ir.R. de Borst, ir.G.M.A.Kusters,ing.P.Nauta en ir.F.C. de WitteTNO-IBBC, Afdeling Technische InformaticaDIANA, eindige-elementen-methode op een microcomputerInleidingHet op grote schaal beschikbaar komen van computers heeft de ontwikkeling van numeriekemethodes voor de berekening van constructies sterk gestimuleerd. Met name de eindige-elementenmethode heeft in de afgelopen twintig jaar een stormachtige ontwikkeling door-gemaakt.Hoewel de ontwikkeling van numerieke methodes in een stroomversnelling is gekomen, is ditin mindere mate het geval met betrekking tot de toepassing van dergelijke rekenmethodes inde civiele techniek. Om het gebruik van de eindige-elementenmethode in de praktijk tevereenvoudigen, is de laatste jaren veel aandacht besteed aan het genereren van elementver-delingen, grafische in- en uitvoer, afhandeling van fouten enz. Maar zelfs meteen pakket wathiermee uitstekend is toegerust, moest men bij gebrek aan een eigen computer tot op hedennog vaak de drempelvrees overwinnen om bij een openbaar rekencentrum hiervan gebruik tegaan maken.De ontwikkeling van de microcomputer, en met name van zeer krachtige micro's zoals het bijTNO-IBBC ontwikkelde GEMINIX systeem, belooft hierin verandering te brengen. Het isvooral de combinatie van een dergelijke microcomputer en een flexibel elementenmethode-pakket als DIANA waardoor de praktische toepassing van de eindige-elementenmethodebeter bereikbaar wordt voor de constructeur.Wat is DIANA?Sinds het eerste eindige-elementenprogramma is geschreven, zijn honderden, misschienwel duizenden programma's daarvoor ontwikkeld. Een daarvan is het programmapakketDIANA, wat sinds 1972 bij TNO-IBBC in ontwikkeling is, en inmiddels vele mogelijkhedenbiedt voor het analyseren van het mechanisch gedrag van constructies.Een grote vari?teit van elementen zoals staaf-, balk-, schijf-, plaat-, schaal-, veer-,wapenings- en volume-elementen is momenteel beschikbaar. Dezeelementen kunnen zowelvoor statische als voor dynamische berekeningen worden gebruikt. De respons ten gevolgevan een dynamische belasting (zoals bijv. windstoten) kan worden bepaald via eigenwaardenof met directe tijdsintegratie. Ook is het mogelijk om rekening te houden met niet-lineairefenomenen als stabiliteit (grote verplaatsingen), scheurvorming, plasticiteit, kruip en krimp.Als er al zoveel pakketten zijn, moet er een goede reden zijn om een nieuw pakket teontwikkelen. Het zijn voornamelijk de volgende twee aspecten waarin DIANA zich onder-scheidt:- DIANA is uitermate geschikt om te worden gebruikt op kleinere computers;- DIANA is zeer flexibel: het kan met relatief weinig inspanning worden aangepast aan denieuwste ontwikkelingen op het gebied van de elementenmethode en nieuwe wensen vangebruikers.Deze twee aspecten zijn vooral het gevolg van de modulaire structuur van het gehele pakketmet onder andere een eigen besturings- en datamanagementsysteem [5]. Vooral de flexibili-teit maakt het mogelijk dat welhaast alle constructieberekeningen met DIANA kunnen wor-den uitgevoerd. Dit gevoegd bij de beschikbaarheid op een microcomputer zorgt er voor datde resultaten van onderzoek op het gebied van de elementenmethode snel kunnen wordendoorgegeven naarde ingenieurspraktijk (zie Researchtoepassingen).Behalve deze twee aspecten, is bij DIANA ook aan gebruikersvriendelijkheid de nodigeaandacht besteed. De belangrijkste aspecten zijn:- de gebruiker communiceert met DIANA (en dus niet met de computer zelf) via commando'smet trefwoorden die zijn afgeleid van begrippen uit de elementenmethode. Foutboodschap-pen zijn zelfverklarend en bevatten aanwijzingen ter oplossing van de fout;- er zijn voorprogramma's beschikbaar die, gebruik makend van regelmatigheden in de con-structie, met weinig invoer een uitgebreid elementennet genereren;- het elementennet en de berekeningsresultaten kunnen worden afgebeeld op een grafischbeeldscherm en/of een plotter. Vrijwel alle figuren bij dit artikel zijn met deze tekenfacilitei-ten geproduceerd.Cement XXXV (1983) nr. 10 679DIANA-GEMINIXMicrocomputers worden weliswaar reeds voor allerlei doeleinden ingezet, maar voor sterk-teberekeningen met behulp van de eindige-elementenmethode zijn veel gangbare micro'stoch niet erg geschikt. Dit wordt veroorzaakt door het feit dat deze machines te weinigdecimalen meenemen om nauwkeurigheidsverlies bij grotere constructieberekeningen tevoorkomen en te weinig snelgeheugen hebben om constructies van enige omvang te kunnendoorrekenen.Omdat deze microcomputers dus niet erg geschikt zijn voor dergelijke stijfheids- en sterkte-berekeningen, is enige jaren geleden bij TNO-IBBC besloten om een CAD/ werkstationte ontwikkelen dat geschikt zou moeten zijn voor rekenintensieve programma's als eindige-elementenprogrammatuur. Dit resulteerde in het GEMINIX systeem.Van de GEMINIX microcomputer zijn momenteel reeds enkele versies beschikbaar. Enkelekarakteristieke kenmerken van het systeem zijn:1. GEMINIX werkt met een 16/32 bit microprocessor (de MC 68000 chip van Motorola) en eenUNIX-V7 multi-user operating system. De eerste generatie microcomputers werkten met 8/16bit microprocessors, wat dus maar de halve woordlengte hiervan is en daardoor aanzienlijkminder nauwkeurig. Bij grotere constructies kan dit tot behoorlijke afwijkingen leiden. Voorniet-lineaire toepassingen en voor constructies met zeer grote stijfheidsverschillen neemtdeze 16/32 bit processor zelfs nog te weinig decimalen mee, zodat er momenteel bij TNO-IBBC gewerkt wordt aan de ontwikkeling van een 32/64 bit floating point processor.2. Het saelgeheugen bestaat minimaal uit een 512 Kbyte dynamische geheugenkaart, aanzien-lijk meer dan de 32 of 64 Kbyte die op de meeste microcomputers beschikbaar is. Het is zelfsheel eenvoudig het systeem uit te breiden met meer van zulke kaarten (tot een maximum van2x4 Mbyte) als daaraan behoefte bestaat.3. Het achtergrondgeheugen bestaat minimaal uit een snelle 19 Mbyte Winchester disk. Erkunnen meerdere en/of grotere disks worden aangesloten, zodat ook het achtergrondge-heugen uitbreidbaar is.4. Het is een open-groei systeem, zoals al gepoogd is duidelijk te maken. Men kan met eenrelatief eenvoudig systeem beginnen; uitbreiding zoals een nauwkeuriger processor of meervoor- en achtergrondgeheugen kan op eenvoudige wijze binnen het bestaande systeemworden gerealiseerd.5. Alle mogelijke randapparatuur, zoals printers, plotters, disk's enz., kan op het GEMINIXsysteem worden aangesloten.Momenteel is de ontwikkeling zover gevorderd dat het lineair-elastische gedeelte van DIANAvolledig beschikbaar is op het GEMINIX systeem. Het niet-lineaire gedeelte van DIANA komteind '83/begin '84 beschikbaar, als de genoemde 32/64 bits processor gereed is.BerekeningsvoorbeeidenWe zullen in het vervolg van dit artikel de mogelijkheden van DIANA illustreren aan de handvan een aantal voorbeelden. Laten we eerst een eenvoudig voorbeeld nemen, het raamwerkvan figuur 1. Dit raamwerk kan worden geschematiseerd met gewone twee-dimensionalebalkelementen. Drie belastingsgevallen zijn in een berekening meegenomen: windbelasting,1Geometrie van een eenvoudig raamwerk,geschematiseerd met twee-dimensionalebalkelementen2Momentenverdeling van de dakregel, bijlineaire en niet-lineaire berekening3Momentenverdeling van een randkolom, bijlineaire en niet-lineaire berekening4Verplaatsing Van punt A bij een lineaire enniet-lineaire berekening als functie van debelastingCement XXXV (1983) nr. 106805Elemenfenverdeling en vervorming van eenhoge wand (woningbouwplanWesthavenkade Vlaardingen). Devervormingen zijn vergroot weergegeven6Verplaatsing van punt A bijeen geometrischniet-lineaire berekening7Normaalkracht in staaf A-B bij eengeometrisch niet-lineaire berekeningvariabele belasting (schaakbordverdeling) op de regels en eigen gewicht plus rustendebelasting. Uitgaande van lineaire berekening is het raamwerk gewapend. Vervolgens is eenniet-lineaire controleberekening uitgevoerd. Hierbij is rekening gehouden met tweede-ordeeffecten en fysische niet-lineariteit (plasticiteit in het gedrag van staal en beton onder druk,scheurvorming in beton ondertrek). De in deze berekening gevonden momentenverdelingenzijn in de figuren 2 en 3 weergegeven. De horizontale verplaatsing van de dakregel (punt A) isin figuur 4 uitgezet als functie van de belasting.De mogelijkheid om rekening te houden met tweede-orde effecten is niet beperkt tot balken,maar kan ook bij twee- en drie-dimensionale elementen worden toegepast. Een voorbeeldhiervan is de wand van figuur 5. In deze wand zijn balk-, staaf- en schijfelementen toegepast.Een geometrisch niet-lineaire berekening is uitgevoerd, om de invloed van tweede-ordeeffecten te analyseren. Uit figuur 6 kan de invloed van deze tweede-orde effecten op dehorizontale verplaatsing van punt A worden afgelezen. Figuur 7 geeft de normaal kracht in dehorizontale staaf A-B ten gevolge van de aanpendelende belasting.Tot dusverre zijn alleen constructies aan de orde geweest die in hun vlak worden belast. Hetvolgende voorbeeld is een constructie die loodrecht op z'n vlak is belast: een vlakke plaat-vloer met een gelijkmatig verdeelde belasting. Daar een tweevoudige symmetrie aanwezig is,kan in de berekening worden volstaan met het meenemen van een kwart van de vloer (fig. 8).Twee berekeningen zijn uitgevoerd: een zonder wapening, de tweede met isotrope wapeningaan boven- en onderzijde van de vloer. Voor beide gevallen zijn de berekende momentenver-delingen over doorsnede A-A getekend. In figuur9 is dit gedaan voorde momentenverdelingin radiale richting en in figuur 10 voor die in tangenti?le richting.8Elementenverdeling van een ideaalmiddelveld uit een vlakke plaatvloer.Vanwege symmetrie is slechts een kwartgedeelte weergegeven9Verdeling van radiale momenten overdoorsnede A-A10Verdeling van tangenti?le momenten overdoorsnede A-AResearchtoepassingenZoals reeds aangegeven, is DIANA ook zeer geschikt voor researchdoeleinden. Een voor-beeld hiervan is het onderzoek op het gebied van de betonmechanica dat wordt uitgevoerdonder auspici?n van CUR-VB-commissie A26. In deze paragraaf worden hiervan twee voor-beelden behandeld.Het eerste voorbeeld betreft een analyse van een tweezijdig vrij opgelegde, gewapend-betonplaat die beproefd werd op brand. De plaat werd aan de onderzijde gelijkmatig verhitvolgens de standaard brandkromme, terwijl de belasting op twee punten werd aangebrachtmet behulp van vijzels. Aangezien over de breedte van de plaat geen variaties in belasting oftemperatuur optreden, kan deze plaat met behulp van balkelementen geschematiseerdworden. Het balkelement biedt de mogelijkheid om rekening te houden met plasticiteit,kruip, scheurvorming en invloed van de temperatuur op het materiaalgedrag. De resultatenvan enkele berekeningen met verschillende dekkingen op de wapening (15,25 en 35 mm) zijnweergegeven in figuur 11. In figuur 12 is de zakking als functie van de tijd weergegeven voorzowel het experiment als de analyse.Het tweede voorbeeld betreft een balk die bezwijkt op dwarskracht. Deze ligger is beproefdbij het IBBC en vervolgens nagerekend met DIANA. Evenals bij het vorige voorbeeld is er eenredelijke overeenkomst tussen de experimentele en de berekende resultaten (fig. 13). Inte-ressanter dan dit last-verplaatsingsdiagram is echter een vergelijking tussen de experimen-teel en de numeriek verkregen scheurpatronen, in het bijzonder als in het numeriek bepaaldeCement XXXV (1983) r. 10 68111Tijd-verplaatsingsdiagram voorvierpuntsbuigproef onderworpen aan destandaard brandkromme, berekend metelasto-plastisch,temperatuur-afhankelijkmateriaalgedrag12Tijd-verplaatsingsdiagram voorvierpuntsbuigproef bij brand;experimentele en berekende waarden bij 25mm betondekking13Last-zakkingsdiagramgewapend-betonligger14Scheurpatroon vlak voor bezwijkena experimenteelb berekend15Scheurpatroon bij bezwijkena experimenteelb berekendscheurpatroon alleen de dominante scheuren worden getekend. In het experiment springttussen stadia 1 en 2 (vergelijk figuur 14 en 15) een dominante scheur in de ligger die totexplosief bezwijken leidt. Zoals uit een vergelijking van de experimentele en de numeriekescheurpatronen blijkt, kan het optreden van deze scheur numeriek goed worden gesimu-leerd.Alhoewel vooral het uitvoeren van niet-lineaire berekeningen een specifieke vakkennisvereist, zijn deze geavanceerde mogelijkheden binnen DIANA dusdanig uitgekristalliseerddat ze praktisch toepasbaar zijn. Meer informatie hierover, ook voor andere materialen danbeton, wordt gegeven in [1] en [2].De hier gegeven voorbeelden worden uitvoerig besproken in [3] en [4].BesluitIn dit artikel is een indruk gegeven van de mogelijkheden van het DIANA eindige-elementenmethodepakket. In het algemeen wordt de toegankelijkheid van een dergelijkpakket voor de constructeur sterk vergroot als het beschikbaar is op een microcomputer.Enkele karakteristieken van de door TNO ontwikkelde GEMINIX microcomputer, waaropDIANA beschikbaar wordt gesteld, zijn kort beschreven.Wij zijn de CUR-VB erkentelijk voor de medefinanciering van de ontwikkelingen binnenDIANA op het gebied van de betonmechanica. Eveneens gaat onze dank uit naar ingenieurs-bureau Zonneveld te Rotterdam voorde toestemming om berekeningsresultaten van de hogewand te publiceren.Literatuur1. DIANA Gebruikershandleiding, TNO-IBBC, 19812. Borst, R. de, K?sters, G.M.A., Nauta P., en Witte, F.C. de, DIANA, A comprehensive, butflexibele finite element system; Finite Element Systems Handbook, Third Edition, 19833. Rots, J.G., Prediction of dominant cracks using the smeared crack concept, TNO-IBBCrapport, nr. BI-83-39,19834. Foeken, R.J. van, Brandproeven op vrij opgelegde platen gesimuleerd met DIANA; TNO-IBBCrapport, nr. BI-83-52,19835. Witte, F.C. de, en K?sters G.M.A., Software Engineering Aspects of Flexible StructuralAnalysis Systems, Proc. IABSE Colloqium Delft 1981 Advanced Mechanics of ReinforcedConcrete, oktober 1981Cement XXXV (1983) nr. 10 682