64 Inleiden krachten in betondoorsnede 1 EEM goed alternatief voor staafwerkmodellen Inleiden krachten in betondoorsnede 2 2016 65 16850 spanningen liggerkop 732 608 550 510 800 1600 Pm (3) 16850 spanning 1 spanning 2 spanning 3 Pm (1) 16850 Pm (2) 1,25 ~ 2,0 6,29 4,53 ~ 6,0 = 5 MPa drukstaven trekstaven spanning ~ 2 × storingslengte 750 × 2000 3750 kN 1875 kN 1875 kN 1875 kN 1875 kN 3750 kN 333 667 667 333 ~ 1000 D-gebied  Afbuigende trajectoriën  Spanningsanalyse nodig  Benaderen met staafwerkmodel B-gebied  Spanningstrajectoriën horizontaal  Spanningstoestand bekend  Buigtheorie van toepassing Bij het inleiden van grote krachten in een beton- doorsnede treden, door het in de dwarsdoorsnede 'uitwaaieren' van de krachten, altijd (splijt)trek- krachten op. Dit is bijvoorbeeld het geval bij voorgespannen balken. De trekkrachten staan bij benadering haaks op de werklijn van de in te leiden krachten en worden normaal gesproken door wapening opgenomen. Voor het benaderen van die krachten kan, als alternatief op de gebruikelijke staafwerkmodellen, ook gebruik worden gemaakt van EEM-modellen. Dit zal worden toegelicht aan de hand van een reken- voorbeeld. De uitkomsten worden vergeleken met een berekening volgens de ROK1.2. Gewoonlijk worden de posities en de grootten van de splijt- krachten bepaald met behulp van staafwerkmodellen. Hierbij wordt de spanningstoestand in de doorsnede, zoals die na een bepaalde 'storingslengte' is ingesteld (bijvoorbeeld 2× doorsne- dehoogte), vertaald naar trek- en drukstaven die evenwicht moeten maken met de in te leiden krachten. Dit is een relatief bekend proces, waarvan in figuur 2 een voorbeeld is gegeven. Het betreft twee geconcentreerde krachten van gelijke grootte die een dwarsdoorsnede centrisch belasten. Na een zekere storingslengte is de spanningsverdeling lineair-elastisch (Bernoulli; B-gebied). De staven van het staafwerkmodel maken de aansluiting tussen de spanningsverdeling in het B-gebied en de geconcentreerde krachten. De zone waar- binnen dit plaatsvindt, wordt vaak het D-gebied (discontinu) genoemd. Kanttekeningen Hoewel de voorgenoemde methode voor inzicht in het ontstaan van splijtkrachten zorgt, is er toch een aantal kant- tekeningen bij te plaatsen. - In de eerste plaats betreffen de in te leiden krachten (bijna) nooit een statisch geheel. In het geval van een nagespannen betondoorsnede is er meestal sprake van voorspanelementen die in verschillende stappen worden aangespannen (fig. 3). Bij deze verschillende stappen horen verschillende spannings - toestanden. Elke spanslag moet dus met een afzonderlijk vakwerkmodel worden beschouwd. Dit geeft aanleiding tot veel rekenwerk. - In de tweede plaats is het bepalen van de positie van de splijt- krachten vaak een benadering die op vuistregels is gebaseerd. Of de optredende krachten zich ook werkelijk op de aange- nomen positie bevinden, blijft min of meer onzeker. In een uiterste grenstoestand kan prima evenwicht worden gevonden. Echter, wanneer de wapening ook scheurvorming moet beheersen, is het raadzaam wat meer informatie over de positie van de splijtkrachten te hebben. - In de derde plaats zijn de gebruikte staafwerkmodellen over het algemeen gebaseerd op standaardgevallen. Bij afwijkende doorsneden gelden de standaardgevallen eigenlijk niet en moet de constructeur zelf een alternatief opstellen. 'Nieuwe' praktische methode Om aan bovengenoemde bezwaren tegemoet te komen, kan gebruik worden gemaakt van rekenprogramma's gebaseerd op de eindige-elementenmethode (EEM). Door een model te maken van de zone waar de kracht moet worden ingeleid, Inleiden krachten in betondoorsnede ing. Bart Vosslamber MSEng RC Heijmans Infra 1 Voorspanningskabelsfoto: Tensa B.V.2 Voorbeeld van een staafwerkmodel; het inleiden van twee krachten 3 Verschillende spanslagen 2 3 Inleiden krachten in betondoorsnede 2 2016 66 4600 800 800 1500 750 9× buis ø120 (uitwendig) 750 510 550 608 732 1500 A.3 B.3 C.3 A.2 B.2 C.2 A.1 B.1 C.1 kabels "3" kabels "2" kabels "1" 4 Doorsnede rekenvoorbeeld met positionering voorspanning 5 EEM-model van rekenvoorbeeld 6 Verschillende voorspanbelastingen op lijn A worden de posities en grootten van de splijtkrachten duidelijk. Door het model uit te breiden met zogenoemde 'integratie- stroken', kan op elke positie in de doorsnede waar zich een wapeningsstaaf bevindt, de kracht per staaf worden opgevraagd. Dit biedt uitgebreide toepassingsmogelijkheden. Bovendien wordt het beschouwen van de verschillende spanstappen met een EEM-pakket relatief eenvoudig. Een en ander wordt toege- licht met een rekenvoorbeeld. Rekenvoorbeeld: hoedvormige ligger Beschouwd wordt een vrij massieve 'hoedvormige' dwarsdoor - snede. In figuur 4 is de dwarsdoorsnede weergegeven, inclusief de belangrijke doorsnede-eigenschappen. De doorsnede wordt voorgespannen met negen spanelementen, gepositioneerd in een 3 × 3 patroon. Het voorpanproces omvat drie stappen. Eerst wordt de middelste rij ankers gespannen (positie B), vervolgens wordt de onderste rij ankers gespannen (positie C). Als laatste wordt de bovenste rij ankers gespannen (positie A). Model Van het uiteinde van de balk kan een model worden gemaakt. In figuur 5 is dit model weergegeven. Het is een zijaanzicht van de kop van de balk. Dit model bestaat uit twee platen: de onderste met een hoogte van 800 mm en een breedte van 4,6 m, de bovenste met een hoogte van 1600 mm en een breedte van 3,0 m. Ter plaatse van lijn A worden de belastingen aangebracht. Het model is loodrecht op de doorsnede vastgezet (x = 0). Als lengte van het model is de 'storingslengte' gekozen, met de vuistregel dat deze circa tweemaal de doorsnedehoogte is. Ter plaatse van lijn B is het model dusdanig verend ondersteund in x-richting, dat het zwaartepunt van de lijnondersteuning over - eenkomt met het zwaartepunt van de doorsnede zoals gegeven in figuur 4. Dit resulteert in een translatieverhindering met waarde k 1 = 100 kN/m en k 2 = 153 kN/m. Ter controle: ( ) 2 1 1 2 2 153 800 100 1600 800 1600 1079 mm 153 800 100 1600 z + + = + b s 0, 3 0, 285 da L FF F d ? = = ? De voorspanbelastingen worden aangebracht op lijn A. Elk anker betreft een spankop met 27 strengen (150 mm 2 per streng). De strengen worden initieel gespannen tot ? Pm0 = 1360 MPa. Er wordt aangehouden dat de spankop een ankerplaat met afmetin- gen 480 × 480 mm 2 heeft. Een en ander resulteert in een lijnlast over een hoogte van 480 mm, groot q = 3 ? 27 ? 150 ? 1360 / 480 = 34,425 kN/m per spanpositie. Dit is in figuur 6 weergegeven. Resultaten In het rekenmodel zijn drie belastingscombinaties gemaakt: 1. COMB1: Spanslag 1 2. COMB2: Spanslag 1 + Spanslag 2 3. COMB3: Spanslag 1 + Spanslag 2 + Spanslag 3 hartlijn belasting aangebracht op x = 1060 mm hartlijn belasting is aangebracht op x = 510 mm hartlijn belasting is aangebracht op x = 1668 mm Spanslag #2 ? onderkoppen Spanslag #1 ? middenkoppen Spanslag #3 ? bovenkoppen 6 4 5 lijn A lijn B 800 1600 100 kN/m 153 kN/m 5000 ? 2 x h Inleiden krachten in betondoorsnede 2 2016 67 7 Spanningen n yy [N/mm] per combinatie: (a) spanningen n yy direct na COMB1, (b) spanningen n yy direct na COMB2, (c) spanningen n yy direct na COMB3 8 ( Verticale) splijtwapening in de doorsnede In figuur 7 is per combinatie het patroon van interne krachten n yy (N/mm) weergegeven. Uit deze figuur is op te maken dat de splijtkrachten (rode wolk) zich ongeveer in het gebied 1× h uit de gespannen zijde bevinden. Ook is op te maken dat er gebieden zijn waarin slechts tijdelijk een toestand van trek heerst. Van spanningen naar wapening De sleutelzet die nu in het proces wordt gemaakt, vereist enige toelichting. Vrijwel elk modern EEM-rekenpakket heeft de mogelijkheid over een bepaald gebied spanningen te integreren. Deze zogenoemde 'integratiestroken' volgen een zekere weg waarin ze op elk punt een te definiëren spanningsgrootheid sommeren over een bepaalde ? door de gebruiker op te geven ? breedte. Als men deze integratiestroken laat samenvallen met de toegepaste (splijt)wapening, geeft de integratiestrook als resultaat de kracht in de wapeningsstaaf. De weg van de inte- gratiestrook geeft dan de positie van de wapeningsstaaf weer, terwijl de hart-op-hartafstand van de wapeningsstaven de breedte van het te integreren gebied definiëren. In het onderhavige geval wordt splijtwapening bestaande uit 3× beugels Ø25-250 toegepast (fig. 8). De positie van de beugelwapening is schematisch weergegeven. Het wapenings- patroon wordt nagebootst met behulp van integratiestroken (fig. 9). In figuur 10 is een overzicht gegeven van de krachten in de integratiestroken die aan de omhullende combinatie van de drie spanslagen worden ontleend. In de figuur is een trekkracht blauw gemarkeerd en een drukkracht rood. Uit de figuur zijn diverse zaken te concluderen. Zo wordt goed zichtbaar dat direct achter de in te leiden krachten een staaf aanwezig is die tijdens het spannen op trek wordt belast, terwijl er in dit gebied na het aanbrengen van alle voorspanning een druk aanwezig is. De grootste trekkracht die wordt gevonden is circa 720 kN. Dit resulteert in een spanning gelijk aan ? s = 720 ? 103 / (3 ? 2 ? 491) = 244 MPa. Beoordeeld moet worden of deze spanning toelaat- baar is. Vergelijking met ROK1.2 Een veelgebruikte methode om splijtwapening te bepalen, is te vinden in ROK1.2 (Richtlijnen Ontwerp Kunstwerken versie 1.2). De in deze richtlijn gepresenteerde methode splitst de toe te passen splijtwapening in drie delen: kopsplijtwapening (A sv), primaire splijtwapening (A ss) en secundaire splijtwapening (A s). Ten aanzien van de eerste twee wordt verwezen naar NEN 6720 art. 9.13.1. In figuur 11 is de algemene figuur uit de ROK1.2 gegeven waarmee splijtkrachten kunnen worden bepaald. Voor het in figuur 4 gegeven voorbeeld wordt de benodigde splijtwapening conform ROK1.2 als volgt bepaald: ankerkoppen beugels Ø25?50 7a 7b 7c 8 Inleiden krachten in betondoorsnede 2 2016 68 9 Positionering van integratiestroken in doorsnede 10 De omhullende krachten in de gekozen wapening (trekkracht blauw en drukkracht rood) Algemene gegevens voorspankracht F = 16 524 kN breedte oplegvlak a b = 480 mm gemiddelde 'overspanning' spankoppel L = ½ (550 + 608) ? 580 mm quotiënt a b / L = 480 / 580 = 0,83 Kopsplijtwapening Voor de kopsplijtkrachten geldt:Formule 1 ?3 sv sv sv 9,14 10 M FF z = = Formule 2 ( ) () b sv 1/ 1 24 1/ b aL M FL aL = + Formule 3 ?3 ss ss ss 12, 8 10 M FF z = = Formule 4 ( ) () ss 1/ 1 24 2/ b baL M FL aL = Formule 5 b s 0, 3 da L FF d ? = ? Formule 6 3 16524 F= ? waarin: Formule 1 ?3 sv sv sv 9,14 10 M FF z = = Formule 2 ( ) () b sv 1/ 1 24 1/ b aL M FL aL = + Formule 3 ?3 ss ss ss 12, 8 10 M FF z = = Formule 4 ( ) () ss 1/ 1 24 2/ b baL M FL aL = Formule 5 b s 0, 3 da L FF d ? = ? Formule 6 3 16524 F= ? zsv = 0,43L geeft: F sv = 151 kN Wapening wordt aangebracht direct achter de spankoppen. Primaire splijtwapening Voor de primaire splijtkrachten geldt: Formule 1 ?3 sv sv sv 9,14 10 M FF z = = Formule 2 ( ) () b sv 1/ 1 24 1/ b aL M FL aL = + Formule 3 ?3 ss ss ss 12, 8 10 M FFz = = Formule 4 ( ) () ss 1/ 1 24 2/ b baL M FL aL = Formule 5 b s 0, 3 da L FF d ? = ? Formule 6 3 16524 F= ? waarin: Formule 1 ?3 sv sv sv 9,14 10 M FF z = = Formule 2 ( ) () b sv 1/ 1 24 1/ b aL M FL aL = + Formule 3 ?3 ss ss ss 12, 8 10 M FF z = = Formule 4 ( ) () ss 1/ 1 24 2/ b baL M FL aL = Formule 5 b s 0, 3 da L FF d ? = ? Formule 6 3 16524 F= ? zss = 0,48L geeft: F ss = 211 kN Wapening wordt aangebracht in het gebied tussen 200 mm en 350 mm achter de spankoppen. Secundaire splijtwapening Voor de secundaire splijtkrachten geldt: ( ) 2 1 1 2 2 153 800 100 1600 800 1600 1079 mm 153 800 100 1600 z + + = + b s 0, 3 0, 285 da L FF F d ? = = ? waarin: d = 2400 integratiestroken h.o.h. 250 mm 1600 800 9 10 Inleiden krachten in betondoorsnede 2 2016 69 11 Splijtkrachten met behulp van ROK1.2 12 Splijtkrachten bepaald met ROK1.2 (a) vergeleken met rekenvoorbeeld (b) Formule 1 ?3 sv sv sv 9,14 10 M FF z = = Formule 2 ( ) () b sv 1/ 1 24 1/ b aL M FL aL = + Formule 3 ?3 ss ss ss 12, 8 10 M FF z = = Formule 4 ( ) () ss 1/ 1 24 2/ b baL M FL aL = Formule 5 b s 0, 3 da L FF d ? = ? Formule 6 3 16524 F= ? geeft: F s = 4709 kN Wapening wordt aangebracht in het gebied tussen 750 mm en 2500 mm achter de spankoppen. In figuur 12 zijn deze splijtkrachten te zien alsmede de vergelijking met de eerder berekende waarden (overeenkomstig figuur 10): Uit de vergelijking van de twee methoden komt naar voren dat de met de EEM gevonden waarden voor kopsplijtkrachten en primaire splijtkrachten hoger zijn dan die met de ROK1.2 zijn bepaald (220 kN vs 151 kN en 507 kN vs 211 kN). De gebieden waarin deze krachten optreden lijken aardig met elkaar overeen te komen. De met de EEM gevonden secundaire splijtkrachten zijn gezamenlijk echter lager dan die middels ROK1.2 zijn bepaald (3388 kN vs 4709 kN). De methode ROK1.2 levert een conservatief beeld van deze secundaire splijtkrachten op. Conclusie Het blijkt goed mogelijk met zogenoemde integratiestroken de krachten in de wapeningsstaven te bepalen. Aan de hand van toelaatbare spanningen (die bijvoorbeeld met het oog op scheur - vorming kunnen worden bepaald) kan een hoeveelheid wape- ningsstaal bij deze kracht worden gevonden. De gepresenteerde methode is overzichtelijk en relatief eenvoudig. Deze methode geeft aan op welke posities welke krachten tijdens de levensduur van de constructie optreden. Uit het vergelijk met de methode zoals gepresenteerd in ROK1.2 (Richtlijnen Ontwerp Kunstwerken versie 1.2) blijkt dat de gepresenteerde methode wat verfijnder is, en daarmee dus een besparing van wapening kan opleveren. Aanvullend moet nog worden opgemerkt dat in het beschouwde voorbeeld de splijt(trek)krachten in één richting zijn beschouwd. Natuurlijk treden in dwarsrichting ook splijt(trek)krachten op. Met eenzelfde soort benadering moeten deze krachten ook worden bepaald om een volledig gecontroleerd ontwerp te krijgen. ? gebied met kopsplijtkrachten (A sv) gezamenlijk 151 kN gebied met primaire splijtkrachten (A ss) gezamenlijk 211 kN gebied met secundaire splijtkrachten (A s) gezamenlijk 4709 kN 7 x 673 kN 1750 mm 750 mm d = 2400 mm 1750 mm 750 mm kracht in 1e integratiestrook 220 kN kracht in 3e integratiestrook 507 kN ? kracht in 4e t.m. 10e integratiestrook gezamenlijk 3388 kN ? maximale kracht 720 kN 11 12a 12b d d/2 a L d/2 L u min umax 2umin 2umax As Ass Asv As kopsplijtwapening primaire splijtwapening 0,3d hoek secundaire splijtwapening 0,7d 0,75 z s 0,50 z s a + SL SF F Inleiden krachten in betondoorsnede 2 2016