Doorbuiging in de GTB7201080Doorbuigingin de GTBIn de GTB 2010, afgestemd op NEN-EN 1992-1-1 (EC2), zijn tabellenopgenomen waarmee de fictieve buigstijfheid van een gewapend-betonconstructie eenvoudig kan worden berekend. Tabelwaardenzijn ontleend aan formules die zijn afgeleid voor de EC2-rekenme-thodiek voor vervormingsberekeningen. In deze bijdrage wordende rekenmethodiek, de formules en de tabelwaarden toegelicht.Vervorming van gewapend-betonconstructies volgens de EurocodesDe vervormingseisen in NEN 6702 zijn vermeld in de toelich-ting bij NEN 6720, art. 4.2.1 en 8.6.1.Het berekenen van de doorbuiging heeft plaats aan de handvan M-N--diagrammen. Als aan bepaalde voorwaarden metbetrekking tot de geometrie van de doorsnede wordt voldaanen sprake is van buiging zonder normaalkracht, mag NEN6720, art. 8.6.3 worden toegepast, waarin de buigstijfheid directwordt berekend uit de ongescheurde buigstijfheid van de door-snede. Een reductiefactor verwerkt hierbij de invloed van debetonsterkteklasse, het belastingsniveau, de eventuele kruip, dewapeningsverhouding en de aard van de berekende doorbui-ging (korteduur/langeduur).Met het verschijnen van de Eurocodes hebben op het gebiedvan de vervormingseisen en de rekenmethodiek aanzienlijkewijzigingen plaatsgehad.Vervormingen in de EurocodesNEN-EN 1990 (EC0) onderscheidt in bijlage A (fig. A1.1; ziefig. 1) diverse vormen van verticale vervormingen, hier door-buigingen genoemd.EC0 geeft aan dat de belastingscombinatie quasi-blijvend uit deBGT zich leent voor toetsingen met langeduureffecten. Alsdeze belastingscombinatie wordt gebruikt om de doorbuigingte berekenen, dan zouden daarvoor de volgende stappen inaanmerking komen:? onmiddellijk optredende doorbuiging door blijvende belas-tingen;Aan de verticale vervorming van betonconstructies kunnen uitverscheidene oogpunten eisen worden gesteld:? esthetica;? voorkomen van schade aan scheidingswanden;? voorkomen van ongewenste trillingen;? voorkomen van wateraccumulatie op daken.Om ongewenste gevolgen te voorkomen, zijn in NEN 6702vervormingseisen geformuleerd. Deze hebben betrekking opdiverse onderscheiden vormen van doorbuiging, zoals de directoptredende en bijkomende doorbuiging en de doorbuiging inde eindtoestand. Voor elk type doorbuiging is een belastings-combinatie beschreven en is aangegeven of het een kortdu-rende of een langdurende belasting betreft.Doorbuiging in de GTB 72010 81wcwc zeeg van het onbelaste element (c = camber);w1 doorbuiging onder de blijvende belasting (G);w2 langetermijn doorbuiging onder blijvende belastingen (G);w3 bijkomend deel van de doorbuiging onder veranderlijke belastingen(2 Q; kortdurend en langdurend);wtot totale doorbuiging = w1 + w2 + w3 ;wmax blijvende totale doorbuiging rekening houdend met de zeeg.wmax w3wtotw2w1G + 2QGG + Qbelastingdoorbuiging wwtot,kwbijwon1 Vervormingscomponentenzoals onderscheiden in EC02 Relatie tussen doorbuiging enbijbehorende belasting? bijkomende, onmiddellijk optredende doorbuiging door hetkortdurend aanwezig zijn van het blijvend deel van de veran-derlijke belastingen;? tijdsafhankelijke bijkomende doorbuiging door het langdu-rend aanwezig zijn van de blijvende belastingen en het blij-vend deel van de veranderlijke belastingen.EC0 stelt geen eisen aan de vervormingen; deze zijn naderovereen te komen tussen opdrachtgever en opdrachtnemer(EC0, A1.4.2 (2)). Opgemerkt wordt wel, dat deze in de natio-nale bijlage (NB) kunnen zijn voorgeschreven. In de NB:2007bij EC0 wordt opgemerkt dat de strengste criteria volgens NEN6702, hoofdstuk 10 en NEN-EN 1992 t.m. NEN-EN 1999moeten worden gebruikt.EC2 geeft in 7.4.1 (4) en (5) een indicatie van de grenswaardenvan de doorbuiging die in het algemeen leiden tot voldoendeprestaties van gebouwen als woningen, openbare gebouwen enfabrieken:? een doorbuiging in de eindtoestand (inclusief zeeg) 0,004 l;? een bijkomende doorbuiging 0,002 l.De eerste eis heeft betrekking op het uiterlijk en de bruikbaar-heid van de constructie; de tweede eis op het voorkomen vanbeschadigingen aan aansluitende constructiedelen (bv. schei-dingswanden).De belastingscombinatie die van toepassing is, is de quasi-blij-vende combinatie:G + 2 QIn de terminologie van de NEN 6700-serie is dat de perma-nente belasting plus de momentane veranderlijke belasting.EC2 geeft in 7.4.2 uitdrukkingen voor de grenswaarde voor deslankheid waarbij aan de twee voorgaande doorbuigingseisenwordt voldaan en berekeningen achterwege mogen blijven.Doorbuigingen; EC2 versus NEN6702/6720DoorbuigingenUit het voorgaande overzicht blijkt dat EC0 de constructeur/ontwerper voor doorbuigingseisen verwijst naar nader temaken afspraken met de opdrachtgever en dat de NB hieraantoevoegt dat ten minste moet worden uitgegaan van de criteriavolgens NEN 6702. De twee geadviseerde eisen zoals opgeno-men in EC2 zijn in lijn met de eisen zoals in NEN 6702vermeld met betrekking tot:? de doorbuiging in de eindtoestand;? de bijkomende doorbuiging bij vloeren die weinig vervorm-bare (steenachtige) scheidingswanden dragen.Met betrekking tot de bijkomende doorbuiging is het hanterenvan slechts ??n grenswaarde echter een aanzienlijke beperkingten opzichte van de aanpak volgens NEN 6702.BelastingenOok op het gebied van de belastingscombinatie is er eenverschil tussen EC2 en NEN 6702. EC2 kiest namelijk voor hetberekenen van de doorbuiging in de eindtoestand voor dequasi-blijvende belastingscombinatie. Ten opzichte van NEN6702 wordt dan de stap van de momentane naar de incidenteleveranderlijke belasting niet gemaakt. Dit is toegelicht in figuur2, waar de stap van (in Eurocode-terminologie) G + 2 Q naarG + Q door EC2 dus niet wordt gemaakt.Doorbuigingseisen en belastingscombinaties in deGTB 2010Op grond van deze bevindingen is door de GTB-stuurgroepbesloten de doorbuigingseisen uit NEN 6702 te hanteren.Omdat de eisen niet los kunnen worden gezien van de bijbeho-rende belastingscombinaties, is ook besloten de EC2-combina-ties aan te passen. Dit houdt in dat de doorbuiging in de eind-dr.ir.drs. Ren? BraamTU Delft, fac. CiTG / Adviesbureauir. J.G. Hageman BV1 2Doorbuiging in de GTB7201082Ongescheurd stadiumIn het ongescheurd stadium (subscript I) wordt bij een kortdu-rende belasting (subscript 0) de invloed van de buigtrekwape-ning op de buigstijfheid verwerkt door de co?ffici?nt:I,0 =1 + 3el________1 + e lwaarin:eis de verhouding tussen de elasticiteitsmoduli van staal enbeton, e= Es/ Ecm;lis de wapeningsverhouding voor de buigtrekwapening,betrokken op de nuttige hoogte van de doorsnede; l =As___bdVoorgaande uitdrukking is ontleend aan [1] en verondersteld isdat de excentriciteit van de buigtrekwapening es= 0,4 h.Bij een langdurende belasting (subscript ) is de co?ffici?nt:I, =1_________1 + (,t0).1 + 3e l________1 + e lGescheurd stadiumIn het gescheurd stadium (subscript II) heeft de grootte van deelasticiteitsmodulus invloed op de relatieve drukzonehoogte.De GTB-tabellen zijn afgeleid voor een rechthoekige beton-doorsnede. Dan geldt voor de relatieve drukzonehoogte in hetgescheurd stadium, t = 0 en t = :x0__d= -e l + ____________(e l)2+ 2e lx__d= -e [1 + (,t0)] l + _________________________________(e[1 + (, t0)] l)2+ 2e [1 + (,t0)] lDe buigstijfheidco?ffici?nt in het gescheurd stadium (II) volgtuit de verhouding tussen de buigstijfheid in het gescheurde enhet ongescheurde stadium. In het gescheurde stadium geldt [1]:(EI)II = ? Ecmb x2(d ? x)Voor de rechthoekige doorsnede met breedte b, hoogte h ennuttige hoogte d leidt deze uitdrukking voor t = 0 en t = totde volgende buigstijfheidco?ffici?nten:II,0 =(EI)II,0_____(EI)0= 6 (d__h)3(x0__d)2(1 ?1__3x0__d)II, =(EI)II,_____(EI)0= 6 (d__h)3(x__d)2(1 ?1__3x__d) 1_________1 + (,t0)De uitdrukkingen voor de buigstijfheidco?ffici?nt zijn nu voorde vier mogelijke combinaties van toestanden bekend (onge-scheurd of gescheurd in combinatie met korteduur of lange-duur). Ook zijn uitdrukkingen gegeven voor de dan optre-dende drukzonehoogte. Met de EC2-interpolatieformule voortoestand wordt berekend voor de karakteristieke BGT-belas-tingscombinatie uit EC0 (G + Q).Voor het in rekening brengen van tijdsafhankelijke effectenwordt in de GTB wel de combinatie zoals gebruikt in EC2gekozen: G + 2 Q.Het in figuur 2 getoonde schema is dus aangehouden.Berekenen van de doorbuigingIn NEN 6720 wordt de optredende kromming afgelezen uit eenM--diagram (NEN 6720, fig. 73). Om de tension stiffening (debijdrage van beton onder trek) in rekening te brengen, wordtverondersteld dat de relatie een rechtlijnig verloop heeft tussenhet scheurmoment en het moment waarbij de trekwapening devloeigrens bereikt.EC2 beschrijft de tension stiffening op een andere manier enwel zodanig dat de werkelijke buigstijfheid direct wordt bere-kend uit de ongescheurde en gescheurde buigstijfheid. Bijzuivere buiging volgt:(EI)f = (EI)II + (1 ? ) (EI)Iwaarin:(EI)fis de werkelijke (fictieve) buigstijfheid;(EI)Iis de ongescheurde buigstijfheid;(EI)IIis de gescheurde buigstijfheid; = 1 ? (sr__s)2 is de invloed van de belastingsduur (1,0 bij kortdurend; 0,5bij langdurend);sis de staalspanning in de trekwapening in een gescheurdedoorsnede bij de aanwezige belasting;sris de staalspanning in de trekwapening in een gescheurdedoorsnede bij het scheurmoment.Er is voor gekozen in de GTB 2010, evenals in NEN 6720, dewerkelijke buigstijfheid uit te drukken in de korteduur buig-stijfheid van de ongescheurde en ongewapend verondersteldebetondoorsnede, (EI)0:(EI)f = cs (EI)0waarin :csis een co?ffici?nt waarmee de invloed van de wapenings-verhouding, de belastingsduur en het al dan niet gescheurdzijn van het beton in rekening wordt gebracht.In de uitdrukking wordt uitgegaan van de korteduur elastici-teitsmodulus van beton, Ecm(EC2, tabel 3.1). Bij een langdu-rende belasting worden tijdsafhankelijke effecten in rekeninggebracht door uit te gaan van een fictieve elasticiteitsmodulus:Ecm, =Ecm_________1 + (,t0)Doorbuiging in de GTB 72010 83tot,k =MG + 2 Q_______(EI)I,+M(1 ? 2)Q_______(EI)*=MG+Q_____(EI)fFictieve buigstijfheid:(EI)f =(EI)*(EI)I, MG+Q________________________(EI)I, M(1 ? 2)Q + (EI)*MG + 2QOmdat de doorsnede scheurt tijdens het verhogen van debelasting, moet, zoals vermeld, de bijbehorende buigstijfheid(EI)*worden gevonden door interpolatie tussen de onge-scheurde en gescheurde buigstijfheid:(EI)*= (1 ? )(EI)I,0 + (EI)II,0waarin: = 1 ? ( Mcr_____MG+Q)2Omdat hierbij sprake is van een kortdurende belasting, is in devoorgaande uitdrukking de tension stiffening niet gereduceerd( = 1).Met 3 =Mcr_____MG+Q(3< < 1,0) kan dit worden geschreven als:(EI)*= 23 (EI)I,0 + (1 ? 23)(EI)II,0Buigstijfheidco?ffici?nt:cs =I, (23 I,0 + (1 ? 23) II,0)_____________________________(1 ? ) I, + (23 I,0 + (1 ? 23) II,0) =MG+2Q______MG+Qen 3 =Mcr_____MG+QDoorsnede altijd gescheurdNu is Mquasi-blijvend> McrOok onder de langdurende belasting is de doorsnede nugescheurd. Dit betekent dat zowel voor de langdurend als dede buigstijfheid (incl. tension stiffening) kan nu de uitdrukkingvoor de buigstijfheid in de diverse te onderscheiden belasting-stadia worden afgeleid.Doorbuiging in de eindtoestandDoorsnede altijd niet-gescheurdIn deze toestand is Mkarakteristiek= MG+Q< Mcr= W fctm.De optredende kromming wordt gevonden door het quasi-blij-vende deel van de belasting langdurend aanwezig te laten zijn.De belastingsverhoging tot de karakteristieke belastingscombi-natie heeft kortdurend plaats. De totale (subscript: tot) krom-ming ten gevolge van de karakteristieke belastingscombinatie(subcript: k) is dan:tot,k =MG + 2 Q_______(EI)I,+M(1 ? 2)Q_______(EI)I,0=MG+Q_____(EI)fVoor de fictieve of gewogen buigstijfheid volgt:(EI)f =(EI)I,0 (EI)I, MG+Q________________________(EI)I, M(1 ? 2)Q + (EI)I,0 MG+2Qzodat de buigstijfheidco?ffici?nt is te schrijven als:cs =I,0 . I,______________ I,0 + (1 ? ) I,met =MG+2Q______MG+QDoorsnede niet-gescheurd in de quasi-blijvende toestandmet het langeduureffectNu is Mkarakteristiek> Mcr, maar Mquasi-blijvend< McrOnder de langdurende belasting is de doorsnede nietgescheurd; deze scheurt wel als de belasting kortdurend wordtverhoogd tot de karakteristieke waarde. De buigstijfheid onderlangdurende belasting is dus bekend; de buigstijfheid bij dekortdurende belastingsverhoging volgt na interpoleren tussende toestanden ongescheurd en gescheurd. Laatstgenoemdebuigstijfheid wordt (EI)*genoemd:Tabel 1 Waarden van cs; doorbuiging in de eindtoestand, ligger altijd niet-gescheurd, MG + Q Mcrl = 0,5 = 0,7 = 0,9(,t0) (,t0) (,t0)0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 30,0020,0050,0100,0150,0201,031,061,131,181,240,700,740,800,850,900,530,580,640,690,740,430,480,540,590,631,031,061,131,181,240,620,660,710,770,810,450,490,540,590,630,350,390,450,490,531,031,061,131,181,240,550,590,650,700,740,380,420,470,520,560,300,330,380,420,45Tabel 2 Waarden van cs; doorbuiging in de eindtoestand, ligger altijd niet-gescheurd bij MG+2Q Mcren altijd gescheurd bij MG+Q> Mcrl = 0,5 = 0,7 = 0,93= 0,6 3= 0,9(,t0) (,t0) (,t0) (,t0)0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 30,0020,0050,0100,0150,0200,600,690,800,880,970,470,540,620,680,750,390,450,520,580,630,330,380,450,500,550,930,981,051,111,170,650,690,760,810,860,500,550,610,660,710,420,460,520,570,610,930,981,051,111,170,580,620,680,740,790,430,470,520,570,620,340,380,430,480,521,021,061,121,171,230,550,590,640,690,740,380,420,470,520,550,300,330,380,420,45Doorbuiging in de GTB7201084Onmiddellijk optredende doorbuigingDe onmiddellijk optredende doorbuiging wordt berekend voorde blijvende belasting. Omdat de kortdurend optredende door-buiging wordt berekend, behoeven geen langeduureffecten inde berekening te worden betrokken.Doorsnede ongescheurdNu is MG< Mcr= W fctm.Optredende kromming:on =MG_____(EI)I,0=MG____(EI)fDe buigstijfheidco?ffici?nt is direct te schrijven als:cs = I,0Doorsnede gescheurdOmdat MG> Mcris de optredende kromming:on =MG_____(EI)***=MG____(EI)fOmdat de doorsnede gescheurd is, wordt de buigstijfheid (EI)***weer berekend door interpoleren tussen de ongescheurde engescheurde buigstijfheid. Beide behoren bij de toestand waarinsprake is van een kortdurend aanwezige blijvende belasting.Dan volgt:(EI)***= (1 ? )(EI)I,0 + (EI)II,0kortdurend aanwezige belasting moet worden genterpoleerdtussen de ongescheurde en de gescheurde buigstijfheid. Daarbijmoet dan ook nog rekening worden gehouden met een verschilin belastingsniveau. Als hulpvariabelen worden de buigstijfhe-den (EI)*en (EI)**gebruikt:tot,k =MG + 2 Q_______(EI)**+M(1 ? 2)Q_______(EI)*=MG+Q_____(EI)fFictieve buigstijfheid:(EI)f =(EI)*(EI)**MG+Q________________________(EI)**M(1 ? 2)Q + (EI)*MG + 2QOmdat de doorsnede altijd gescheurd is, moeten, zoalsvermeld, de buigstijfheden (EI)*en (EI)**worden berekend uitde ongescheurde en gescheurde buigstijfheid. De buigstijfheid(EI)*is eerder berekend. Deze behoort bij de kortdurendebelastingsverhoging van de quasi-blijvende tot de karakteris-tieke waarde. Aanvullend is de buigstijfheid (EI)** die hoort bijde langdurend aanwezige quasi-blijvende belasting. Ook nuwordt weer geschreven:(EI)**= (1 ? )(EI)I,0 + (EI)II,0waarin nu: = 1 ?1__2 ( Mcr______MG+2Q)2Omdat nu sprake is van een langdurende belasting, is in voor-gaande uitdrukking de tension stiffening gereduceerd ( = 1/2).Met 2 =Mcr______MG+2Q(2> 3) is dit te schrijven als:(EI)**= ? 22 (EI)I,0 + (1 ? ? 22)(EI)II,0Buigstijfheidco?ffici?nt:cs =(?22 I,0 + (1 ? ? 22) II,0)(23 I,0 + (1 ? 23) II,0)______________________________________________(1 ? )(?22 I,0 + (1 ? ? 22) II,0) + (23 I,0 + (1 ? 23) II,0) =MG+2Q______MG+Q; 3 =Mcr_____MG+Qen 2 =Mcr______MG+2Q(3< 2en < 1,0)GTB 2010De GTB 2010 Complete uitgave wordt op de Betondag(18 november 2010) gepresenteerd en is te bestellen bij deBetonvereniging (www.betonvereniging.nl > publicaties). Vanafseptember 2010 is ten behoeve van het onderwijs al de BeperkteUitgave beschikbaar.De GTB 2010 is door en onder verantwoordelijkheid van eenstuurgroep opgesteld. De samenstelling van die groep is opge-nomen in het Woord vooraf.Tabel 3 Waarden van cs; doorbuiging in de eindtoestand, ligger altijd gescheurd, MG+2Q> Mcrl3= 0,2 3= 0,4 3= 0,6 3= 0,8(,t0) (,t0) (,t0) (,t0)0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 30,0020,0050,0100,0150,0200,120,230,370,460,570,100,200,320,400,480,090,190,300,360,440,090,180,280,340,400,210,310,450,530,640,150,250,360,430,520,130,220,320,380,450,110,200,300,350,410,330,420,550,630,730,210,300,400,470,550,160,250,340,400,470,140,220,310,360,420,490,570,680,750,840,280,360,460,520,590,210,280,370,430,480,170,240,320,370,42Doorbuiging in de GTB 72010 853 Onmiddellijk optredendedoorbuiging, ligger geheelgescheurd, MG> McrVoor de buigstijfheid ten behoeve van de onmiddellijk optre-dende doorbuiging bleek een figuur geschikt te zijn om deresultaten te presenteren (fig. 3).Aanvullende opmerkingenDe berekeningen zijn uitgevoerd voor een statisch bepaaldopgelegde balk of vloer. De slankheidsregels van EC2 bieden demogelijkheid andere statische systemen in rekening te brengen.Door de berekende doorbuiging te delen door de factor K (EC2tabel 7.4N) is het mogelijk de invloed van het statisch systeemin rekening te brengen.Een complicatie hierbij is dan wel, dat de wapeningsverhoudingdan geheel wordt bepaald door de wapeningsverhouding in develddoorsnede. In NEN 6720 zijn rekenregels gegeven waarmeesteunpunt- en veldwapening zijn te vertalen in een gemiddeldewapeningsverhouding over de gehele lengte van de ligger. Erwordt wel op gewezen dat deze rekenregels zijn gebaseerd opeen spanning-rekrelatie voor beton in de UGT.EC2 voegt, anders dan NEN 6720, de vervorming door krimptoe aan de doorbuiging. Omdat de berekening van deze door-buigingscomponent een geheel ander type berekening vraagtdan de doorbuiging door opgelegde belasting, is deze nietopgenomen in de GTB 2010. Deze component moet dus nogworden toegevoegd als de doorbuiging in de eindtoestandwordt berekend. De berekeningswijze is toegelicht met eenrekenvoorbeeld [2]. Voor platen kan een bijdrage aan de door-buiging van circa 10 mm niet ongebruikelijk zijn. waarin nu: = 1 ? (Mcr___MG)2Omdat sprake is van een kortdurende belasting is in voor-gaande uitdrukking de tension stiffening niet gereduceerd( = 1).Met 1 =Mcr___MG:volgt:(EI)***= 21 (EI)I,0 + (1 ? 21)(EI)II,0Buigstijfheidco?ffici?nt:cs = 21 I,0 + (1 ? 21) II,0met 1 =Mcr___MGTabellenOmdat de uitdrukkingen leiden tot rekenstappen zonder itera-ties, verlopen de berekeningen relatief eenvoudig. Om deuitkomsten inzichtelijk te maken, is er voor gekozen in de GTB2010 tabellen met co?ffici?nten voor de buigstijfheid op tenemen. Omdat het aantal variabelen zeer groot is, is gekozenvoor benaderende waarden. Gezien de gevoeligheid van dedoorbuiging voor aspecten die niet in de berekeningen zijnopgenomen (onder meer tijdstip van ontkisten; ouderdom bijaanbrengen van de belasting; belastingshistorie), zal een tabel-waarde vaak voldoende nauwkeurig zijn.0,200,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020,400,600,801,001,201,401csl1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,1 LiteRatuuR1 Bruggeling, A.S.G. & De Bruijn, W.A.,Theorie en praktijk van het gewapendbeton. TU Delft, 1985.2 Braam, C.R., Rekenvoorbeelden EC2:Doorbuiging. Cement 2010/1.3