themaToetsing EEM3201432themaToetsing EEMDe fib Model Codes zijn aanbevelingen voor het ontwerpen van gewapend en voorgespannenbeton, gebaseerd op de nieuwste inzichten. Het doel is richting te geven aan toekomstige normen.De nieuwste Model Code 2010 [1] geeft extra houvast voor het uitvoeren van niet-lineaire analyses,en niet-lineaire eindige-elementenanalyses in het bijzonder.1Niet-lineaire analyses en toetsing binnen fib Model Code 2010 en Eurocode 2Toetsing EEM 32014 33constructie sneden materiaalbelastingen, Flineairmodel / EEMmateriaalsterkten, fniet-lineairdoorsnede modelsnedegrootheden, Edsnedesterkten, Rdverificatie Ed Rd(aanpassen)wapenings-configuratieconstructie sneden materiaalbelastingen, Fniet-lineair EEMmateriaal-sterkten, fverificatie Fd Rdniet-lineairmateriaalmodelinterpretatiesnedegroothedenaangenomenwapeningsconfiguratieLineair constructiemodel ? niet-lineairdoorsnedemodelDe gangbare wijze van ontwerpen van betonnen constructies isge?llustreerd in figuur 2. De toetsing vindt plaats op snedeni-veau. De doorsneden worden getoetst op (combinaties van)buiging, normaalkracht, afschuiving en wringing. Bij deze veri-ficatie komen twee paden samen: een pad voor de belastingenen een pad voor de sterkte. In het eerste pad worden snede-krachten (Ed) bepaald uitgaande van belastingen (F). Ditgebeurt met een lineair model, vaak met een eindige-elemen-tenmodel (EEM). In veruit de meeste gevallen is dit de wijzewaarop eindige-elementenmodellen in de praktijk wordengebruikt. In het tweede pad worden snedesterkten (Rd) bepaalduitgaande van materiaalsterkten (f). Bij het toetsen wordt dewapeningsconfiguratie eventueel aangepast. Het niet-lineaireprof.dr.ir. Max HendriksTU Delft, fac. CiTG / NTNUNoorwegendr.ir. ane de BoerRijkswaterstaat, GPO1 Experiment bezwijklast betonnen plaat S7T3, Stevinlaboratorium TU Delft2 De standaardwijze voor het ontwerpen van betonnen constructies3 De ge?ntegreerde wijze voor het ontwerpen van betonnen constructies opbasis van de niet-lineaire eindige-elementenmethodeDe voorlaatste Model Code 1990 [2] introduceerde constitu-tieve relaties voor beton die geschikt zijn voor niet-lineaireeindige-elemententoepassingen. De inspiratie was indertijd deopkomst van nieuwe en krachtige eindige-elementenprogram-matuur [3]. Ontwikkelaars en gebruikers van deze softwarebaseerden hierop ontwikkelingen van numerieke materiaalmo-dellen en specificaties van materiaalparameters.De nieuwste Model Code 2010 heeft het concept van `levels ofapproximation' ge?ntroduceerd (zie kader). Daarmee wordtonderscheid gemaakt tussen relatief eenvoudige toepassingenvoor de dagelijkse praktijk en toepassingen die een meerprecieze benadering vereisen, bijvoorbeeld in verband metsubstanti?le financi?le consequenties voor het versterken vanbestaande constructies. De Model Code geeft voor het toetsen,naast de bekende `safety formats' op basis van parti?le veilig-heidsfactoren, ook een globaal veiligheidsconcept. Deze`globale safety formats' zullen een belangrijke extra ondersteu-ning zijn voor niet-lineaire eindige-elementenanalyses.In dit artikel worden de achtergronden van de globale safetyformats toegelicht en wordt ingegaan op hoe deze zich verhou-den tot de Eurocode 2 [4]. Dit wordt onderbouwd met eenvoorbeeld.Levels of ApproximationVan de eerste Gewapend Beton Voorschriften in Nederland uit1912 tot en met de Eurocode (2012) zijn de constructievoor-schriften steeds uitgebreider en complexer geworden. Voor eeneenvoudig voorontwerp met standaardconstructie-elementenkunnen de huidige voorschriften te complex zijn geworden.Maar voor complexe ontwerpen of voor herbeoordeling vanbestaande kritische elementen waarbij verfijndere analyses zijnbenodigd, bieden de voorschriften juist te weinig ondersteuning.Als reactie hierop is een ontwerpfilosofie ontwikkeld gebaseerdop zogenoemde Levels of Approximation [5], een aanpak die isge?ntroduceerd in de Model Code 2010. In opeenvolgende levelsworden de uitdrukkingen voor het ontwerp steeds verfijnder ennauwkeuriger. Daarmee wordt een steeds nauwkeuriger schat-ting gemaakt van de sterkte en het gedrag. Level I is de meesteenvoudige en ook snelste methode. Level IV staat voor eenvolledige niet-lineaire eindige-elementenberekening. Door eengeschikt level te gebruiken, afhankelijk van de toepassing, is decomplexiteit van de voorschriften adequaat.23themaToetsing EEM3201434IPE 700, 2100 mmspecimen 5000 x 2500 x 3003x dywidag 36,+ load cells2 x IPE 700,3300 mmhinge 3300 kNload 2000 kNload cell2x HEM 300support8 mm plywoodfelt 100 x 10 / 100 x 15support 8 mm plywood,felt 100 x 10 / 100 x 155 mm feltloading plate200 x 200 / 300 x 300HEB240load cell 100 Ton, F2054 Zijaanzicht van de proefopstelling van het belastingsexperimentVoor bepaalde gevallen is het toch zonder meer nodig snede-grootheden te bepalen en te toetsen. Dit is het geval als degekozen eindige-elementenformulering niet toereikend is ombepaalde bezwijkmechanismen te simuleren. Denk hierbijvoorbeeld aan de beperkte mogelijkheden van schaalelemen-ten om afschuiving of pons te modelleren.Omdat de ontwerpwijze via de ge?ntegreerde niet-lineaireanalyses van figuur 3 essentieel verschilt met de wijze vanfiguur 2, staat ook het toetsen met het safety format op basisvan de gebruikelijke parti?le veiligheidsfactoren ter discussie.Sterker nog, het gebruik van ontwerpwaarden voor de materi-aalparameters in niet-lineaire analyses moet worden ontraden.Immers, deze zeer conservatieve waarden kunnen ertoe leidendat de niet-lineaire analyse niet-realistische bezwijkmechanis-men simuleert [6]. Het idee van de safety formats voor niet-lineair rekenen is dat bij niet-lineaire analyses `meer realisti-sche' materiaalparameters moeten worden gebruikt. Om tocheen vergelijkbaar veiligheidsniveau te krijgen, wordt deontwerpwaarde van de belastingen verhoogd.In de nieuwste Model Code 2010 zijn hier nu aanbevelingenover, vandaar het grote belang van de Model Code voor niet-lineair rekenen.gedrag van beton is verwerkt in dit tweede pad. Dit tweede pad(rechterpad in figuur 2) is dus niet-lineair; het eerste (linker) islineair.In dit opzicht is de methodiek niet consistent. Er worden tweeverschillende modellen (lineaire en niet-lineaire) gehanteerd voorhetzelfde materiaal. Het gebruik van gereduceerde stijfheden voor`gescheurd beton' bij bepaalde belastingen kan worden ge?nterpre-teerd als een middel om deze inconsistentie te verzachten. Opdeze wijze wordt toch een realistischer herverdeling van de krach-ten in de constructie meegenomen. Voor de toetsing op snedeni-veau worden in deze methodiek zeer conservatieve materiaal-sterkten gebruikt, de ontwerpwaarden.Een ander probleem kan zich voordoen bij niet-traditionele enbij, vanuit mechanisch oogpunt, complexe ontwerpen. Hettoetsen op snedeniveau kan dan lastig zijn omdat de bestaandedoorsnedemodellen te eenvoudig blijken of omdat de kritischesneden moeilijk zijn te identificeren. In de praktijk wordt ditopgelost met extra conservatieve aannamen.Echter, in de meeste gevallen spelen deze problemen niet ofnauwelijks. De methode is goed ingebed in de Eurocode. Ditverklaart mede de populariteit.Niet-lineair rekenenNaast de methode van het `lineaire constructiemodel ? niet-lineair doorsnedemodel' zijn er verschillende redenen omconstructies volledig niet-lineair te analyseren. Deze analysesworden ingezet om experimenten te kunnen voorspellen eninterpreteren of om resultaten te kunnen extrapoleren. Zekunnen worden ingezet bij het doorontwikkelen van normen.In schadegevallen kunnen ze helpen de oorzaak te verifi?ren.Voor de praktijk is (her-)ontwerpen de belangrijkste toepassingvan niet-lineair rekenen. Door de werkelijkheid beter te bena-deren, kunnen kosten worden bespaard.Deze methodiek is ge?llustreerd in figuur 3. Hieruit blijkt datbij niet-lineaire analyses een essentieel andere situatie speelt.Waar in figuur 2 een constructiemodel en een doorsnedemodelnaast elkaar staan, toont figuur 3 een ge?ntegreerd model opconstructieniveau dat gebruikmaakt van spanningsherverdelin-gen. Dit kan omdat de niet-lineaire eigenschappen van betonen betonstaal deel uitmaken van het model op constructieni-veau. De verificatie vindt nu rechtstreeks plaats op basis vanmaximale belastingen: Fdis de ontwerpbelasting en Rdstaatvoor de ontwerpwaarde van de capaciteit van de constructie enniet van de snede. Deze wordt bepaald aan de hand van deverkregen capaciteit R, zoals voorspeld door de niet-lineaireanalyses. Snedegrootheden spelen niet meer direct een rol. Zekunnen worden bepaald via postprocessing van de spanningen.Op deze wijze kunnen de niet-lineaire resultaten beter wordenge?nterpreteerd.4Toetsing EEM 32014 355 Vervormingen en scheurpatroon op het moment van bezwijken volgens eenniet-lineaire analyse met gemiddelde materiaalparameters6 De fib Model Code 2010Overigens staat de Model Code ook nog de PF-methode(Partial Factor) toe, waarbij een niet-lineaire berekening metontwerpwaarden voor de materiaalparameters wordt gebruikt:cm ym nomdR( , , )1,06R f f aR =ck yk nomd(0,85 ,1,1 , )1,27R f f aR =ck cM yk yM nomd( , , )1R f f aR =De verkregen draagkracht is dan ook meteen de ontwerp-waarde. Zoals gezegd, deze laatste methode is niet aan tebevelen.In het bovenstaande zijn onzekerheden in materiaaleigenschap-pen en geometrie expliciet genoemd. Een cruciaal onderdeelvan de safety formats is daarnaast de modelonzekerheid (vande sterktekant). Men gaat ervan uit dat ervaren modelleurs deeindige-elementenberekeningen maken. Voorts dienen demodellen goed te worden gevalideerd. Om hiermee behulp-zaam te zijn, is in Nederland een richtlijn opgesteld voor niet-lineaire eindige-elementenberekeningen van betonconstructies.Deze is uitgebracht als een Rijkswaterstaat Technisch Docu-ment. Deze richtlijn is ingebed in de Eurocode 2 en de fibModel Code 2010.VoorbeeldExperimenten uitgevoerd door Lantsoght [8] in het Stevinlabo-ratorium van de TU Delft zijn gebruikt om de safety formats teevalueren. In een van die testen, S4T1, wordt een plaat getestvan 5 ? 2 m2met een dikte van 30 cm (foto 1 en fig. 4). Degewapende plaat wordt belast door een geconcentreerde belas-Safety formats voor niet-lineair rekenenDe Model Code 2010 geeft twee globale safety formats. DeGRF-methode (afkorting van Global Resistance Factor) leidt deontwerpwaarde van de capaciteit Rdaf van een berekendewaarde R die is bepaald met een niet-lineaire analyse met mate-riaalparameters afgeleid van de karakteristieke waarden:cm ym nomdR( , , )1,06R f f aR =ck yk nomd(0,85 ,1,1 , )1,27R f f aR =ck cM yk yM nomd( , , )1R f f aR =Met anomwordt expliciet aangegeven dat het eindige-elemen-tenmodel, zoals gebruikelijk, nominale afmetingen gebruikt.Vergeleken met de ontwerpwaarden van materiaalparametersgebruikt de GRF-methode karakteristieke, en dus inderdaadhogere waarden (fck, fyk). De door de berekening voorspeldedraagkracht wordt gedeeld door een globale veiligheids-factor van 1,27. De GRF-methode is ook onderdeel van deEurocode 2 [4].De alternatieve ECOV-methode (Estimation of Coefficient ofVariation) gaat uit van nog hogere materiaalparameters, name-lijk de gemiddelde waarden:cm ym nomdR( , , )1,06R f f aR =ck yk nomd(0,85 ,1,1 , )1,27R f f aR =ck cM yk yM nomd( , , )1R f f aR =Bij bestaande constructies kunnen deze waarden afkomstig zijnvan materiaalproeven op boorkernen. De globale veiligheids-factor staat nu niet vast, maar wordt bepaald met behulp vaneen tweede niet-lineaire analyse met karakteristieke waarden.Hiermee wordt de global resistance factor Rbepaald, zoalsaangegeven in de Model Code. Het werk van Schlune [6] envan Allaix [7] geven meer details en zijn zeer nuttig bij hetraadplegen van de Model Code.56themaToetsing EEM3201436level I level IVPFlevel IVGRFlevel IVECOVgem.0102030405060708090100Rd/Rexp[%]7 Capaciteiten volgens een analytische methode van de fib Model Code 2010(level I) en volgens niet-lineaire eindige-elementenanalyses (level IV) metbehulp van drie verschillende safety formats, alle als percentage van deexperimenteel bepaalde bezwijklast RexpTot slotMet safety formats die geschikt zijn voor niet-lineaire analysesen met het concept van levels of approximation heeft de ModelCode een nieuwe stimulans gegeven voor het gebruik van niet-lineaire analyses. Het safety format van de Eurocode komtovereen met de GRF-methode. Voor de praktijk zal ook hetrobuuster maken van niet-lineaire analyses van belang zijn.Methoden op basis van een sequentie van lineaire analysesbeogen dit. Wat ontbreekt in de Model Code zijn aanbevelin-gen om een niet-lineaire eindige-elementenberekening uit tevoeren, te rapporteren en, daarmee samenhangend, modelfou-ten te limiteren. De genoemde Nederlandse richtlijnen gevendaartoe een aanzet. literatuur1 fib Model Code for Concrete Structures 2010. Ernst & Sohn, 2013.2 CEB-FIP Model Code 1990. Comit? Euro-International du B?ton(CEB) & F?d?ration International de la Pr?contrainte (FIP), 1993.3 Walraven, J.C., fib Model Code for Concrete Structures 2010: maste-ring challenges and encountering new ones. Structural Concrete 14,No. 1 2013, pp. 3-9.4 NEN-EN 1992-2 Eurocode 2, Deel 2: Bruggen ? Regels voor ontwerpen berekening en voor detaillering.5 Muttoni, A., Fern?ndez Ruiz, M., Levels-of-Approximation approachin codes of practice, Structural Engineering International. Journal ofthe International Association for Bridge and Structural Engineering(IABSE), Switzerland, Vol. 2, 2012, pp. 190-194.6 Schlune, H., Safety Evaluation of Concrete Structures with NonlinearAnalysis. Proefschrift Chalmers University of Technology, 2011.7 Allaix, D., Carbone, V., Mancini, G., Global safety format for non-linearanalysis of reinforced concrete structures. Structural Concrete 14,No. 1, 2013, pp. 29-42.8 Lantsoght, E.O.L., Veen, C. van der, Walraven, J.C., Shear in One-WaySlabs under Concentrated Load Close to Support. ACI StructuralJournal, March-April 2013, pp. 275-284.9 Belletti, B., Damoni, C., Hendriks, M.A.N., Uijl, J.A. den, Nonlinear finiteelement analyses of reinforced concrete slabs: comparison of safetyformats. VIII International Conference on Fracture Mechanics ofConcrete and Concrete Structures (FraMCoS-8), 2013.10 Boer, A. de, Hendriks, M.A.N., Uijl, J.A. den, Belletti, B., Damoni, C.,Guidelines for modelling concrete infrastructure objects. Confe-rence on computational modeling of concrete and concrete struc-tures (Euro-c), 2014.11 Guidelines for Nonlinear Finite Element Analysis of Concrete Struc-tures; Scope: Girder Members, Rijkswaterstaat technisch documentRTD 1016:2012.12 Hendriks, M., Uijl, J. den, Boer, A. de, Richtlijn NL-EEM berekeningen? Niet-lineaire analyses binnen Eurocode 2 en fib Model Code 2010.Cement 2012/4, pp. 76-81.ting vlak bij een lijnoplegging. De lijnoplegging aan de anderezijde simuleert een doorgaande plaat op een tussensteunpunt.Dit is bewerkstelligd met drie verticale staven onder voorspan-ning. De plaat bezwijkt onder afschuiving over een grote wijdtevan de plaat.Niet-lineaire eindige-elementenberekeningen door Belletti enanderen [9, 10] simuleren het gedrag van de plaat (fig. 5).Hierbij wordt gebruikgemaakt van bovengenoemde richtlijn[11, 12]. Figuur 7 geeft een typisch resultaat waarbij de resulta-ten van niet-lineaire analyses volgens drie safety formats,aangegeven als level of approximation IV, worden vergeleken.De verticale as geeft de verkregen ontwerpwaarde van de capa-citeit als percentage van de experimenteel bepaalde capaciteit.De Model Code geeft voor platen zonder dwarskrachtwapeningeen analytische methode voor het bepalen van de ontwerp-waarde van de afschuifcapaciteit. Deze is in de figuur aangege-ven met level of approximation I. Deze methode I is bedoeldvoor nieuwe constructies en is de gangbare methode volgensfiguur 2. Als extra kolom is de numeriek bepaalde capaciteitgegeven voor gemiddelde materiaalparameters en zonderglobale veiligheidsfactor. Dit is dus uitdrukkelijk geen ontwerp-waarde.De figuur laat zien dat alle numeriek aangetoonde dwars-krachtcapaciteiten volgens level of approximation IV lager zijndan de experimentele waarden en hoger zijn dan de analytischewaarden. Het bevestigt daarmee het idee van de levels ofapproximation van de Model Code: het loont te investeren inde analysemethode.7