themaEEM helpt bij modelleren3201422themaIn dit artikel wordt de krachtswerking in tweedimensionalegedrongen constructies nader geanalyseerd. Dit gebeurt aan dehand van staafwerkmodellen. Voor analyse wordt gebruikge-maakt van niet-lineaire berekeningen met EEM. Als resultaatontstaan inzichtelijke staafwerkmodellen. De EEM-aanpak isook bruikbaar bij een staafpaneelmodel. Drie voorbeeldenworden beschouwd: een tandoplegging, een hoedligger en eenconsole aan een kokerligger.EEM helpt bijmodellerenStaafwerkmodellen zijn een vertrouwd instrumentom de krachtswerking in constructies inzichtelijk temaken. De eindige-elementenmethode (EEM) kanhierbij een belangrijk hulpmiddel zijn. Hetzelfdegeldt voor de minder bekende staafpaneelmodellen.Drie voorbeelden tonen aan op welke manier.Drie berekeningen voor staafwerkmodellen en staafpaneelmodellenUitgangspuntenVoor de analyse is gebruikgemaakt van het eindige-elementen-programma Scia Engineer 2013. De volgende uitgangspuntenzijn hierbij gehanteerd:? in de niet-lineaire 2D-berekening kan beton geen trekopnemen;? er is perfecte aanhechting tussen wapening en beton; in SciaEngineer zit de wapening dan vast aan het beton via internelijnen van het 2D-element;? er is geen limitering aan de aanhechtspanning tussen betonen staal gesteld (slip); binnen dit model is dit niet mogelijk;? voor eenvoud van uitleg blijft het eigen gewicht buitenbeschouwing;? de staalkwaliteit is B500 met een bilineair spanningsrekdia-gram;? bij de presentatie van de spanningen wordt gemiddeld in deknopen.1a 1bEEM helpt bij modelleren 32014 23wordt een hele hoedligger beschouwd; deze heeft de vorm vaneen omgekeerde T-ligger (linker deel fig. 5). De neuzen van dehoedligger fungeren als oplegging van vloerelementen. Debelasting op elke neus is een lijnlast van 40 kN/m. De belastingvan de ligger kan worden gesplitst in twee gevallen, uitgebeeldin het middelste en rechter deel van figuur 5. In de middelstefiguur is de belasting een evenwichtssysteem dat wel invloedheeft op de doorsnede, maar niet op de ligger als geheel. Debelasting van de rechter figuur spreekt de ligger als geheel aanen roept daarin momenten en dwarskrachten op. Dit artikelfocust op het belastinggeval van de middelste figuur, waarbijeen liggermoot van 1 m wordt beschouwd. In de EEM-bereke-ning is langs de bovenzijde van de doorsnede de oplegginggekozen. Figuur 8a toont het EEM-model en figuur 8b deir. willem keesomOmgevingsdienstNoordzeekanaalgebieding. rien de rijkeVVH Gemeente Zoetermeer,afdeling constructies1 Trajectori?n tandoplegging met verticale beugels (a) en krachten in de stavenmet verticale beugels (b)2 EEM-model tandoplegging met opgebogen wapening3 Trajectori?n tandoplegging met opgebogen wapeningVoorbeeld 1 ? TandopleggingIn het eerste voorbeeld wordt een tandoplegging beschouwdvan een ligger onder gelijkmatig verdeelde belasting. Er wordtingegaan op het verschil in krachtswerking in de tandopleggingbij verticale beugels en bij opgebogen wapening die gelastwordt op de onderwapening. Dit verschil blijkt daaruit dat hetverloop van de drukstaven in het staafwerkmodel andersuitpakt. In het artikel `Tanden stijf in de beugels' uit Cement2009/1 is uitgebreid ingegaan op de krachtsafdracht door verti-cale beugels. De resultaten in dat artikel laten duidelijk zien datde oplegkracht de eerste beugel in de balk opzoekt om dekracht in de balk in te leiden, in samenwerking met de horizon-tale tandwapening. Hiervan geeft figuur 1a de richting van dedrukspanningen en figuur 1b de grootte.In het artikel uit 2009 wordt diezelfde tand voorzien van opgebo-gen wapening die gelast wordt op de onderwapening. Het modelvan deze constructie is weergegeven in figuur 2. Gekozen is om deonderwapening zelf niet omhoog te buigen maar door te latenlopen tot aan de dag van de oplegging. Voordeel hiervan is dat deeerste beugel dicht bij de oplegging kan worden geplaatst omdat ergeen rekening hoeft worden gehouden met een buigstraal. Hoeweldeze beugel geen aandeel heeft in de krachtswerking. In figuur 3met spanningstrajectori?n is het verloop van de drukstaven duide-lijk te zien.Op basis van de figuren 1a en 1b voor drukspanningen bij deverticale beugels en figuur 3 bij opgebogen wapening, laten inzich-telijke staafwerkmodellen zich tekenen. Die staan in figuur 4a en4b. De belastingafdracht bij verticale beugels is zichtbaar andersdan bij opgebogen wapening. Uit dit voorbeeld blijkt dat deandere manier van wapenen aanleiding is tot een ander verloopvan de drukdiagonalen. Er is sprake van twee compleet verschil-lende staafwerken. In figuur 4a wordt de horizontale componentvan de drukdiagonaal in de balk opgenomen door laaggelegenhaarspelden op de kop. In figuur 4b wordt deze horizontalecomponent opgenomen door de opgebogen wapening. Merk opdat er in beide gevallen spanningsvrije zones zijn. Deze kunnenmooi worden benut voor eventuele doorvoeren.Voorbeeld 2 ? HoedliggersIn het tweede voorbeeld wordt ingegaan op het verschil inbelastingafdracht tussen een hele en een halve hoedligger. EerstVerwijzing CementartikelenDe Cementartikelen waar in dit artikel naar wordtverwezen (`Cees'tandtechniek', Cement 2007/8,`Tanden stijf in de beugels', Cement 2009/1 en`Staven,panelen en elementen', Cement 2012/7) zijn te raadplegen opwww.cementonline.nl.23themaEEM helpt bij modelleren320142440 40 40 4040 40 40 40= +4 Visualisatie drukstaven tandoplegging met beugels (a) en opgebogenwapening (b)5 Hele hoedligger; splitsing in twee belastinggevallen6 EEM-model hele hoedligger (a) trajectori?n hele hoedligger (b)grijs de drukdiagonalen die de dwarskracht naar de opleggingafdragen. Druk door mogelijke wringing is niet gevisualiseerd.Of er werkelijk wringing optreedt in de balk, hangt af van dekoppeling van de vloer en van de mate waarin de neus eenhorizontaalkracht kan opnemen.Voorbeeld 3 ? Console aan een kokerliggerIn het derde en laatste voorbeeld wordt een console aan eenkokerligger geanalyseerd, die eerder is besproken in het artikel`Staven, panelen en elementen' uit Cement 2012/7. Figuur 10toont de hele kokerligger met het detail van de console. In hetgenoemde artikel is de constructie beschouwd met een staafpa-druktrajectori?n die hierbij in de doorsnede optreden. Deverticale wapeningsstaven gaan functioneren als ophangwape-ning die de belasting naar boven brengt.De halve hoedligger wordt getoond in figuur 7, weer met eensplitsing in twee gevallen. Nu is niet meer sprake van symme-trie waardoor aan ??n zijde een trekkracht van 80 kN optreedttegen een drukkracht van 40 kN aan de andere zijde. Opvallendis dus dat bij de halve hoedligger de ophangkracht het dubbeleis van die bij een hele hoedligger (middelste figuur). Bij andereverhoudingen van de afmetingen van de doorsnede kan eenandere ophangkracht volgen, maar deze is altijd substantieelgroter dan de belasting op de neus. Figuur 6a toont het EEM-model en figuur 6b de druktrajectori?n van de halve hoedlig-ger.Het rechter deel van figuur 7 geeft de belasting weer van dehalve hoedligger als geheel. Naast buigende momenten endwarskracht is nu ook sprake van wringing. De wringing isoorzaak van het zogenoemde dompeffect: de doorsnede wilwegdraaien.Figuur 9 is een visualisatie van de drukstaven, met in groengrijsde drukdiagonalen voor het evenwicht van de tand en in rood-4a 4b56a 6bEEM helpt bij modelleren 32014 2540 4040 4080 80= +7 Halve hoedligger; splitsing in twee belastinggevallen8 EEM-model halve hoedligger (a) en trajectori?n halve hoedligger (b)9 Visualisatie verloop drukstaven halve hoedliggeren eronder. Dit is in overeenstemming met het staafpaneelmo-del, waarin alleen op deze plaatsen schuifkrachten voorkomen.Scia Engineer geeft de mogelijkheid om over een bepaaldebreedte de normaalspanningen in ??n richting te sommeren toteen normaalkracht in ??n lijn (staaf) in het hart van de gekozenbreedte. Dit is een zogenoemde integratiestrook. Zulke strokenzijn een prettig hulpmiddel om te zien waar de wapening moetliggen. Figuur 13 laat het resultaat zien van de gevondennormaalkrachten voor de beschouwde console, samen met deoplossing van het staafpaneelmodel. De overeenstemming isniet slecht, rekening houdend met het verschil in oplegging. Deneelmodel; een schematisering van een betonconstructie meteen samenstel van staven en panelen. In een staafpaneelmodelnemen staven alleen normaalkrachten op en panelen alleenschuifspanningen. De wisselwerking tussen staaf en paneel iseen schuifspanning in het contactvlak tussen staaf en paneel.De verandering van de normaalkracht in de staaf bepaalt deschuifspanning in het aangrenzende paneel. Andere toepassin-gen worden besproken in het artikel `Cees' tandtechniek' uitCement 2007/8.De berekening van het consolevoorbeeld (een wand met gat)met de staafpaneelmethode is geverifieerd met behulp van SciaEngineer. Figuur 11 toont het model en de wijze van onder-steuning. De kokerligger ondersteunt de console in werkelijk-heid op twee plaatsen, maar in de EEM-berekening is deondersteuning over de volle hoogte tussen koker en consolegedacht. Figuur 12 geeft de schuifspanningen weer. Dezebevinden zich maximaal links en rechts van het gat en erboven78a8b9themaEEM helpt bij modelleren3201426FF FFFFFF2F2F2F2F10 Kokerligger met console11 EEM-model console12 Schuifspanningen console13 Integratiestroken op model, met verloop normaalkracht in`staaf'(a);vergelijking met staafpaneeloplossing (b)beelden komen aardig overeen. Bij het staafpaneelmodel zijn denormaalkrachten in de staven rondom het gat juist 50% van denormaalkrachten in de staven langs de buitenranden. In deintegratiestroken geeft Scia Engineer waarden tussen 40% en60%.Tot slotMet de niet-lineaire EEM kan het gedrag van constructies heelinzichtelijk worden gemaakt. De spanningstrajectori?n gevengoed inzicht in het gedrag van constructies en helpen om eengoed staafwerkmodel te kiezen. De grote overeenkomst tussenhet EEM-resultaat en het staafwerkmodel en staafpaneelmodelwekt vertrouwen in de analyse. Hiermee kan de constructeurop adequate wijze, wandproblemen op de juiste plaats vanwapening voorzien. 10111213a13b