdens deze oversteek is de kabel nagenoeg niet gebogen en is er dus geen krommingsdruk. De lengte waarover geen krommingsdruk aanwezig is kan meters bedragen. Rekenvoorbeeld? De invloed van de rechte kabeldelen rondom de buigpunten is in een rekenvoorbeeld nader beschouwd. Uitgangspunten in dit voorbeeld zijn (fig. 9a en 10a): drie overspanningen 20,0 ? 25,0 ? 20,0 m; betondoorsnede 1,0 × 1,1 m 2 (b × h); stralen: - topboog R 10 m; - dalboog R nader te bepalen; Voor raamwerk ­ programma's geldt dat zij wel met horizontale en verticale druk rekenen 54? CEMENT 8 2020 9a 9b 10a 10b 9 Kabelverloop (a) en krachten (b) t.g.v. voorspanning met rechte delen 10 Kabelverloop (a) en krachten (b) t.g.v. voorspanning zonder rechte delen CEMENT 8 2020 ?55 excentriciteiten: - eindsteunpunt + 0,028 m; - eindveld ? 0,270 m; - tussensteunpunt + 0,320 m; - middenveld ? 0,350 m; in alle velden ligt de kabel ter plaatse van het maximale veldmoment over een lengte van 1,0 m horizontaal; verschuiving van de kabel in de buis 0,015 m; tweezijdig voorspannen 50% van de kabels; direct optredende verliezen volgens ROK met wigintrekking van 7 mm; voorspankracht Pm(0) = 5500 kN. Bij de uitwerking zijn de verschillen bepaald tussen een kabelverloop met rechte delen en een kabelverloop zonder rechte delen bij de buigpunten. In dit voorbeeld hebben de rechte delen rondom de buigpunten een lengte van circa 2,5 m. In beide kabelverlo- pen zijn wel de rechte horizontale delen onderin de constructie aanwezig. Het verschil in kabelverloop is weerge- geven in tabel 1. Bij het kabelverloop met rechte delen zijn de stralen voor de dalbogen kleiner, waarmee de kromming en dus ook de krommingsdruk groter is. Ook de hoek - verdraaiingen zijn kleiner. Hiermee zal de wrijving tussen kabel en omhullingsbuis kleiner zijn. Voor beide kabelverlopen zijn de krachten bepaald. Het verschil in krachten is weergegeven in figuur 9b en figuur 10b. Bij de momenten valt op dat de veldmomenten met rechte delen iets groter zijn, waar het steunpuntmoment iets kleiner is. Het groot- ste verschil is 5,3%. Het verschil bij de dwarskracht is aanzienlijk groter. Met rechte delen is de dwarskracht 15,7% kleiner. Dit betekent dat men de gunstig werkende dwarskracht overschat als er zonder rechte delen wordt gerekend. De overschatting bevindt zich precies op het punt waar de dwarskracht getoetst wordt (op d uit de oplegging). Samenvatting In de beschouwing van het verschil tussen het kabelverloop met cirkelbogen en met parabolen is duidelijk geworden dat bij pa - rabolen in werkelijkheid de krommingsdruk niet gelijkmatig is. Bij beide gebogen kabel - vormen wordt standaard het horizontale deel verwaarloosd (in programma's waarin het kabelverloop kan worden ingevoerd niet). Als de hoekverdraaiing in de eindop- leggingen en/of in de buigpunten kleiner dan 14° is, voldoet de praktische benadering. Door de verschuiving tussen as voorspanka - bel en as omhullingsbuis ontstaan rechte kabeldelen ter plaatse van de buigpunten in de omhullingsbuis. Als deze rechte kabelde- len niet in de berekening wordt meegenomen wordt de dwarskracht door voorspanning op het kritische punt met 16% overschat (bij ?R = 15 mm). Deze overschatting reduceert de optredende dwarskracht in de construc- tie. Het advies is om deze rechte delen wel mee te nemen. De berekening met rechte delen is niet complexer of tijdrovender. Tijdens deze oversteek van de bovenzijde naar de onderzijde is de kabel na­ genoeg niet gebogen en is er dus geen krommingsdruk 56? CEMENT 8 2020