prof.dr.ir.A.VerruijtTe?hnische Hogeschool Delft,afoeling der Civiele TechniekCement XXXV (1983) nr. 10Numeriekeberekeningvanverend ondersteunde ligger~InleidingVerschillenoe problemen uit oe civiele techniek kunnen, zij het soms alleen als een zeer ruweeerste benadering, worden geschematiseerd tot een elastisch ondersteunde ligger. De theo-rie is oorspronkelijk ontwikkeld door Winkier en Zimmermann, voor de berekening van debovenbouw van een spoorweg. Maar ook voor andere problemen is de theorie van toepas-sing, zoals balkroosters en schalen [1]. Ook voor de berekening van damwanden gaat menvaak, althans in principe, uit van de theorie van de elastisch ondersteunde ligger [2]. Als deligger een sterk vari?rende belasting draagt, of als de beddingsconstante langs de ligger nietconstant is, wordt een numerieke oplossing aantrekkelijk. Met name is dit het geval voorproblemen waarbij de reactie van de ondergrond niet lineair is, zoals bij de berekening vaneen damwand. Een numerieke analyse van een elastisch ondersteunde ligger kan nog opvelemanieren geschieden, afhankelijk van de beschikbare computer, het toepassingsgebied eneigen prioriteiten en voorkeuren. In dit artikel wordt een eenvoudig numeriek model gepre~senteerd, gericht op de berekening met behulp van een programma in BASIC, op eenmicrocomputer.BasisvergelijkingenDe basisvergelijkingen van de theorie van de elastisch ondersteunde ligger zijn evenwichts-condities en de buigingsvergelijking. Het krachtenevenwicht vereist dat:oQ/dx = - f + kw , , , (1)waarin Q de dwarskracht is, f de verdeelde belasting, w de verplaatsing loodrecht op de aSvan de ligger en k de zogenaamde beddingsconstante. Essentieel hierbij is de hypothese vanWinkier, dat de tegendruk van de bedding recht (;'venredig is met de verplaatsing w. Hetmomentenevenwicht vereist dat:dM/dx =Q (2)waarin M het buigend moment is.De buigingsvergelijking, die gebaseerd is op de aanname datde hoekverdraaiing dw/dx kleinis ten opzichte van 1, en op de hypothese van Bernoulli dat vlakke normaaldoorsneden vlaken loodrecht op de as blijven, is:d4w/dx4 = - M/EI (3)Hierin is EI de buigstijfheid van de ligger. In het vervolg van dit artikel zal worden aangeno-men dat de buigstijfheid EI over de gehele lengte van de ligger constant is.De vergelijkingen hebben elementaire oplossingen van de vorm exp (? x/L)' sin (x/L + a) [1].L is een lengtemaat, waarvoor geldt dat:L4 = 4EIIk (4)Deze oplossing heeft het karakter van een gedempte gOlf. De lengte van een halve golf is:reL.Voor een numerieke benadering zal men een dergelijke halve golf toch minstens in bijvoor-beeld 6 stukjes moeten verdelen. Als men de stapgrootte aangeeft met 0 dan betekent dit alseis aan de stapgrootte0< L/2 (5)Voor een erg slappe ligger, of een ligger rustend op een zeer stijve ondergrond, kan ditbetekenen dat de stapgrootte zeer klein wordt. Dat kan in een numeriek proces tot moeilijk-hedenleiden, maar die zijn in het algemeel"! op te lossen door zich te realiseren dat men daneigenlijk maar een deel van een ligger, ter grootte van enige golflengten, behoeft te beschou-wen.659F(i + IJQ{j) r----&-...,M(ilP(il1Elementje uiteen ligger2ComputerprogrammaNumerieke benaderingVoor een goede numeriekebenadering lijkt het vooral van belang hetevenwichtvan de liggergoed te beschrijven. Dan is het mogelijk te bereiken dat elementaire standaardgevallen,zoals een ligger zonder opleggingen met een gelijkmatige belasting, exact worden opgelost.De hoofdlijnen van een dergelijk model zullen hieronder worden uiteengezet, zonder opdetails in te gaan.Het numerieke model is opgebouwd uit evenwichtsvergelijkingen voor een klein elementje(fig. 1j. Dit elementje, tusSen de punten x(i) en x(i + 1), wordt belast door een gelijkmatigverdeelde belasting waarvan de resultante een grootte F(i + 1) heeft, en die aangrijpt in hetmidden van het elementje. Voorts kan er nog een geconcentreerde kracht P(i) werken, juistrechts van punt i. De reactie van de grond is een verdeelde belasting, waarvan gesteld wordtdat die evenredig is met de gemiddelde verplaatsing, de lengte van het elementje, en debeddingsconstante. Op deze wijze kan uit het krachtenevenwicht en het momenteneven-wicht een tweetal numerieke vergelijkingen worden afgeleid. Door die vergelijkingen tecombineren met soortgelijke vergelijkingen voor het opvolgende elementje (dat niet evenlang behoeft te zijn) kan men een vergelijking afleiden waarin alleen nog de buigendemomenten M(i - 1), M(i) en M(i + 1) als onbekenden voorkomen, en geen dwarskrachten. Infeite is dat dan een numerieke benadering voor de vergelijkingen (1) en (2), met eindigedifferenties, rekening houdend met de mogelijkheid dat twee aangrenzende elementjes eenversch iUen?le lengte hebben.Een tweede vergelijking voor het numerieke model vindt men door de buigingsvergelijking(3) te benaderen. Dat leidt dan tot een stelsel van twee simultane differentievergelijkingen,met als variabelen in elk knooppunt een moment M(i) en een verplaatsing w(i).Ter completering van het model dienen uiteraard ook de randvoorwaarden te worden gespe-cificeerd. Dat vereist nog wel enige aandacht. Het verdient nl. voorkeur in elk punt eenvergelijking voor het moment en een vergelijking voor de verplaatsing te krijgen. Op diemanier kan worden voorkomen dat in de systeemmatrix nullen op de hoofddiagonaal ont-staan. Voor sommige randvoorwaarden, met name een inklemming en een volledig vrijerand, vereist dit enige manupulatie met behulp van de systeemvergelijkingen.ComputerprogrammaEen programma dat de hierboven globaal beschreven berekeningen uitvoert is weergegevenin figuur 2. Het programma is geschreven in Microsoft BASIC, in principe voorde Osborne-1.Het kan echter, omdat het slechts enkele onbelangrijke machine-afhankelijke opdrachtenbevat, eenvoudig worden aangepast voor andere microcomputers. Als voordeel van eenprogramma voor een microcomputer kan het interactieve karakter van het programmaworden genoemd. Alle invoer geschiedt namelijk door te antwoorden op eenvoudige vragendie het programma zelf stelt; een handleiding is dus niet nodig. Het programma bevat voortseen aantal voorzieningen om onmogelijke invoer (bijvoorbeeld een negatieve waarde voor deCement XXXV (1983) nr. 10 660buigstijfheid) te weigeren. Het programma gaat er van uit dat de ligger bestaat uit een aantalsecties (maximaal 20), waarin de beddingsco?ffici?nt en de verdeelde belasting constantzijn. Elke sectie wordt doorhetprogramma zelf in een aantal elementjes verdeeld, zodanigdat steeds aan het criterium van vergelijking (5) voor de stapgrootte is voldaan. De maximalecapaciteit is 200 knopen, er zijn dan 400 onbekenden. Daarvoor is een geheugen van 32KRAM benodigd. Voor een machine met minder geheugen zal men de dimensie-statements inregel 100 moeten aanpassen. Uiteraard zijn ook diverse andere aanpassingen van h?t pro-gramma mogelijk, bijvoorbeeld door de in- en uitvoer op andere wijze te laten verzorgen.Het programma gebruikt een oplossing van de lineaire vergelijkingen door Gauss-eliminatie,met een golffront-techniek. Een dergelijke oplossingsmethode is weliswaar niet zo ergdoorzichtig, maar wel vrij effici?nt. Dezelfde subroutine is eerder gebruikt in een raamwerk-programma [3].Het programma is getoetst op een Osborne-1 microcomputer en op een aantal typen Com-modore, met goede resultaten. Ter toetsing van de werking zijn een aantal elementairegevallen doorgerekend, zoals een ligger met onbelaste vrije uiteinden en met een gelijkmati-gebelasting en een constante beddingsco?ffici?nt. Verder zijn diverse bekende standaard-probiemen uit de Iiggertheorie (ingeklemde ligger, ligger op twee steunpunten) en uit detheorie van de elastisch ondersteunde ligger nagerekend en gecontroleerd. In al dezegevallen geeft het programma, ZOals het behoort. een goede overeenstemming (minder dan1% fout) met bekende analytische oplossingen. Hoewel het programma op grond van dieervaringen als betrouwbaar wordt beschouwd, kan toch geen aansprakelijheid wordenaanvaard voor eventuele fouten.ToepassingenHet is uiteraard eenvoudig om een groot aantal voorbeelden te geven van directe toepassin-gen van het programma uit figuur 2, zoals een dwarsligger met twee puntlasten. Dat biedtechter weinig nieuwe gezichtspunten. Het is wellicht interessanter om een aantal niet-lineaire toepassingen te laten zien. Alle voorbeelden zijn berekend op een microcomputer,de Osborne-1.3Spanningsverdeling langs de damwand4Kracht-verplaatsings-diagram voor eenhorizontaal belaste paalEen eerste voorbeeld betreft de berekening van een damwand als elastisch ondersteundeligger. Dat is tegenwoordig een vrij vaak toegepaste methode [2]. Het voorbeeld betreft eengeval dat in een bekend standaardwerk over Grondmechanica [4] met de methode Slum isberekend. Sij een berekening als elastisch ondersteunde ligger dient men de respons van degrond te karakteriseren dooreen niet-lineair verband. Men kan dat doen door een elasto-plastische respons aan te nemen. Dat betekent dat de korreldruk niet kleiner kan zijn dan deactieve gronddruk en niet groter dan de passieve gronddruk. Tussen die twee uiterstenverloopt de druk lineair met de verplaatsing, zodanig dat als de verplaatsing nul is, dekorreldruk gelijk is aan de zogenaamde neutrale gronddruk. Alleen de helling van het lineairetraject moet dan nog worden vastgelegd. Dat kan geschieden met een soort veerconstante,maar men kan ook de lengte van het lineaire traject als parameter gebruiken. Dat lijkt beteraan te sluiten bij de ervaringswereld van de praktijk van de geotechniek. Men legt dan deveerstijfheid in het lineaire traject vast aan de hand van het verschil in verplaatsingen bij hetmobiliseren van de actieve, respectievelijk de passieve gronddruk; bijvoorbeeld enige centi-meters. Door die afstand voor een bepaalde grondlaag constant te houden, bereiKt menautomatisch dat de stijfheid toeneemt met het spanningsniveau, dat wil zeggen met dediepte. Ook dat sluit redelijk aan bij de praktijk van de grondmechanica. voor een verankerdedamwand moet men ook voor het anker een kracht-verplaatsings-karakteristiek opgeven.Dat is meestal niet zo moeilijk, omdat de maximale ankerkracht redelijk kan worden geschatuit de afmetingen en de diepte van het anker; de stijfheid kan worden geschat aan de handvan de lengte en doorsnede van de ankerstang, rekening houdend met enige verplaatsingvan het anker zelf.In figuur 3 is de spanningsverdeling langs de damwand geschetst, zoals berekend met demethode Slum [4], en als elastisch ondersteunde ligger. Als additionele gegevens zijningevoerd een lengte van het lineaire traject van de verplaatsingen van 2 cm, en een maxima-le ankerkracht van 200kN, bereikt bij een verplaatsing van 10 cm. De resultaten van de beidemethoden blijken redelijk overeen te komen. Opvallend is dat de in de methode Slumingevoerde, geconcentreerde kracht onderaan de damwand, bij de berekening als elastischondersteunde ligger ook ongeveer zo optreedt, uitgesmeerd oVer een kleine hoogte. Deankerkracht bij de berekening als elastisch ondersteunde ligger is 155 kN, terwijl de methodeSlum leidt tot een waarde van 149 kN [4]. Men zou er nog over kunnen twisten of men dezeredelijke overeenstemming als bewijs moet zien voor de waarde van de ene of de anderemethode.Een tweede voorbeeld, eveneens uit de praktijk van de grondmechanica, betreft een verticalepaal belast door een wisselende horizontale kracht aan de top. Dat is een probleem datvooralvoor sommige offshore constructies van belang is. Een van de mogelijke methoden voor deanalyse van zo'n paal is deze op te vatten als een ligger ondersteund door een niet-lineairebedding [5]. In feite is de berekeningsmethode dan gelijk aan die voor een damwand, alleenzijn de gebruikelijke invoergegevens iets anders. In figuur 4 is de respons van een paal meteen lengte van 20m en buigstijfheid EI = 50 000 kNm2 (dat is ongeveer een betonpaal met eendoorsnede van 40 x 40 cm2), belast met een wisselende kracht van 250 kNo De lengte van hetlineaire traject van de respons Van de grond is gesteld op 10 cm; de grond bestaat uit zandmet een hoek van inwendige wrijving, groot 30 graden, zonder cohesie. Het verband tussenkracht en verplaatsing van de top van de paal is getekend in figuur 4. Men ziet dat er eenu(m)---+ Q5- -/~V- r---/ 1/~ -- ---V -~ f---/./ /-~ - f--1// { I{r- // 'I /:/ I1//1~- --I /1/f---I 1//--'///1;Voo:z..>::t250Cement XXXV (1983) nr. 10 661ir.M.LeewisVereniging Nederlandse Cementindustrie,'s-HertogenboschDimensioneren met decomputer van ongewapendebetonverhardingenInleidingSedert de oliecrisis in 1974 is de toepassingvan beton voOr de verharding van wegen envliegvelden sterk toegenomen. Oe oorzaakdaarvan is dat enerzijdsdeprijs van bitumenals bindmiddel voor asfaltverhardingen veelsterker is gestegen dan de prijs van cement,anderzijds zijnbetonw,egen onderhouds-arm wat in een tijd van bezuinigingen zwaarmeetelt bij de keuze van een verhardingsty-pe.Met de toenemende vraag naar beton voorverhardingen deed zich de behoefte gevoe-len ?m evenals bij asfaltverhardingen,technisch en economisch verantwoordeontwerpen in beton te kunnen mak~n.Daarbij is uitgegaan van de bestaande theo"rie?n voor het berekenen van spanningendoor geconcentreerde belastingen in' eenverend ondersteunde plaat en het bereke-nen van temperatuurspanningen door ??n-zijdige verwarming in een dergelijk opge-legde plaat.BNC = Betonresearch Nederlandse Cement-industrie?n; sinds januari 1983 opgegaan inVereniging Nederlandse Cementindustrie(VNC)Met de huidige kennis van het spannings-vervormingsgedrag van beton onder stati-sche en wisselende belasting, heeft BNC'een methode ontwikkeld om een verhar-dingsconstructie te dimensioneren bij devoorkomende grondgesteldheden en wiel-belastingen.De literatuurlijst aan het eind van dit artikelverwijst naar meer gedetailleerde informa-tie.De methode is in eerste instantie opgezetvoor een ongewapende of een met staalve-zels gewapende betonverharding, daar de-ze verhardingsvormen in beton voor wegenen vliegvelden het meest worden toegepast.Aan een uitbreiding van deze methode voordoorgaand-gewapend betonverhardingen,wordt momenteel gewerkt.De methode is uitermate geschikt voor uit-werking met de microcomputer, gezien deopbouw van de formules en het aantal for-mules dat wordt gebruikt. De procedure isdat eerst een verhardingsconstructie moetworden gekozen, waarna deze op sterktevan de betonplaat moet worden gecon-troleerd. Daarna wordt een stijfheidsbere-kening uitgevoerd om te controleren of devoegranden op den duur niet ongelijk ko-men te liggen.Door het aanbrengen van Wijzigingen inonderdelen van het concept (laagopbouw,materiaalkeuze van de funderingslagen, be-tonkwaliteit, voegenpatroon, voegcon-structie van de verharding) kan in korte tijdhet optimale ontwerp worden gevonden.Een ander groot voordeel van de microcom-puter voor dit doel is dat met weinig moeiteveel inzicht wordt verkregen in de invloedvan de afzonderlijke onderdelen waaruit hetontwerp is opgebouwd. Oaar een goedeprognose voor het te verwachten verkeervaak moeilijk te geven is, kunnen voorts di-verse verkeersspectra in het programmaworden opgenomen.BerekeningsmodelEen verhardingsconstructie van ongewa-pend beton wordt in de regel gemaakt instroken met een breedte van 2 tol6 m, waar"in kort na het vervaardigen op gelijke afstan-den van 3 tot 6 m verzwakkingen (dwarsvoe-gen) worden aangebracht om de krimp" ende temperatuurverkortingen te concentre-ren in gelokaliseerde scheuren. De scheu-ren dienen in het gebruikstadium als schar-nieren te functioneren. Om er zeker van tezijn dat de scharnierwerking onder intensiefverkeer behouden blijft, kunnen ter plaatse(Vervolg van blz. 661)Cement XXXV (1983) nr. 10duidelijke plastische vervorming is, maar dat na een klein aantal cycli van de belasting derespons in elke cyclus ongeveer hetzelfde is, zij het dan met een behoorlijke demping.Hoewel dit resultaat niet onredelijk lijkt, moet toch worden gesteld dat het gedrag van degrond, met name het optreden van plastische vervormingen, in een dergelijk model wel ergsterk wordt gesimplificeerd. Het weergeven van het gedrag van de grond met een enkele,niet-lineaire veer houdt bijvoorbeeld geen rekening met de mogelijkheid van verschil inspreiding van de spanningen in laterale richting.ConClusieHet blijkt mogelijk om met relatief eenvoudige middelen, een microcomputer met beperktecapaciteit, redelijk nauwkeurige berekeningen te maken voor een ligger op elastische be-dding. Door invoering van een niet-lineaire karakteristiek voor het gedrag van de grond kanmen vrij realistische berekeningen voor grondkerende constructies maken.Literatuur1. Hetenyi, M., Beams on elastic foundation; Univ. of Michigan Press, Ann Arbor, 19462. Os, P.J. van, Damwandberekening: computermodel of Slum?; PT Bouw/weg- en waterbouw31 (1976), p. 367-3783. Verruijt, A., Een e'lementair raamwerkprogramma voor microcomputers; Cement 33 (1981)nr. 12, p. 806-8104. Veen, C. van der, Grondmechanica; Waltman, Delft, 19815. Matlock, H., Reese, L.C., Generalised solutions for laterally loaded piles, Journalof SoilMech. and Found. 86 (1960), p. 63-91662