ing.P.ClynmansBerghem, Belgi?Studieprijs 1981De auteur van dit artikelstudeerde in 1981 afaan het Hoger Technisch Instituut'De Nayer' te Mechelen. Doelstelling vanzijn onderzoek was de experimentele verifi-catie van de vloeilijnentheorie toegepastvoor doorlopende platen.Naast 4 andere, werd ziq'n studie bekroondmet de Studieprijs 1981, ingesteld door deBetonvereniging en het ENCI-Jubileumfonds. Van de overige studies wer-den reeds eerder samenvattingen gepubli-ceerd. Door omstandigheden was de bijdra-ge v?n ing.P.Clynmans niet eerderbeschikbaar. Red..mDoorlopende platenProefondervindelijk onderzoek en berekeningen .aande hand van de elastische en vloeilijnentheorieInleidingBij de afdeling bouwkunde van het Hoger Instituut De Nayerte Mechelenwerd door de auteurvan dit artikel een studiewerk verricht dat in hoofdzaak bestond uit:- het berekenen van doorlopende platen aan de hand van de elastische en vloeilijnentheorie;- het berekenen van momenten met behulp van de differentiemethode en deze vergelijken metde momenten bepaald door middel van bestaande tabellen (Czerny, Marcus, Stiglat Wippel);- het ontwerp van een toestel om doorlopende platen te beproeven;- vergelijking trekken tussen de berekende en de gemeten waarden bepaald uit de proeven.Theoretische basisLineair-elastische theorieVoor een groot aantal standaardgevallen zijn door diverse personen berekeningen uitge-voerd en in tabellen verzameld. Meestal steunen deze berekeningen op het omzetten van deplaatdifferentiaalvergelijking in een aantal differentievergelijkingen. Voor gewapend betongaat een zuiver elastische berekening niet op vanwege het ontstaan van scheuren. Nochtanswordt (stilzwijgend) aangenomen dat de inwendige krachtsverdeling ook geldt na scheur-vorming.Men bepaalt dekrachtsverdeling met aanname dat beton een homogeen isotroop materiaalis dat voldoet aan de wet van Hooke. In elk punt wordt zowel aan het evenwicht als aan devoorwaarden van samenhang voldaan. De gevonden vlakspanningstoestand wordt in elkpunt ontbonden in twee lijntrekspanningstoestanden die in de richting van de wapeningliggen en door het staal moeten worden opgenomen en ??n lijndrukspanningstoestand diedoor het beton wordt opgenomen.Men neemt hierbij aan dat de berekende spanningstoestand ongewijzigd blijft. Bij de bere-kende wapeningsmomenten wordt de hoeveelheid staal in het bezwijkstadium bepaald. Meteen herverdeling van de momenten ten gevolge van scheurvorming en vloeien van staalwordt geen rekening gehouden.VloeilijnentheorieDeze theorie heeft als doel de draagkracht van een constructie in het bezwijkstadium tebepalen. Men beschouwt de krachtsverdeling van de plaat nadat zich een vloeilijnenpatroonheeft ontwikkeld. Voor de berekening schematiseert men dit patroon zodanig dat de breuk-stukken volkomen vlak blijven en alle vervormingen in de vloeilijnen zijn geconcentreerd.Met heeft de volgende basishypothesen:- het wapeningspercentage moet voldoende klein zijn opdat het staal gaat vloeien v??r hetbeton wordt verbrijzeld;- de dwarskracht mag het gedrag van de plaat niet zodanig be?nvloeden, dat de plaat opbuiging zou bezwijken;~ er mag geen belangrijke invloed zijn van de normaalspanningen in het vlak van de plaat(membraanwerking).De elastische theorie geeft inlichtingen over de scheurzekerheid en doorbuiging ondergebruiksbelasting. De vloeilijnentheorie laat toe de grensbelasting te bepalen als men debreukconfiguratie bepaald heeft.Algemene beschouwingen van de te beproeven platenAlle platen werden vrij opgelegd op hun vier zijden terwijl ze in het midden van een verplaats-bare ondersteuning werden voorzien. De samenstelling van het microbeton werd doormiddel van een aantal proeven bepaald; cementgehalte 305 kg/m3 (klasse P30), water-cementtactor 0,5. Als wapening werd staal (gegloeid onder beschermgas) gebruikt met eendiameter van 2 mm en een 0,2% rekgrens van 267 N/mm2. Er werd overal hoekwapeningtoegepast (fig. 1).1Wapeningspatroon van de proefplatenonderwapening bovenwapeningAls bepalende factor werd cp = ";; gebruikt waarbij M het vloeimoment in het veld is en M' hetvloeimoment t.p.v. de verplaatsbare ondersteuning.Cement XXXV (1983) nr. 8 530~~membraamwater .~2Principe van het beproevingstoestelBeschrijving van het proeftoestelHet principe van het toestel berust op het gebruik van de druk van de waterleiding om deplaten gelijkmatig te belasten. Een vereenvoudigd schema van het toestel is in figuur 2weergegeven.Theoretische berekeningenA. Lineair-elastische theorieMen gaat uit van de volgende gedachtengang. Het zakkingsverloop van een belaste plaat kanworden weergegeven als de zakking in een aantal punten bekend is. De afgeleiden in diepunten zijn redelijk te bepalen uit de zakkingen van het beschouwde en de omliggendepunten. Een afgeleidewordt vervangen door een differentiequoti?nt. Over de plaat wordt eenregelmatig stramien van punten gelegd en alleen in de knopen eist men dat aan de plaatver-gelijking wordt voldaan, waarbij gebruik wordt gemaakt van differentiequoti?nten. Aldusverkrijgt men een stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden. Dit stelsel kan wordenomgezet in een matrixvergelijking waaruit de doorbuigingen in de punten kunnen wordenbepaald. De differentiaalquoti?nten uit de plaattheorie worden dan omgewerkt om de mo?menten in de punten te bepalen.Berekent men nu deze momenten met de tabellen dan blijkt ereen verschil van ongeveer 10%te zijn. Dit verschil is vooral te wijten aan de fijnheid van het gebruikte stramien (tabel 1).Ma+ M'a= q ~y2+ q(a-2x) 1/2 y2Voorbeeld (fig. 3)Vanwege de symmetrie kan ermee worden volstaan ??n helft van de plaat te onderzoeken. Deverhouding van de steunpunts-wapening tot de veldwapening is 2,06, indien de plaat elas-tisch zou worden berekend.B. VloeilijnentheorieEr zijn twee methoden mogelijk: de evenwichtsbeschouwing en de arbeidsmethode. Beidenleiden tot hetzelfde resultaat. Bij de evenwichtsbeschouwing moeten wel knoopkrachten inrekening gebracht worden. Voorts moet het aantal breukstukken zodanig zijn dat het aantalonbekenden overeenkomt met het aantal evenwichtsvergelijkingen. Bij de arbeidsmethodekan men de arbeid per vloeilijn of per breukstuk berekenen.4,3%8,5%7,6%verschil0,013990,00388- 0,02782differentiemethodetabellen0,014620,00424- 0,03012MxMyMexa3ProefplaatTabel 1Verschil tussen lineair-elastisch berekendemomenten en die uit de tabellenlijn uit hetpuntenstramien? meetpunten3,06 Ma = y2 q (~+ a -;2X)~ = y2 (1/2- 2h~) 3,66 (k)plaatdeel (2) rond AC of BDM x2q= 6 (1)plaatdeel (3) rond ABM 2 x-=(b-y) , (112- 213-) (M)q aVoor elke evenwichtsbeschouwing moet M/q dezelfde zijn:(k) = (M) geeft y = 0,636 bSubstitueren we x in (1), dan vinden weM _ (_ 0,264 b2 + 3 y' 0,0077 b4 + 0,044 b2 a2 )2q - 6a2ProevenTeneinde zowel de differentiemethodeals de vloeilijnentheorie na te gaan, is getracht eenopstelling te bepalen die voor beide gevallen informatie zou verstrekken. Ten behoeve van dedifferentiemethode is een lijn uit het puntenstramien op de plaat gesitueerd om daarmetin-gen te verrichten in verband met de doorbuiging (fig. 4a). Voor de vloeilijnentheorie is hetvloeipatroon op de plaat getekend en in bepaalde punten op dit schema de doorbuigingx = - 0,264 b2 + 3 y' 0,0077 b4 + 0,044 b2 a2ageeft(k) = (1)vervorming4a-ba. Meetpunten voor bepalen doorbuigingb. Meetbases voor bepalen vervorming
Reacties