BEREKENING van contructies inVOORGESPANNEN BETON (I)door ir. A. S. G. Bruggeling*)In een aantal artikelen zal de theorie van hetvoorgespannenbeton worden uiteengezet aan de hand vanenigeberekeningsvoorbeelden.(Red.)I. InleidingVoor een goed begrip van het principe ,,voor-gespannen beton" is het wenselijk:1. de wijze waarop gewoon gewapend betonwerkt te bezien en2. na te gaan welke bezwaren aan het gewoongewapend beton zijn verbonden.Gewapend beton wordt gevormd door beton enstaal, welke materialen door samenwerking instaat zijn, de krachten die op de constructiewerken, naar de fundering over te brengen. Dezesamenwerking ontleent haar mogelijkheid vanbestaan aan de volgende eigenschappen van dematerialen:a.de goede aanhechting van beton aan staal;b.de bescherming tegen roestoptreding, welkehet beton aan het wapeningsstaal biedt;de uitzettingsco?fficient van beton en staal,welke pratisch gelijk is. Was dit niet het geval,dan zou of het staal loskrimpen of het betondoor deze oorzaak scheuren.De materialen beton en staal moeten nu in debetonconstructies zo samenwerken, dat de func-tie, die de materialen bij de overdracht van debelastingen hebben, het best overeenkomt metde aard van het materiaal.B e t o n is een materiaal, dat typisch in staat isdrukspanningen op te nemen; vandaar de toe-passing bij massieve betonnen pijlerconstructies,fundatieblokken, enz. De drukvastheid van betonloopt uiteen van ca 100 tot 1000kg/cm2; de hogevastheden worden bereikt door minitieuze beton-bereiding, betonverwerking (b.v in betonwaren-fabrieken) en grondstofkeuze.Staal, vooral in de vorm waarin het bij betonconstructieswordt verwerkt, is een typerend*) Auteursrechten vporbehouden.206trekmateriaal; wordt een vrije staaf van enigelengte met een centrische kracht belast, dan zalzij reeds bij een vrij geringe belasting uitknikken.Is een staaf in beton ingestort en wordt zij opverschillende plaatsen met behulp van beugelstegen uitknikken met een betonconstructie verbonden,dan is het reeds zeer goed mogelijk haargrote drukspanningen te laten opnemen (kolommen).De huidige staalkwaliteit heeft een trekvast-heid vari?rend tussen 3 700 en 25 000 kg/cm2.Bij op buiging belaste balken van gewapendbeton wordt nu de trekwapening in deonderzijde van de balk aangebracht d.w.z. aandie zijde waar trekspanningen op zullen treden(normale belastinggevallen). De momenten, diein de constructie werken, worden nu opgenomendoor de drukkrachten in het beton enerzijds endoor de trekkrachten in de wapening anderzijds.In de constructie wordt dus een inwendig mo-ment, gelijk en tegengesteld aan het uitwendigmoment, gevormd.M = Ty ?r = Db?r (fig. 1)Bij de berekening vanconstructiesin gewoon gewapendbeton wordt dusaltijd verondersteld, dat debeton geen trek opneemt;hierover valt echter te dis-cussiecren.In het algemeen kan wordengezegd, dat betonplatenniet aan de onderzijdegescheurd zullen zijn, terwijlhoge balken en vooralT-balken bij de belasting,waarop ze worden berekend,grote kans lopen scheuren te gaan vertonen.Dat het beton in de trekz?ne bij de berekeningbuiten beschouwing wordt gelaten, betekent: datal dit beton voor het opnemen van krachtenverloren is en dus dood gewicht geeft. Waartoedient het beton in de trekz?ne dan?In de eerste plaats om het staal, dat juist in dietrekz?ne ligt, tegen roesten te beschermen enin de tweede plaats om te zorgen, dat de inwendigehefboomsarm tussen betondruk en staaltrek gehandhaafdblijft.Nu speelt het eigen gewicht van het beton in detrekz?ne bij kleine overspanningen niet zulk eengrote rol; bij grote overspanningen echter zal bijhet dimensioneren van gewap?nd-betonconstruc-ties blijken, dat het eigen gewicht zelfs gaat overheersen.Bovendien is er nog een belangrijk punt, dat indit verband moet worden genoemd, nl.: de kwali-teit van de materialen. Zoals reeds werd opge-merkt, stelt de huidige stand der betontechniek .ons in staat reeds veel betere beton te maken danvoorheen door: verbetering van de betonkwaliteit(waardoor met veel minder water kan worden vol-staan), juistere kennis van de granulometrie, ge-bruik van hoogwaardig cement, enz. Ook is hetmogelijk hoogwaardigere staalkwaliteiten dan hetnormaal gebruikelijke St 37 toe te passen, doch..deze betere kwaliteiten kunnen in normale beton?constructies niet worden uitgebuit. Zouden in hetbeton veel hogere drukspanningen worden toe-gelaten, dan kan inderdaad lichter worden ge-construeerd, maar bij gebruik van de zelfdestaalkwaliteit zal er in verhouding Veel meerstaal nodig zijn. Dit is voor het maken van goedegewapend-betonconstructies niet gewenst. Bijverwerking van veel betere staalkwaliteiten zaler ook minder staal nodig zijn, maar dan zal descheurvorming ons snel parten gaan spelen, daarde elasticiteitsmodulus van al deze staalsoortennagenoeg even groot is als die van gewoon staal.Dit wil dus zeggen: het staal moet veel meerverlengen, als de gewenste hoge staalspanningwordt benut. De kans op scheurvorming neemtdan toe en zal zelfs zeer spoedig onaangenameafmetingen gaan aannemen. Enige verbeteringvan dit laatste is wel te verkrijgen door eenrationele keuze van de wapening en door toe-passing van bijzondere wapeningen (vergrotingvan het aanhechtingsoppervlak), maar dit voertzeer snel tot een punt, waar niet meer boven uitte komen is.,,Voorspannen" echter stelt ons in staat, de materialenbeton en staal volledig te gebruiken door aanhet staal -voordat de belasting op de constructiekomt-- reeds een grote trekspanning te geven.Hierdoor komen dus in het beton als reactie grotedrukspanningen, welke het beton gemakkelijkkan opnemen, terwijl het door het op deze wijzeintroduceren van drukspanningen in het betonmogelijk is, de hinderlijke trekspanningen in hetbeton te vermijden. Dit wil dus zeggen: de gehelebetondoorsnede zal nu, door het achterwegeblijven van de trekspanningen, medewerken debelastingen te dragen.Het is dus zo, dat bij voorgespannen beton,het beton de buigende momenten t.g.v. de belastingopneemt, terwijl het staal uitsluitendvoor een bepaalde, weinig vari?rende voorspanningzorgt.Men dient echter uit de hiervoor gevolgde redeneringgeen verkeerde conclusies te trekken.Hoogwaardig staal vormt geen essenti?el onderdeelvan voorgespannen beton1). Freyssinet heeftreeds jaren geleden het idee geopperd, draden vanspeciaal plastic toe te passen; hierop zou pereenheid zelfs nog een veel grotere spanning toegelatenkunnen worden. Verder is het voor-spannen van constructies (bv. tegen rotswandenmet behulp van vijzels) reeds lang bekend.De gedachte in deze redenering leidt slechts totde conclusie, dat het door toepassing van voorgespannenbeton mogelijk wordt:1. superieure beton- en staalkwaliteiten tegebruikenen deze geheel uit te buiten,2. de betondoorsnede geheel te laten medewerkenbij het overdragen van de belastingen, zodateen volledig gebruik is gewaarborgd,3. veel lichter te construeren, vooral bij grotereoverspanningen.Door het feit dat de constructies lager zullenworden, wordt de inwendige hefboomsarm ookkleiner; dit betekent: dat de betonspanningenhoger worden en dat de trekkracht in het staalook een aanmerkelijk hogere waarde moetkrijgen.Doordat in het nu in zwang zijnde hoogwaardigstaal, St 140-170, veel hogere trekspanningenkunnen worden toegelaten, is hiervan veel minderstaal nodig. Met gewoon staal zou het immersonmogelijk zijn in voorgespannen beton tebouwen, omdat er niet alleen veel te veel staalnodig zou zijn (betonstorten, eindverankerin-gen!), maar ook omdat door het krimpen enkruipen van het beton en het kruipen van hetstaal de voorspanning practisch geheel tenietzou gaan.1) Daarom geldt in het algemeen de definitie vangewapendbeton niet voor voorgespannen beton!207II.Notaties (zie fig. 2)Drukspanningen worden aangegeven door -- entrekspanningen door +.b, bv h, hv enz. zijn de afmetingen van het balk-profiel.F = het oppervlak van de balkdoorsnedeho = de afstand van de neutrale lijn tot deonderzijde van de balkhb = de afstand van de neutrale lijn tot debovenzijde van de balkSmm = het statisch moment van het gedeelteboven (onder) mm gelegen, t.o.v. deneutrale lijn nnI = het traagheidsmoment t.o.v. deneutralelijn nnWQ = het weerstandsmoment van het profielt.o.v. de ondervezel: W0 = I/h0Wb = het weerstandsmoment van hetprofielt.o.v. de bovenvez?; Wb = I/Hk0 = de kernstraal onder de neutrale lijn;ko = Wb/Fkb = de kernstraal boven de neutrale lijn;kb= W0jFko' en kb ' zijn de nuttige kernstralen behorendbij bepaalde toelaatbare spanningene = de excentriciteit van het drukpunt dervoorspanning t.o.v. de (nuttige) kernd = de afstand van het drukpunt dervoorspanningt.o.v. de balkonderzijdel = de theoretische overspanning van debalkp = de bovenbelasting van de balk perlengte-eenheidg = het eigen gewicht van de balk perlengte-eenheids = het volumegewicht, dit is het gewichtvan het beton per eenheid van volumeV = de grootte van de voorspanning in dedoorsnedeM = het moment in een bepaaldedoorsnede(Mg t.g.v. het eigen gewicht, Mp t.g.v.de bovenbelasting)D = de dwarskracht in een bepaaldedoorsnedeIII.Bepaling van het spanningsverloopvan een rechihoekige doorsnede van een voorgespannenbetonconstruciieVeronderstel dat we een constructie in voorgespannenbeton hebben, waarop t.g.v. vertikalebelastingen buigende momenten werken, endat aanvankelijk een normale rechthoekige balkwordt beschouwd.In de beschouwde doorsnede werken de volgendemomenten:a. Mg, het moment t.g.v. het eigen gewicht en1 = de minimum toelaatbare (uiteindelijke)betonbuigspanning2 = de maximum toelaatbare (uiteindelijke)betonbuigspanning0 = de betonspanning in de onderste vezelvan de doorsnedeb = de betonspanning in de bovenste vezelvan de doorsnedenn = de betonspanning i. d. neutrale lijn nnmm = de schuif spanning in een bepaalde lijn(mm); xmm = D-Smm/bI= de hoofdspanning in het betony = de staalspanning in de voorspan-kabelsyp = de primaire staalspanning in de voor-spankabelsEb = de elasticiteitsmodulus van het betonE y= de elasticiteitsmodulus van het staalfig. 3. spanningsdiagrammen bij een balk i.g.v. Mg enMg + Mpb. Mp, het moment t.g.v. de bovenbelasting.Veronderstel alle grootheden van de homogeengedachte betondoorsnede bekend, dan kunnende spanningen in de onder- en bovenvezel t.g.v.deze momenten worden bepaald (fig. 3):minimum: -- 01 = + b1 = Mg/W (1a)maximum: -- 02 = + b2 = (Mg + Mp)/W(1b)208fig. 2. aanduiding der grootheden van de doorsnede bij eenvoorgespannen beionbalkWe zien dus, dat de trekspanning in de onderstevezel van de balk varieert tussen Mg/W en(Mg + Mp)/W.Daar trekspanningen in het beton niet wenselijkzijn, wordt ge?ist:1. dat er steeds ten minste een drukspanning jin het beton blijft en2. dat tevens de maximum spanning in het betonnooit groter wordt dan 2.Nu is bekend, dat indien op een rechthoekigedoorsnede een normaalkracht werkt, de spanningenin de uiterste vezels als volgt kunnenworden bepaald (fig. 4):flg. 4. grootheden bij een rechthoekige betonbalkBovendien is altijd:0 + b = 2V/Fhetgeen volgt uit de combinatie van (2a) en (2b)of:V/F = ?(0 + b) (4)Als combinatie van de ge?ntroduceerde drukspanningV en de optredende momenten Mg enMp in doorsnede nn wordt dus ge?ist (fig. 5):a. bij alleen het eigen gewicht:1. ondervez?i: -- MglW+ V.e'/W=2 .. (5a)2. bovenvez?l: + Mg/W-- V.e/W = 1 .. (5b)h. bij volledig belaste balk:ondervezel:-- Mg/W -- Mp/W+ V.e'/W = 1 .. .. (6a)2. bovenvez?l:+Mg?W+MplW-- V.e?W = 2 .... (6b)Nu moet, indien mogelijk, het dus zo zijn: datde spanningstoestanden bij eigen gewicht alleen?n bij volledig belaste constructie juist in beidetoestanden in onder- en bovenvez?l de toelaatbarespanningen 1 en 2 worden bereikt.Dat we hier niet de spanningstoestand en alleenvoorspanningen volledig belaste constructie beschouwen, zalverderop nog worden uiteengezet.Door (6a) van (5a) of door (5b) van (6b) af tetrekken wordt nu gevonden:Mp/W = 2 -- 1waaruit dus: W = /(2 -- 1) (7)Deze formule eist een aandachtige beschouwing,want het moment t.g.v. het eigen gewicht komthierin niet voor.Als een balk wordt voorgespannen, zal in eersteinstantie uitsluitend t.g.v. de voorspanning hetin fig. 5 getekende spanningsdiagram optreden.Worden echter niet alleen de spanningen maarook de vervormingen van de balk bezien, danblijkt dat de balk een opbuigend moment krijgt.Dit wil zeggen: dat de balk van de vloer, waaropzij v??r het aanspannen der kabels rust,zal oprijzen. Foto 6 toont een balk, die door hetvoorspannen van haar werkvloer is losgekomen!Dit betekent dus, dat de toestand van alleenfoto 6. Door het voorspannen is de balk losgelaten van haar werkvloerHet lucifersdoosje geeft de grootte der opbuiging aan.voorspannen op de balk nooit zal optreden, maardat tijdens het aanbrengen van de voorspanningook reeds het eigen gewicht gaat meedragen.Vandaar dat in de beschouwing wordt uitgegaanvan de spanningstoestand alleen t.g.v.209fig. 5. spanningsdiagrammen in de doorsnedevan een voorgespannenbetonbalk combinatie vanbelastingsgevallenhet eigen gewicht m?t voorspanning, waarbij aande bovenzijde van de balk een minimum druk-spanning dient te blijven, en aan de onderzijdeeen maximum drukspanning wordt toegelaten.Bij volle belasting keert dit spanningsbeeld dusjuist om!De afmetingen van de balk zijn dus te bepalenmet behulp van formule (7):In de formule voor het bepalen van de afmetingen derbalk komt dus inderdaad het eigen gewicht van debalk niet voor!Met andere woorden: het dragen van het eigengewicht van de balk kost niets, tenminste bij eengoede dimensionering en bij een tussen bepaaldegrenzen beperkte verhouding van eigen gewichten bovenbelasting.Het eigen gewicht wordt gedragen door de voorspanningzo veel lager te laten aan grijpen, alsvoor het opnemen van het moment t.g.v. heteigen gewicht nodig is.Wordt de totale voorspanning, die op de balkwordt aangebracht, V, dan kan daaruit de be-nodigde hefboomsarm voor de bovenbelastingworden bepaald:2k' = Mp/V (9)Aangezien, zoals uit de hiervoor afgeleide formule(4) geldt:V = l/2 (1 + a2).Fwordt dus gevonden:2k' = 2 Mp/F. (1 + 2)of, omdat (7): Mp = W. (2- 1)is:2k' = 2W. (2 - 1)/F.(1 + 2)en wordt: '=k.(2 - 1)/(1 + 2)(10)Deze k' zou de nuttige kernstraal behorende bij detoe te laten spanningen 1 en 2 kunnen wordengenoemd. Indien de balk symmetrisch is t.o.v. deneutrale lijn, geldt de gegeven formule (10) voorde nuttige kernstraal als functie van de maximumen minimum 1 en 2.Voor onsymmetrische balken gelden andere formules,waarop later zal worden teruggekomen.Wordt als voorwaarde gesteld, dat nooit trek inhet beton mag optreden, dan wordt 1 = 0 enwordt in de formule (10) de in veranderd,d.w.z. in de normale kernstraal van de doorsnede.In het algemeen kan dus voor een balk-doorsnede de kernstraal k', die behoort bij detoelaatbare spanningen 1 en 2, worden bepaald.De afstand, welke het drukpunt van de voorspanningonder deze nuttige kernstraal moet liggen,is dus e = Mg/V. Er kunnen zich nu 3 gevallenvoordoen; het drukpunt van de voorspanningligt:1.te laag; valt dus onder de balksnede.Dit wil zeggen, dat het eigen gewicht van debalk te groot is t.o.v. de bovenbelasting omeconomisch te kunnen construeren. Er moetdan of een gedeelte van het eigen gewicht bijde bovenbelasting worden gebracht of debovenbelasting moet worden vergroot.2.zodanig, dat de betonbedekking op de kabelsgroot genoeg is.Kan dit worden bereikt, dan zal in het algemeenhet meest economisch wordengedimensioneerd.3.zodanig, dat de betonbedekking op de kabels veelte groot wordt.Hierbij is het eigen gewicht t.o.v. de bovenbelastingdus te klein. Dit kan b.v. wordenopgelost door het eigen gewicht ten koste vande bovenspanning te vermeerderen, waardoorook een zo economisch mogelijke balk wordtverkregen.Deze gevallen zullen aan de hand van enigerekenvoorbeeldennauwkeurig worden toegelicht.(wordt vervolgd)HET STIKSTOFBINDINGSBEDRIJF DER STAATSMIJNENInbedrijfstelling van de SynthesegasfabriekOp 28 October jl. is door Zijne Excellentie Prof. Dr. J. R. M. van den Brink, Minister van Economische Zaken, op het Stik-stofbindingsbedrijf der Staatsmijnen de Synthesegasfabriek in bedrijf gesteld.Verschillende interessante onderdelen van dit betonnen complex zullen door Ir. C. W. J. Groothoff in ,,Cement" wordenbeschreven. Zelfs de ?nhoudsaanwijzers der gashouders zijn van gewapend beton.koel- en ont- gaswas-gravingstorens gebouw conversiegebouw gashouders generatorengebouw
Reacties