46
Joggersbelasting
in norm reëel?
In de Eurocode wordt voorgeschreven om de te verwachten versnellingen van voetgangersbruggen,
als gevolg van joggers, te berekenen door een harmoniserende puntlast te plaatsen halverwege de over -
spanning. De vraag is of dit wel reëel is. Uitkomsten verkregen met de norm zijn vergeleken met zowel een
alternatieve rekenmethode als met meetresultaten uit de praktijk. Dit leidt tot interessante inzichten.
Onderzoek naar versnellingen betonnen voetgangersbrug met
korte overspanning als gevolg van joggers
1
Toetsing
Voetgangersbruggen moeten volgens de Eurocodes worden
getoetst op comfort als de eigenfrequentie van het dek kleiner
is dan 5 Hz [1]. Hierbij wordt gekeken naar versnellingen die
optreden als gevolg van voetgangers en joggers, waarbij de
optredende versnellingen de gegeven versnellingslimieten niet
mogen overschrijden. Zowel de nationale bijlage van Eurocode
1990 [1] als de nationale bijlage van Eurocode 1991-2 [2]
verwijst naar de richtlijn EUR 23984 EN 'Design of Lightweight
Footbridges for Human Induced Vibrations' [3]. In deze richt-
lijn staat de te hanteren rekenmethode om de te verwachten
Er worden steeds slankere betonnen voetgangersbruggen
ontworpen. Redenen hiervoor zijn esthetische waarde, duur
-
zaamheid en bouwkosten. Een mogelijke bijkomstigheid van
het slanker ontwerpen is dat deze bruggen een eigenfrequentie
krijgen die zodanig laag is, dat deze in het frequentiegebied
terechtkomt waarin een persoon zich voortbeweegt. Hierdoor
kunnen trillingen van het brugdek optreden. Als de stapfre-
quentie van de persoon die zich over de brug voortbeweegt
gelijk is aan de eigenfrequentie van de brug leidt dit tot reso-
nantie, waarbij de optredende versnellingen van de brug de
versnellingslimiet kunnen overschrijden.
Afstudeerscriptie
Een link naar de afstudeerscriptie 'Trillingen
van betonnen voetgangersbruggen', waar -
naar in dit artikel wordt verwezen, staat bij
dit artikel op Cementonline.
Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018
47
Richtlijn EUR 23984 EN
EUR 23984 EN beschouwt twee rekenmethoden voor het bere-
kenen van de responsie van het systeem. Dit zijn de methode
waar het systeem wordt beschouwd als een systeem met één
vrijheidsgraad (SDOFM, Single Degree of Freedom Method)
en de responsiespectrummethode (RSM, Response Spectra
Method). Het berekenen van de responsie van het systeem als
gevolg van joggers met de RSM wordt niet behandeld in de
EUR 23984 EN. In dit artikel wordt daarom alleen het resultaat
met de SDOFM beschouwd.
Rekenmethode SDOFM
De joggers worden gemodelleerd als harmoniserende puntlas-
ten, die gezamenlijk halverwege de overspanning van het
brugdek worden geplaatst (F(t)). De massa van het brugdek is
verondersteld een geconcentreerde massa te zijn, de modale
massa ( m). Ditzelfde wordt gedaan voor de stijfheid (k) en de
demping ( c). Op deze manier is het brugdek gemodelleerd als
een systeem met één vrijheidsgraad (SDOFM). Het model is
schematisch weergegeven in figuur 2.
De te verwachten versnelling van het brugdek met de SDOFM
is afkomstig uit de steady-state en wordt berekend met behulp
van formule 2:
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p* a m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
(2)
waarin:
a
max is optredende versnelling van het brugdek [m/s 2]
p* is modale belasting [N]
m* is modale massa brugdek [kg]
x is dempingscoëfficiënt [-]
Y is reductiefactor ten behoeve van de optredende versnel -
ling [-] (fig. 3)
Joggers
Het kritieke interval van stapfrequenties voor joggers is
1,9 Hz ? f
e ? 3,5 Hz. De grootte van de reductiefactor die in
rekening moet worden gebracht voor de bepaling van de te
verwachten optredende versnelling van het brugdek is afhanke-
lijk van de stapfrequentie van de jogger (fig. 3).
De jogger, die rent met een snelheid ? 3 m/s, heeft een verticale
belastingscomponent van 1250 N [2, 3]. Er mag vanuit worden
gegaan dat elke jogger is gepositioneerd, daar waar de verplaat-
sing van het dek het grootst is en dat de jogger zich niet voort-
beweegt. Daarnaast wordt verondersteld dat de stapfrequentie
van de jogger gelijk is aan de eigenfrequentie van het systeem.
Voor het bepalen van de optredende versnelling geldt
formule 2.
De grootte van de totale verticale belastingscomponent is
afhankelijk van de lengte van de overspanning [2]. De hoeveel-
ir. Frank Beers
1)
Nobleo Bouw & Infra
1
Voetgangersbrug
'Zwaaikom' te Eindhoven
1) Speciale aandacht en dank gaat uit naar dr.ir. K.N. van Dalen van de TU Delft voor het overdragen van de kennis op het gebied van dynamisch gedrag van systemen.
versnellingen van het brugdek te berekenen. Tevens zijn
versnellingslimieten gegeven, die zijn ingedeeld in comfortklas-
sen (onafhankelijk of de versnelling wordt opgewekt door voet-
gangers of joggers).
Volgens de Eurocode (NEN EN 1991-2 NB.A.3.3) wordt een
harmoniserende puntlast, die de jogger representeert, halver -
wege de overspanning gemodelleerd. Hierna wordt voor de
toetsing de versnelling van het systeem in rekening gebracht,
die optreedt na een oneindig lange tijdsperiode. Deze oneindig
lange tijdsperiode wordt ook wel de 'steady-state' genoemd.
De vraag is of dit een realistische benadering van de werkelijk-
heid is. Het mag dan misschien een goede benadering zijn voor
voetgangersbruggen met een lange(re) overspanning, maar als
wordt gekeken naar voetgangersbruggen met een korte(re)
overspanning, worden de werkelijk optredende versnellingen
volgens deze rekenmethode overschat. De jogger beweegt zich
immers voort over de brug (en staat niet stil). Bovendien is de
jogger enkel voor een korte tijdsperiode op de brug aanwezig.
Er is een alternatief model opgezet om de optredende versnel -
lingen van een voetgangersbrug te berekenen. Dit model is
opgesteld in een afstudeeronderzoek dat eerder aan de TU
Delft is uitgevoerd [4]. In dit model is de jogger gemodelleerd
als een harmoniserende puntlast die zich in verloop van tijd
over de brug voortbeweegt.
De berekende versnellingen volgens het alternatieve model zijn
vergeleken met de versnellingen die optreden als de rekenme-
thode uit richtlijn EUR 23984 EN wordt gebruikt. In beide geval-
len zijn de versnellingen van een betonnen brugdek berekend in
verticale richting op de locatie waar de verplaatsingen van het
systeem het grootst zijn ten tijde dat het systeem beweegt in de
fundamentele trilvorm (ofwel: halverwege de overspanning).
De formule voor het bepalen van de eigenfrequentie die hoort bij
de fundamentele trilvorm (in geval het systeem aan weerszijden
scharnierend is opgelegd) is gegeven in formule 1:
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
(1)
waarin:
f
e is fundamentele eigenfrequentie [Hz]
E is elasticiteitsmodulus beton [N/m
2]
I is oppervlaktetraagheidsmoment doorsnede [m
4]
µ is gewicht brugdek [kg/m]
L is lengte overspanning [m]
Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018
48
overspannig ca. 20 mm
k c
verticale r eductiefac tor [-]
frequentie [H z]
0 1,9 2,2 2,7 3,5
1
De linkerzijde van de differentiaalvergelijking omschrijft de
eigenschappen van het brugdek en de rechterzijde is de belas-
tingsterm die aangrijpt op het systeem. Als de belasting wordt
aangebracht door een jogger kan de belastingsterm worden
uitgedrukt als gegeven in formule 4:
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
(4)
Hierin is:
f(t) de belasting geschreven als functie
van tijd [N]
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI
f
L?
?? ?
Formule 2:
max *1
*2
p
a
m ?
? ?
Formule 3:
( ;) ( ;) ( ;) ( ;)
Aw xt cw xt EIw xt p xt ? ????
?? ?
Formule 4:
? ? ?? ? ??? ? ? ;
pxt f t x vt Ht Ht Lv ? ? ?
?
?
??
? ?
Formule 6:
(0; ) ( ; 0) 0
w t wx ? ?
Formule 7:
?? ? ? b
t t-?
n 2
nn
0
n1 n ()
2
( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor 0
Yx
w xt P Y v e t dt Lv
AL ? ? ?? ? ?
? ?? ? ?
? ? ? ??? ?
?
Formule 8:
?? ? ? b
Lv t-?
n 2
nn
0
n1 n
/ ()
2
( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor
Lv
Yx
w xt P Y v e t d t
AL ? ? ?? ? ?
? ?? ? ?
? ? ??? ? ?
Formule 9:
62
22
e 44 11 64.000 10 1, 7269 10
2, 47 [Hz]
2 2 2142 21, 37
EI
f
L??
?? ? ? ?? ?
? ? ?? ?
?
Formule 10:
het toepassen van de belasting f(t) in
0 < x < L in verloop van tijd, die wordt
gekenmerkt door toepassing van de
Dirac delta-functie, waarin v gelijk staat
aan de snelheid van de voortbewegende
functie f(t), en t de tijd [1/m]
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI
f
L?
?? ?
Formule 2:
max *1
*2
p
a
m ?
? ?
Formule 3:
( ;) ( ;) ( ;) ( ;)
Aw xt cw xt EIw xt p xt ? ????
?? ?
Formule 4:
? ? ?? ? ??? ? ? ;
pxt f t x vt Ht Ht Lv ? ? ?
?
?
??
? ?
Formule 6:
(0; ) ( ; 0) 0
w t wx ? ?
Formule 7:
?? ? ? b
t t-?
n 2
nn
0
n1 n ()
2
( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor 0
Yx
w xt P Y v e t dt Lv
AL ? ? ?? ? ?
? ?? ? ?
? ? ? ??? ?
?
Formule 8:
?? ? ? b
Lv t-?
n 2
nn
0
n1 n
/ ()
2
( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor
Lv
Yx
w xt P Y v e t d t
AL ? ? ?? ? ?
? ?? ? ?
? ? ??? ? ?
Formule 9:
62
22
e 44 11 64.000 10 1, 7269 10
2, 47 [Hz]
2 2 2142 21, 37
EI
f
L??
?? ? ? ?? ?
? ? ?? ?
?
Formule 10:
tijdsinterval dat in rekening moet
worden gebracht die nodig is om over
te steken, geschreven als een Heaviside-
functie [-]
De belasting f(t) is afhankelijk van de relatie tussen de stapfre-
quentie van de jogger en de bijbehorende snelheid, evenals de
relatie tussen de stapfrequentie van de jogger en de belasting
die wordt uitgeoefend door de jogger (fig. 5).
heid joggers die in rekening moet worden gebracht als de over
-
spanning ? 20 m, is 5. Als de overspanning > 20 m, moeten er
10 joggers in rekening worden gebracht.
Alternatief model
In geval van een betonnen brugdek met een korte overspan-
ning, waarbij de eigenfrequentie van het systeem binnen het
kritieke interval van de stapfrequenties voor joggers valt, over -
schrijdt de berekende versnelling volgens de SDOFM in bijna
alle gevallen de versnellingslimiet [4].
Om een beter beeld te krijgen van de werkelijk optredende
versnellingen, is zoals eerder gesteld een alternatief model
opgesteld. Dit model maakt gebruik van een belastingsfunctie
( f( t)) die zich in verloop van tijd over het brugdek voortbe-
weegt. Deze belastingsfunctie bevat een harmoniserende
puntlast die de jogger representeert. Verder is in het model
het brugdek aan weerszijden scharnierend opgelegd. Op basis
van dit model is een bewegingsvergelijking opgesteld, die
vervolgens analytisch is opgelost. De oplossing is een functie
die afhankelijk is van plaats en tijd. Met deze
functie kunnen de optredende verplaatsingen van het
brugdek worden bepaald. Het model is weergegeven in
figuur 4.
De gebruikte bewegingsvergelijking om het alternatieve model
te benaderen, is gegeven in formule 3:
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
Formule 4:
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
(3)
Hierin is:
? dichtheid beton [kg/m
3]
A oppervlakte doorsnede [m
2]
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI
f
L?
?? ?
Formule 2:
max *1
*2
p
a
m ?
? ?
Formule 3:
( ;) ( ;) ( ;) ( ;)
Aw xt cw xt EIw xt p xt ? ????
?? ?
Formule 4:
? ? ?? ? ??? ? ? ;
pxt f t x vt Ht Ht Lv ? ? ?
?
?
??
? ?
Formule 6:
(0; ) ( ; 0) 0
w t wx ? ?
Formule 7:
?? ? ?
b
t t-?
n 2
nn
0
n1 n ()
2
( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor 0
Yx
w xt P Y v e t dt Lv
AL ? ? ?? ? ?
? ?? ? ?
? ? ? ??? ?
?
Formule 8:
?? ? ?
b
Lv t-?
n 2
nn
0
n1 n
/ ()
2
( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor
Lv
Yx
w xt P Y v e t d t
AL ? ? ?? ? ?
? ?? ? ?
? ? ??? ? ?
Formule 9:
62
22
e 44 11 64.000 10 1, 7269 10
2, 47 [Hz]
2 2 2142 21, 37
EI
f
L??
?? ?
? ?? ?
? ? ?? ?
?
Formule 10:
(x; t) tweede afgeleide van de verplaatsing, die is geschre-
ven als functie van plaats en tijd, naar tijd, oftewel de
versnelling [m/s
2]
c gelijkmatig verdeelde demping [(kg/s)/m]
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI
f
L?
?? ?
Formule 2:
max *1
*2
p
a
m ?
? ?
Formule 3:
( ;) ( ;) ( ;) ( ;)
Aw xt cw xt EIw xt p xt ? ????
?? ?
Formule 4:
? ? ?? ? ??? ? ? ;
pxt f t x vt Ht Ht Lv ? ? ?
?
?
??
? ?
Formule 6:
(0; ) ( ; 0) 0
w t wx ? ?
Formule 7:
?? ? ?
b
t t-?
n 2
nn
0
n1 n ()
2
( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor 0
Yx
w xt P Y v e t dt Lv
AL ? ? ?? ? ?
? ?? ? ?
? ? ? ??? ?
?
Formule 8:
?? ? ?
b
Lv t-?
n 2
nn
0
n1 n
/ ()
2
( ; ) sin( ) ( ) sin ( ) voor
Lv
Yx
w xt P Y v e t d t
AL ? ? ?? ? ?
? ?? ? ?
? ? ??? ? ?
Formule 9:
62
22
e 44 11 64.000 10 1, 7269 10
2, 47 [Hz]
2 2 2142 21, 37
EI
f
L??
?? ?
? ?? ?
? ? ?? ?
?
Formule 10:
(x; t) eerste afgeleide van de verplaatsing, die is geschreven
als functie van plaats en tijd, naar tijd, oftewel de
snelheid [m/s]
E elasticiteitsmodulus beton [N/m
2]
I oppervlaktetraagheidsmoment doorsnede [m
4]
w'''' (x ; t) vierde afgeleide van de functie van de verplaatsing,
die is geschreven als functie van plaats en tijd, naar
plaats [m
-3]
p (x; t) functie van de belasting afhankelijk van plaats en
tijd [N/m]
2
3
4
x = 0
t = 0 x = L
t = L/v
L
w x
v
x = vt
w(x;t)
f(t)
Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018
49
stapfrequentie [stap/s]
0,0
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
staplengte [m]
stapfrequentie [stap/s]
piekbelasting/ statisch gewicht
contact tijd [s]
3,0
2,0
1,0 0,6
0,4
0,2
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
2 Voetgangersbrug gemodelleerd als een
gedempt één-massa-veersysteem
3 Reductiefactor voor de verticale versnelling
door joggers, afhankelijk van de stapfre -
quentie [3]
4 Alternatief model [4]
5 Relatie tussen stapfrequentie van jogger
met de stapafstand (a), en piekbelasting en
statisch gewicht (b) [4]
b =
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
= vereenvoudiging van de notatie van de
differentiaalvergelijking [1/s]
c gelijkmatig verdeelde demping [(kg/s)/m]
P grootte van de joggerbelasting [N]
? stapfrequentie van de jogger [rad/s]
? integratievariabele [s]
Y
n (v?) plaatsafhankelijke functie uitgedrukt in snelheid en
integratievariabele [-]
v snelheid van de jogger [m/s]
t tijd [s]
De versnellingen van het brugdek kunnen worden berekend
door formule 7 en 8 tweemaal te differentiëren naar tijd.
Casestudy
De berekende versnellingen volgens het alternatieve model en
de berekende versnelling volgens de SDOFM zijn vergeleken
met een praktijksituatie. Hiertoe is een recentelijk gebouwde
betonnen voetgangersbrug te Eindhoven (2015), genaamd
brug 'Zwaaikom' (foto 1 en 6), gebruikt als casestudy. Deze
brug is aan weerszijden scharnierend opgelegd.
In twee situaties zijn de optredende versnellingen van het
brugdek halverwege de overspanning gemeten. In de eerste
situatie wordt één jogger beschouwd die over het brugdek
rent. In de andere situatie zijn er twee joggers die over het
brugdek rennen.
Voor het verkrijgen van de meetresultaten is de eigenfrequen-
tie van het brugdek niet bepaald en ook zijn de stapfrequenties
tijdens het rennen niet gemeten. De hoogst optredende
versnellingen die zijn gemeten, zijn verkregen als gevolg van
een proces van trial-and-error. De optredende versnellingen
zijn gemeten met een versnellingsmeter die geplaatst is
halverwege de overspanning. Beide testpersonen hebben een
gewicht van ongeveer 80 kg (= 800 N, gelijkwaardig uitgangs-
punt als [3]).
Parameters
De fundamentele eigenfrequentie van het systeem is berekend
in formule 9:
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62 22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. , f , L,
= = =
µ
(9)
Ter plaatse van de opleggingen treden er geen verplaatsingen
op, evenals dat er geen momenten optreden. Deze randvoor
-
waarden voor de bewegingsvergelijking in de gegeven situatie
zijn gegeven in formule 5.
Formule 10:
= = =
2
2 1 1250
11
1 1 74 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max
()
p*
a ,
m* , ( , ) ,
Formule 11:
Vervanging formule (5):
==
==
00
00
\f ( ;t ) \f ( L;t ) \f \b\b ( ; t ) \f \b\b( L ; t )
Vervanging (6):
==? 0 00 \f(x; ) \f(x; )
= = =
2
2 2 1250
11
1 3 48 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max
()
p*
a ,
m* , ( , ) ,
(5)
In het model is ervan uitgegaan dat de brug volledig in rust is
op het moment dat de jogger de brug betreedt. De beginvoor -
waarden voor de bewegingsvergelijking zijn gegeven in
formule 6:
Formule 10:
= = =
2
2 1 1250
11
1 1 74 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max
()
p*
a ,
m* , ( , ) ,
Formule 11:
Vervanging formule (5):
==
==
00
00
\f ( ;t ) \f ( L;t ) \f \b\b ( ; t ) \f \b\b( L ; t )
Vervanging (6):
==? 0 00 \f(x; ) \f(x; )
= = =
2
2 2 1250
11
1 3 48 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max
()
p*
a ,
m* , ( , ) ,
(6)
Het oplossen van de differentiaalvergelijking resulteert in
formules voor het bepalen van de verplaatsingen van het
brugdek in verloop van tijd. Er is onderscheid gemaakt
tussen de situatie waarbij joggers aanwezig zijn op het
brugdek en de situatie waarbij de joggers niet meer aanwezig
zijn op het brugdek, zie formule27 en 8. In dit artikel wordt
gekeken naar de verplaatsingen die optreden halverwege de
overspanning.
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn 0
n1 n 2 voor 0 Y (x) w ( x ; t ) P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = < ?
?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
voor
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
(7)
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn 0
n1 n
2 voor Y (x) w ( x ; t ) P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f ?
?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
voor
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
(8)
Hierin is:
w(x;t) verplaatsing van de ligger als functie van plaats en
tijd [m]
? dichtheid beton [kg/m 3]
A oppervlakte doorsnede [m
2]
L lengte van de ligger [m]
plaatsafhankelijke functie [-]
?n eigenhoekfrequentie van de beschouwde eigentril -
vorm [rad/s]
? =
Formule 1:
2
e 4 1
2 EI f L = µ
Formule 2:
=
1
2 max p*
a
m*
Formule 3:
Aw ( x;t ) \fw ( x;t ) EIw ( x;t ) p( x;t ) ++ = ?? ?
&}?u?o?W
( ) () ( ) () ( ) p x ; t f t x vt H t H t L v 2 xp ? ???
Formule 6:
==? 0 00 w( x; ) w( x; )
Formule 7:
() () \b t-
t
n 2
nn
0
n1 n 2
voor 0 Y (x) w ( x ; t )P s i n ( )Y ( v )e s i n ( t ) d t L v AL
= = <
? ?
Formule 8:
() () \b t-
Lv
n 2
nn
0
n1 n 2
voor Y (x) w ( x ; t )P s i n( )Y ( v )e si n ( t ) d t L v AL
= = \f
? ?
2
2 1 4 n
\b = =
\f
A =
Formule 9:
62
22
e 4 4 1 1 64 000 10 1 7269 10 2 47 [Hz] 2 22142 21 37
EI. ,
f ,
L,
= = =
µ
factor voor de bepaling van de
gedempte eigenhoekfrequentie [-]
5b 5a
Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018
50
6 Gemeten versnellingen halverwege de
overspanning door één jogger
7 Berekende versnellingen halverwege
de overspanning volgens het alterna-
tieve model door één jogger 8
Gemeten versnellingen halverwege
de overspanning door twee joggers
9 Berekende versnellingen halverwege
de overspanning volgens het alter -
natieve model door twee joggers
Resultaten
Resultaten van beide situaties laten zien dat het alternatieve
model de werkelijk optredende versnellingen van een betonnen
brug met een korte overspanning beter benadert, in tegenstel-
ling tot het berekende resultaat volgens de SDOFM die wordt
voorgeschreven door de EUR 23984 EN.
Conclusies
De werkelijk optredende versnellingen van een brugdek dat aan
weerszijden scharnierend is opgelegd, als gevolg van joggers die
over het brugdek heen rennen, worden aanzienlijk overschat
als de SDOFM uit de EUR 23984 EN wordt gebruikt. In deze
methode wordt de te verwachten versnelling van het systeem
berekend ten tijde van de steady-state. Het alternatieve model
dat is voorgesteld in dit artikel, waarin een jogger is gemodel-
leerd als een harmoniserende puntlast die zich voortbeweegt in
verloop van tijd, benadert de werkelijk optredende versnellin-
gen van het brugdek beter.
Discussiepunten
Uit het eerdergenoemde afstudeeronderzoek [4] is een aantal
aandachtspunten naar voren gekomen. In geval van de case-
study moet aandacht worden besteed aan het (gelijktijdig)
voortbewegen over het brugdek in een stapfrequentie die gelijk
is aan de eigenfrequentie van de brug. Als hier ook maar iets
van wordt afgeweken, zal resonantie niet optreden. Dit samen
met het feit dat joggers die over een brug met een korte over -
spanning rennen enkel voor een korte tijdsperiode hierop
aanwezig zijn, kan worden gesteld dat grote versnellingen in
geen geval zullen optreden.
Overigens is het zeer onwaarschijnlijk dat joggers onderling
een stapfrequentie hebben die gelijk aan elkaar is,
omdat personen onderling veelal een ander gewicht en een
andere heuphoogte hebben. Hierdoor kan al een klein verschil
in stapfrequentie tussen de joggers optreden, wat als gevolg
heeft dat resonantie van het brugdek niet zal optreden.
In geval van een brugdek met een korte overspanning kan
de steady-state niet worden bereikt, omdat de joggers enkel
voor een korte tijdsperiode op het brugdek aanwezig zijn.
De richtlijn EUR 23984 EN schrijft voor om de versnelling uit
de steady-state toe te passen, waarbij joggers zijn gepositio-
neerd halverwege het brugdek, wat een zeer conservatieve
benadering is.
Als in een ontwerp van een voetgangersbrug wordt gekeken
naar de optredende versnellingen, moet er een duidelijk
verschil worden gemaakt tussen comfort en vandalisme
De berekende eigenfrequentie is kleiner dan 5 Hz. Om deze
reden is comfort beschouwd.
Gemeten versnellingen door één jogger
De optredende versnellingen die zijn gemeten als gevolg van
één jogger zijn gegeven in figuur 7.
Alternatief model bij één jogger
De berekende versnellingen van het brugdek volgens het alter
-
natieve model zijn gegeven in figuur 8. De berekende versnel-
lingen zijn opgesplitst in twee delen. Hierin is het eerste deel de
tijdsperiode waarin de jogger aanwezig is op de brug (blauwe
lijn) en het tweede deel de tijdsperiode waarin de jogger niet
meer aanwezig is op de brug en de brug uitdempt (rode lijn).
SDOFM bij één jogger
De optredende versnelling berekend volgens de SDOFM in de
steady-state is gegeven in formule 10. Een reductiefactor van
? = 1,0 is toegepast volgens figuur 3. Ter indicatie is in figuur 8
ook de ontwikkeling van de optredende versnellingen gegeven
in verloop van tijd, als de SDOFM als rekenmethode wordt
gebruikt (oranje lijn).
Formule 10:
= = =
2
2
1 1250 11 1 1 74 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max
()
p* a , m* , ( , ) ,
Formule 11:
Vervanging formule (5):
==
==
00
00
\f ( ;t ) \f ( L;t ) \f \b\b ( ; t ) \f \b\b( L ; t )
Vervanging (6):
==? 0 00 \f(x; ) \f(x; )
= = =
2
2 2 1250
11
1 3 48 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max
()
p*
a ,
m* , ( , ) ,
(10)
Gemeten versnellingen door twee joggers
De optredende versnellingen die zijn gemeten als gevolg van
twee joggers zijn gegeven in figuur 9.
Alternatief model bij twee joggers
Net als in het geval er één jogger over de brug rent, laat
figuur 10 de berekende versnellingen van het brugdek zien
volgens het alternatieve model als er twee joggers over het
brugdek rennen. De berekende versnellingen zijn weer opge-
splitst in twee delen, waarin het eerste deel de tijdsperiode is
waarin de joggers aanwezig zijn op de brug (blauwe lijn) en
het tweede deel de tijdsperiode is waarin de joggers niet
meer aanwezig zijn op de brug en de brug uitdempt (rode lijn).
SDOFM bij twee joggers
De optredende versnelling berekend volgens de SDOFM in de
steady-state is gegeven in formule 11. Een reductiefactor van
? = 1,0 is toegepast volgens figuur 3. Ter indicatie is in
figuur 10 ook de ontwikkeling van de optredende versnellingen
gegeven in verloop van tijd als de SDOFM als rekenmethode
wordt gebruikt (oranje lijn).
Formule 10:
= = =
2
2 1 1250
11
1 1 74 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max
()
p*
a ,
m* , ( , ) ,
Formule 11:
Vervanging formule (5):
==
==
00
00
\f ( ;t ) \f ( L;t ) \f \b\b ( ; t ) \f \b\b( L ; t )
Vervanging (6):
==? 0 00 \f(x; ) \f(x; )
= = =
2
2
2 1250 11 1 3 48 [m/s ] 2 0 5 2142 21 37 2 0 01 max
()
p* a , m* , ( , ) , (11)
Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018
51
? LITERATUUR
1 Nationale Bijlage bij Eurocode 1990 Grondslagen van het construc-
tief ontwerp (2011). Delft: Nederlands Normalisatie-instituut.
2 Nationale Bijlage bij Eurocode 1991-2 Verkeersbelasting op bruggen
(2011). Delft: Nederlands Normalisatie-instituut.
3 EUR 23984 EN, Design of Lightweight Footbridges for Human
Induced Vibrations (mei 2009). JRC European Commission.
4 Beers, F.N. (april 2014). Trillingen van betonnen voetgangersbruggen.
Afstudeerscriptie, Technische Universiteit Delft.
(gerelateerd aan UGT). In geval van vandalisme is het
misschien mogelijk de optredende versnelling in de steady-
state als gevolg van de SDOFM te gebruiken. In geval van
comfort wordt aanbevolen het voorgestelde alternatieve
model te gebruiken.
?
versnellingen [m/s
2]
tijd [s]
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0
-0,20
-0,40
-0,60
-0,80
-1,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1 2 3 4 \
5 6 7 8 9 10 \
11 12 13 14 15
versnellingen [m/s
2]
tijd [s]
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0
-0,20
-0,40
-0,60
-0,80
-1,00
6
7 SDOFM volgens EUR 23984 EN
jogger op brug
geen jogger op brug
1,601,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20 0
-0,20
-0,40
-0,60
-0,80
-1,00
-1,20
-1,40
-1,60 1 2 3 4 \
5 6 7 8 9 10 \
11 12 13 14 15
1,60
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20 0
-0,20
-0,40
-0,60
-0,80
-1,00
-1,20
-1,40
-1,60
8
9
versnellingen [m/s
2]
tijd [s]
versnellingen [m/s
2]
tijd [s] SDOFM volgens EUR 23984 EN
jogger op brug
geen jogger op brug
Joggersbelasting in norm re?el? 8 2018
Reacties