42 Bedrijfsvloeren berekend 1 Achtergronden berekening Floor 3.0 van elastisch ondersteunde, gewapende betonplaat In een betonvloer met een grote voegloze lengte ontstaan grote trekkrachten door verhinderde vervorming bij afkoeling en op termijn ook door krimp. Door voldoende wapening op de juiste plaats in de vloer aan te brengen, kan de optredende scheurvorming worden beheerst. Onder 'beheerste scheurvorming' wordt in dit verband verstaan dat scheuren op regelmatige afstanden optreden met een scheurwijdte die voldoet aan het scheurwijdtecriterium bij een bepaalde milieuklasse. In dit artikel zal de berekening van de optredende krachten in de wapening en de daarbij optredende scheurafstand en scheurwijdte worden toegelicht. Verhindering opgelegde vervorming door grondwrijving Vervormingen kunnen ontstaan door verandering van de betontemperatuur als gevolg van hydratatiewarmte en klimaat (verwarming in binnenmilieu, zon, regen, vorst) en op termijn ook door optredende krimp van het beton. Deze opgelegde vervormingen veroorzaken spanningen in de betonplaat omdat de vervorming gedeeltelijk wordt verhinderd door de wrijving tussen de plaat en de ondergrond. Voor het dimensioneren van bedrijfsvloeren en verhardingen van ongewapend beton en staal - vezelbeton wordt in Nederland al sinds vele jaren gebruikgemaakt van het rekenprogramma Floor. Met de onlangs verschenen versie 3.0 van dit programma kunnen ook gewapende betonvloeren en verhardingen worden berekend. Dit artikel gaat in hoofdlijnen in op de achtergronden van de berekening in Floor 3.0 van een elastisch ondersteunde, gewapende betonplaat. Het doel van wapening in een betonnen bedrijfsvloer, gestort op een daarvoor geprepareerde ondergrond, is het verminde - ren of zelfs geheel kunnen laten vervallen van voegen. In distributiecentra met hoogbouwmagazijnen zijn voegloze en supervlakke, gewapende betonnen monolietvloeren immers vaak een vereiste (foto 1).Bedr 4 2016 43 De rek bij de optredende spanning wordt de spanninggevende rek genoemd. Deze rek is afhankelijk van de graad van verhindering: (1) [Formule 1] 0 c Rc = [Formule 2] 0c 0c 0 [Formule 4] g g,max 2 bL N = [Formule 5] 0c cr| |< [Formule 6] 0c cr| |< [Formule7] 0c ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= [Formule 10] () e cr c cr,0 1e 1 1 A N cc = ++ [Formule 11] 23t 1 23 0t l c Ll ??=????  ?? [Formule 12] 0 cc = waarin: ?c? = spanninggevende betonrek [m/m], ?c? ? 0 ?R = graad van verhindering [?], 0 ? ?R ? 1 [Formule 1] 0 c Rc = [Formule 2] 0c [Formule 3] 0c 0 [Formule 4] g g,max 2 bL N = [Formule 5] 0c cr| |< [Formule 6] 0c cr| |< [Formule7] 0c ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= [Formule 10] () e cr c cr,0 1e 1 1 A N cc = ++ [Formule 11] 23t 1 23 0t l c Ll ??=????  ?? [Formule 12] 0 cc = = opgelegde vervorming (temperatuurverandering, krimp) [m/m], [Formule 1] 0 c Rc = [Formule 2] 0c 0c 0 [Formule 4] g g,max 2 bL N = [Formule 5] 0c cr| |< [Formule 6] 0c cr| |< [Formule7] 0c ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= [Formule 10] () e cr c cr,0 1e 1 1 A N cc = ++ [Formule 11] 23t 1 23 0t l c Ll ??=????  ?? [Formule 12] 0 cc = Gegeven een betonplaat met voegloze lengte L. Bij afkoeling van de plaat wil deze korter worden, wat gedeeltelijk wordt verhinderd door de grondwrijving aan de onderzijde van de plaat. Gevolg hiervan is dat er een trekkracht in de plaat ontstaat. Dit is geschematiseerd weergegeven in (fig. 2). Als de plaatlengte ( L) voldoende groot is, ontstaat er in het midden van de plaat een gedeelte (lengte L0) waar de opgelegde vervormingen volledig worden verhinderd ( ?R = 1). Dit middendeel van de plaat wordt in beschouwing genomen voor de berekening van de optredende scheurwijdte door opgelegde vervormingen. Toelichting: Ng,max = maximaal door grondwrijving te mobiliseren trekkracht [N] Ng = door grondwrijving gemobiliseerde trekkracht [N] Nc,0 = maximale normaalkracht in ongescheurde situatie [N] ?R = graad van verhindering van het beschouwde gedeelte van de plaat [?] L = lengte (voegloze) betonplaat [mm] L0 = lengte van de beschouwde betonplaat met volledige verhindering [mm] Voor de denkbeeldige kracht door grondwrijving Ng,max, die in het plaatmidden een maximale waarde bereikt, geldt: [Formule 1] 0 c Rc = [Formule 2] 0c 0c 0 [Formule 4] g g,max 2 bL N = [Formule 5] 0c cr| |< [Formule 6] 0c cr| |< [Formule7] 0c ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= (2) waarin: ?g = schuifspanning beton ? ondergrond [N/mm 2] b = breedte betonplaat [mm], b = 1000 mm L = lengte (voegloze) betonplaat [mm] Deze kracht zal in werkelijkheid niet groter worden dan de maximale kracht Nc,0 die nodig is om de gewapende plaat te laten scheuren. In (fig. 2) is de situatie weergegeven met de krachten nét voor het ontstaan van de eerste scheur. Beoordeling optreden scheurvorming In het plaatdeel met lengte L0 is de opgelegde vervorming volledig verhinderd ( ?R = 1). Hieruit volgt uit vergelijking 1 dat in dit gedeelte van de plaat de spanninggevende betonrek in absolute waarde gelijk is aan de opgelegde rek: 0 cc =| | [nummer 1] 0 0 c [nummer 2] Voor de beoordeling of de opgelegde vervorming volledig wordt verhinderd, wordt in eerste instantie uitgegaan van volledige verhindering van de opgelegde krimp en temperatuurvervor - ming, uitgedrukt in de normaalkracht Nc,s+T . Er is sprake van volledige verhindering van de vervorming als de kracht Nc,s+T kleiner of gelijk is aan de maximaal te mobiliseren kracht uit grondwrijving Ng,max (fig. 3). Op basis van de vergelijking van de grootte van Nc,s+T met Ng,max wordt de maximale trekkracht bepaald: Ntrek,max . Als deze kracht kleiner is dan de (opneembare) kracht bij scheuren Nc,0, dan is de conclusie dat er geen scheurvorming zal optreden (zie stroomschema, fig. 3). In het geval dat de maximale trekkracht kleiner is dan de kracht bij scheuren, wordt er vervolgens een zogenaamde 'Unity check' (UC) uitgevoerd op basis van de combinatie van normaalkracht + buiging. De UC is de verhouding tussen de optredende trekspanning en de treksterkte van het beton in de beschouwde doorsnede. Als uit de UC blijkt dat er toch scheur - vorming zal optreden (UC > 1), dan wordt nog onderzocht of ir. Gustaaf Bouquet ir. Henk Lamers Ingenieursbureau Lamers (IbL) 1 Voegloze gewapende betonnen bedrijfsvloer foto: Van Berlo Bedrijfsvloeren B.V.2 Normaal(trek)krachten in een elastisch opgelegde betonplaat als gevolg van opgelegde verhinderde vervorming Meer over Floor 3.0 Over de werking van Floor 3.0 is in Cement 2016/2 het artikel 'Rekenen aan betonvloeren' verschenen. Dit artikel is beschikbaar op www.cementonline.nl . Meer informatie over het programma is te vinden op www.sbrcurnet.nl/floor3.0 . geen verplaatsing Ngmax Ng = Nc2o L L0 ?g ?g yR = 1 yR = 1 2Bedr 4 2016 44 3 Stroomschema berekening elastisch ondersteunde, gewapende betonplaat4 Voegloze gewapende betonplaat, belast door geconcentreerde (wiel)lasten ter plaatse van de scheur5 Optredende spanning in beton ( ?c,0) en het betonstaal ( ?s,0) in de ongescheurde fase ( ?c < ?cr) bij volledige verhindering van de opgelegde vervorming ( ?R = 1) Voor de beoordeling van de bruikbaarheidsgrenstoestand (BGT) wordt de scheurwijdte berekend ter plaatse van de wapening, op basis van de meest ongunstige opgelegde ver- vormingen. Omdat aan de bovenzijde van de plaat de grootste opgelegde vervormingen optreden, wordt de wapening bij voorkeur boven in de plaat aangebracht. In de uiterste grenstoestand (UGT) wordt beoordeeld of de gescheurde betonplaat de uitwendige belastingen, bijvoorbeeld een wiellast, kan opnemen (fig. 4). De doorgaande scheur in de betonplaat wordt beschouwd als een verdeuvelde voeg waarbij lastoverdracht voor een belang - rijk deel plaatsvindt door de deuvelwerking van de wapening. Ook wordt een deel van de belasting gedragen door buiging van de belaste plaat evenwijdig aan de scheur. De draagkracht onder deze situatie wordt uitgedrukt in de 'belastingratio': Md,pos / Mu. Bij waarden van deze ratio ? 1,0 kan de uitwendige belasting ter plaatse van de scheur (fig. 4) worden opgenomen. Plaat met verhindering van opgelegde vervorming ? ongescheurd Bij het optreden van een opgelegde vervorming in de ongescheurde fase [Formule 1] 0 c Rc = [Formule 2] 0c 0c 0 [Formule 4] g g,max 2 bL N = [Formule 5] 0c cr| |< [Formule 6] 0c cr| |< [Formule7] 0c ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= [Formule 10] () e cr c cr,0 1e 1 1 A N cc = ++ [Formule 11] 23t 1 23 0t l c Ll ??=????  ?? [Formule 12] 0 cc = , onder de voorwaarde van volledige verhinde - ring van vervorming ( ?R = 1), blijft de spanning in het betonstaal nul (fig. 5). Bij toename van de opgelegde rek [Formule 1] 0 c Rc = [Formule 2] 0c 0c 0 [Formule 4] g g,max 2 bL N = [Formule 5] 0c cr| |< [Formule 6] 0c cr| |< [Formule7] 0c [Formule 8] ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= [Formule 10] () e cr c cr,0 1e 1 1 A N cc = ++ [Formule 11] 23t 1 23 0t l c Ll ??=????  ?? [Formule 12] 0 cc = tot de rek bij scheuren van het beton  cr neemt de normaalkracht Nc toe tot de maximale waarde Nc,0 juist voor het moment van scheuren: (3) [Formule 1] 0 c Rc = [Formule 2] 0c 0c 0 [Formule 4] g g,max 2 bL N = [Formule 5] 0c cr| |< [Formule 6] 0c cr| |< [Formule7] 0c ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= [Formule 10] () e cr c cr,0 1e 1 1 A N cc = ++ [Formule 11] 23t 1 23 0t l c Ll ??=????  ?? [Formule 12] 0 cc = waarin: ?cr = scheurspanning beton [N/mm 2], ?cr = 0,6 fctm,0 Ac = doorsnede betonplaat per meter breedte [mm 2/m] ? = wapeningsfractie [mm 2/mm 2], ? = As/Ac ?e = verhouding elasticiteitsmoduli staal/beton [MPa/Mpa], ?e = Es/Ecm de beschouwde doorsnede geheel onder trek staat of dat er een situatie is met een druk- en trekzone. In het laatste geval wordt een evenwichtsberekening uitgevoerd. In dit artikel wordt nader ingegaan op de veelvoorkomende situatie waarbij een lange (voegloze) plaat, onder invloed van opgelegde vervormingen, zal scheuren door een grote trekkracht (stroomschema, fig. 3). doorgaande scheur enkele wapening geconcentreerde(wiel)last betonspanning: 0 ? ?c,0 < ?cr opgelegde rek beton 0 ? | ?oc | < ?cr staalspanning: ?s,0 = 0 ?R = 1 L0 As ?R = 1 0 ? Nc < N c,0 0 ? Nc < N c,0 volledige verhindering Ntrek,max = Nc,s+T onvolledige verhindering Ntrek,max = Ng,max Nc,s + T = Ncs + NcT ja ja geen scheur door N-kracht: UGT: unity-check met:N = N trek,max & M = Mbelasting scheur door N-kracht: Ntrek,max = Nc,0 BGT: Ncr,? ?> Wtoets UGT: bel.ratio Md /Mu ja doorsnede evenwicht:N = N trek,max & M = Mbelasting BGT: Wtoets UGT: bel.ratio Md /Mu ongescheurde betonplaat unity-check ? 1,0 Ntrek,max ? Nc,0 Nc,s + T ? Ng, max nee nee nee 3 4 5Bedr 4 2016 45 6 Aan de uiteinden ingeklemde betonplaat onder invloed van een opgelegde verhinderde vervorming (krimp, temperatuurverandering). Situatie na ont - staan van de eerste scheur Toelichting: Nc,0 = maximale normaalkracht in ongescheurde situatie [N] Ncr,0 = normaalkracht na het ontstaan van de eerste scheur [N] ?c1,0 = betonspanning in zone 1 na het ontstaan van de eerste scheur [N/mm 2] ?s1,0 = staalspanning in zone 1 na het ontstaan van de eerste scheur [N/mm 2] ?s2,0 = staalspanning in zone 2 na het ontstaan van de eerste scheur [N/mm 2] lt = overdrachtslengte [mm] Na het ontstaan van de eerste scheur wordt de kracht Ncr,0 in het betonstaal aan weerzijden van de scheur aan het beton over - gedragen over de overdrachtslengte lt. De plaat bestaat nu uit een scheurzone met lengte 2 lt (zone 2) en verder uit ongescheurde zones 1. In figuur 6 is het verloop van de optredende beton- en staalspanningen in de ongescheurde zones 1 en de scheurzone 2 schematisch weergegeven. De lengte waarover de staalspanning tot de waarde ?s2,0 toeneemt ter plaatse van de scheur is gesche - matiseerd tot de equivalente lengte ? l t waarin de aanhechtspan - ning nul is (zie onderste grafiek, fig. 6). De gesommeerde staal - spanningen, ?s2,0 over de lengte ? l t en ? s1,0 over de lengte L - ? lt, , zijn nul om daarmee te voldoen aan de eerdergenoemde rand - voorwaarde ?s = 0 bij volledige verhindering van de vervorming. Bij volledige verhindering van de vervorming kan worden afgeleid dat de grootte van de trekkracht na het optreden van de eerste scheur gelijk is aan: (4) [Formule 1] 0 c Rc = [Formule 2] 0c 0c 0 [Formule 4] g g,max 2 bL N = [Formule 5] 0c cr| |< [Formule 6] 0c cr| |< [Formule7] 0c ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= [Formule 10] () e cr c cr,0 1e 1 1 A N cc = ++ [Formule 11] 23t 1 23 0t l c Ll ??=????  ?? [Formule 12] 0 cc = Met daarin de verhouding tussen de equivalente lengte van de scheurzone ? l t en de gesommeerde lengte van de ongescheurde zones: (5) [Formule 1] 0 c Rc = [Formule 2] 0c 0c 0 [Formule 4] g g,max 2 bL N = [Formule 5] 0c cr| |< [Formule 6] 0c cr| |< [Formule7] 0c ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= [Formule 10] () e cr c cr,0 1e 1 1 A N cc = ++ [Formule 11] 23t 1 23 0t l c Ll ??=????  ?? [Formule 12] 0 cc = waarin: ?e = verhouding elasticiteitsmoduli staal/beton [MPa/MPa], ?e = Es / Ecm ? = wapeningsfractie [mm 2/mm 2], ? = As / Ac ?cr = scheurspanning beton [N/mm 2], ?cr = 0,6 fctm,0 Ac = doorsnede betonplaat per meter plaat [mm 2/m] c1 = verhouding tussen equivalente lengte gescheurde en ongescheurde zone [mm/mm] L0 = lengte van het beschouwde plaatdeel [mm] lt = overdrachtslengte [mm], lt = Ø / 8? (Ø = diameter betonstaal) De maximale trekkracht Nc,0, nodig voor het ontstaan van een scheur, is een functie van de scheurspanning van beton waar - voor is uitgegaan van 60% van de gemiddelde 28-daagse (axiale) korteduurtreksterkte van beton fctm,0 . In vergelijking 3 is de relaxatie van spanningen buiten beschouwing gelaten omdat ervan uit is gegaan dat de plaat door afkoeling vroegtijdig zal scheuren. Dit is een realistische aanname als wordt bedacht dat bij afkoeling aan het betonoppervlak al vrij snel de scheurrek in het beton wordt overschreden. Plaat met verhindering van opgelegde vervorming ? gescheurd Als in de plaat, met volledige verhindering aan de uiteinden, de opgelegde vervorming (in absolute waarde) gelijk wordt aan de scheurrek in het beton [Formule 1] 0 c Rc = [Formule 2] 0c 0c 0 [Formule 4] g g,max 2 bL N = [Formule 5] 0c cr| |< [Formule 6] 0c cr| |< [Formule7] 0c ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= [Formule 10] () e cr c cr,0 1e 1 1 A N cc = ++ [Formule 11] 23t 1 23 0t l c Ll ??=????  ?? , dan bereikt de trekkracht in de plaat de waarde Nc,0. Als de opgelegde rek dan nog een fractie toeneemt, ontstaat de eerste scheur en zakt de normaal - kracht naar de waarde Ncr,0, die lager is omdat de stijfheid van de plaat door de eerste scheur is afgenomen (fig. 6). geschematiseerde staalspanningen betonspanningen staalspanningen zone 1 zone 2 zone 1 Nc,0 Ncr,0 As Nc,0 Ncr,0 L0 lt lt w opgelegde rek beton | ?oc | < ?cr ? lt ?s1,0 ?s1,0 ?s1,0 ?s2,0 ?s2,0 6Bedr 4 2016 46 7 Gecombineerd kracht-rekdiagram en rek-scheurafstanddiagram, voor de situatie ?R = 1, dus: [Formule 19] 3 -9s2 1 1 9 10 = [Formule 20] 0 cc= ?c? = spanninggevende betonrek [m/m] L = lengte betonplaat [mm] s = gemiddelde scheurafstand [mm] ncr = aantal scheuren [?] Bij volledige verhindering van de vervorming is de resulterende normaalkracht bij het bereiken van de maximale waarde van de opgelegde vervorming [Formule 8] ( ) c,0 cr c e 11 NA ??   ?? [Formule 9] 0c cr| |= [Formule 10] () e cr c cr,0 1e 1 1 A N cc = ++ [Formule 11] 23t 1 23 0t l c Ll ??=????  ?? [Formule 12] 0 cc = gelijk aan: (6) [Formule 13] () es 0 cr , cr c cm 2 A NE c = + [Formule14] 0c 23t 2 1 1 sl c ?? =+ ???? [Formule 16] () () e 0 cr c cm 2 e 0 cr c cm cr E c E ?? + ?? ?? = ?? ++ ???? [Formule 17] cr , s2 s N A = [Formule 18] toets m s eisww w = [Formule 19] 3 -9s2 1 1 9 10 = [Formule 20] 0 cc = waarin: ?e = verhouding elasticiteitsmoduli staal/beton [MPa/MPa], ?e = Es/Ecm As = oppervlak betonstaal per eenheidsbreedte [mm 2/m] ? = relaxatiecoëfficiënt [?] [Formule 13] () es 0 cr , cr c cm 2 A NE c = + [Formule14] 0c [Formule 15] 23t 2 1 1 sl c ?? =+ ???? [Formule 16] () () e 0 cr c cm 2 e 0 cr c cm cr E c E ?? + ?? ?? = ?? ++ ???? [Formule 17] cr , s2 s N A = [Formule 18] toets m s eisww w = [Formule 19] 3 -9s2 1 1 9 10 = [Formule 20] 0 cc = = opgelegde rek ter hoogte van de neutrale lijn [m/m] , 0 cc =| | [nummer 1] 0 0 c [nummer 2] ?cr = scheurspanning beton [N/mm 2], ?cr = 0,6 fctm,0 Ecm = secante elasticiteitsmodulus beton [N/mm 2] De gemiddelde scheurafstand na het ontstaan van de laatste scheur is gelijk aan: (7) [Formule 13] () es 0 cr , cr c cm 2 A NE c = + [Formule14] 0c 23t 2 1 1 sl c ?? =+ ???? [Formule 16] () () e 0 cr c cm 2 e 0 cr c cm cr E c E ?? + ?? ?? = ?? ++ ???? [Formule 17] cr , s2 s N A = [Formule 18] toets m s eisww w = [Formule 19] 3 -9s2 1 1 9 10 = [Formule 20] 0 cc = Voor de factor c2 in de resulterende normaalkracht Ncr,?en de gemiddelde scheurafstand s geldt: (8) [Formule 13] () es 0 cr , cr c cm 2 A NE c = + [Formule14] 0c 23t 2 1 1 sl c ?? =+ ???? [Formule 16] () () e 0 cr c cm 2 e 0 cr c cm cr E c E ?? + ?? ?? = ?? ++ ???? [Formule 17] cr , s2 s N A = [Formule 18] toets m s eisww w = [Formule 19] 3 -9s2 1 1 9 10 = [Formule 20] 0 cc = In figuur 8 is de veronderstelde eindfase van scheurvorming (bij vier scheuren) weergegeven. Onder de gewapende plaat zijn in figuur 8 de grafieken weergegeven met de betonspanning ?c1 en de staalspanning ?s1 in de ongescheurde zones 1 en de staalspanning ?s2 in de gescheurde zones 2. De resulterende staalspanning in de scheuren, nodig voor de berekening van de gemiddelde scheurwijdte, volgt uit: (9) [Formule 13] () es 0 cr , cr c cm 2 A NE c = + [Formule14] 0c 23t 2 1 1 sl c ?? =+ ???? [Formule 16] () () e 0 cr c cm 2 e 0 cr c cm cr E c E ?? + ???? = ?? ++ ???? [Formule 17] cr , s2 s N A = [Formule 18] toets m s eisww w = [Formule 19] 3 -9s2 1 1 9 10 = [Formule 20] 0 cc = De gemiddelde scheurwijdte is berekend met het 'TU Delft trekstaaf model' [1] met het algemene toetsingscriterium voor de scheurwijdte: [Formule 13] () es 0 cr , cr c cm 2 A NE c = + [Formule14] 0c 23t 2 1 1 sl c ?? =+ ???? [Formule 16] () () e 0 cr c cm 2 e 0 cr c cm cr E c E ?? + ???? = ?? ++ ???? [Formule 17] cr , s2 s N A = [Formule 18] toets m s eisww w = [Formule 19] 3 -9s2 1 1 9 10 = (10) Scheurontwikkeling Een belangrijk criterium voor een 'beheerste scheurvorming' is dat er voldoende wapening aanwezig is: ? ? ?min. Als dit niet het geval is, kan er geen tweede scheur ontstaan en zal de scheur - wijdte van de eerste scheur bij een toenemende opgelegde vervorming in gelijke mate groter worden en zal er in het betonstaal ter plaatse van de scheur vloei optreden. Bij toename van de geleidelijk optredende vervorming (en vol - doende wapening: ? ? ?min) neemt de trekkracht in de ongescheurde zones weer toe tot de maximale waarde Nc,0. Op dat moment ontstaat er ergens in een van de ongescheurde zones, op de zwakste locatie, de tweede scheur. Dit geleidelijke proces van voortgaande scheurvorming is wel onderhevig aan relaxatie omdat trekspanningen nu langdurig op het ongescheurde beton werken. In figuur 7 is het proces van geleidelijke scheur- ontwikkeling bij toename van de opgelegde vervorming sche - matisch weergegeven. Op de verticale as naar boven is de normaalkracht uitgezet als functie van de spanninggevende rek op de horizontale as. Op de verticale as naar beneden is de gemiddelde scheurafstand uitgezet. In figuur 7 is de denkbeel - dige situatie getekend waarbij in de eindfase, onder invloed van de volledig ontwikkelde opgelegde vervorming, er vier scheu - ren zijn ontstaan met een resulterende normaalkracht Ncr,?. Toelichting: Nc,0 = maximale normaalkracht in ongescheurde situatie [N] Ncr,0 = normaalkracht na het ontstaan van de eerste scheur [N] Ncr?, = normaalkracht na het ontstaan van de laatste scheur (t = ?) [N] ncr = 4 ncr = 3 ncr = 2 ncr = 1 nc,0 ncr,? ncr,0 L0/4 L0/3 L0/2 L0 n Ec,? ?c? 7Bedr 4 2016 47 8 Geschematiseerde verdeling van de beton- en staalspanning in de onge - scheurde zones 1 ( ?c1 en ?s1) en de staalspanning in de scheuren ( ?s2) 9 Verdeling van de opgelegde rek over de hoogte van de doorsnede en de mogelijke ligging van de wapening (cb = betondekking van de enkele wapening bovenzijde) De grootte van de scheurwijdte als functie van het wapenings - percentage bij verschillende dekkingen op betonstaal Ø = 12 mm is weergegeven in figuur 10. Uit figuur 10 kan worden afgelezen dat bij een toetswaarde van de scheurwijdte wtoets = 0,40 mm het daarvoor benodigde wapenings - percentage varieert van ?0 = 0,47% bij cb = cb,min = 15 mm tot ?0 = 0,52% bij cb = 84 mm, dit geldt bij de ligging van de wapening in het hart van de plaat. Het verschil in wapeningpercentages komt overeen met een verschil in hoeveelheid wapening, uitge - drukt in oppervlak van ? As = 900 mm 2/m bij een ligging met minimale dekking ten opzichte van ligging in hart plaat! Het verschil in benodigde wapening voor het bereiken van een bepaalde scheurwijdte neemt af bij afname van de gradiënt van opgelegde vervormingen. Als de opgelegde rekken aan de boven- en onderzijde van de plaat bij benadering gelijk zijn, wat veelal het geval is bij betonverhardingen (bedrijfsterreinen, vliegveld platforms, betonwegen in doorgaand gewapend beton waarin: wtoets = toetswaarde van de scheurwijdte [mm] wm = gemiddelde scheurwijdte [mm] weis = het geldende scheurwijdtecriterium bij bepaalde milieu - klasse [mm] ?s = factor voor optredende spreiding [?],onvoltooid scheuren - patroon: ?s = 1,3 ?? = factor voor langeduur- / wisselbelasting: ?s2 ? 295 N/mm 2 ?? = 1,3 ?s2 > 295 N/mm 2 [Formule 13] () es 0 cr , cr c cm 2 A NE c = + [Formule14] 0c 23t 2 1 1 sl c ?? =+ ???? [Formule 16] () () e 0 cr c cm 2 e 0 cr c cm cr E c E ?? + ?? ?? = ?? ++ ???? [Formule 17] cr , s2 s N A = [Formule 18] toets m s eisww w = [Formule 19] 3 -9s2 1 1 9 10 = [Formule 20] 0 cc = ?s2 = staalspanning in de scheur [N/mm 2] Scheurwijdte afhankelijk van ligging wapening Aan het bovenoppervlak treedt de sterkste afkoeling op. Ook uitdroging is het grootst aan de bovenzijde van de elastisch ondersteunde plaat. Bij een ongelijke afkoeling en uitdrogings - krimp kan een verdeling van de opgelegde vervormingen ontstaan zoals weergegeven in figuur 9. Door de (enkele) wape - ning zo hoog mogelijk in de plaat te leggen, wordt deze optimaal benut voor de beperking van de scheurwijdte. Dit komt omdat in deze zone de grootste opgelegde vervorming optreedt. In figuur 9 is de zone aangegeven waar de bovenwapening kan worden geplaatst, variërend van hart plaat tot een zo hoog mogelijke ligging met een minimale betondekking van cb = 15 mm. De invloed van de hoogteligging van de wapening op de grootte van de scheurwijdte is inzichtelijk gemaakt door middel van een rekenvoorbeeld met de uitgangspunten zoals genoemd in tabel 1. Ncr,? Ncr,? ?c1 ?s1 ?s2 ?s2 ?s2 ?s2 s /2 s /2 s s s L0 ? lt ? lt ? lt ? lt ?oc,b dikte plaat h cb cb,min = 15 mm ?oc, 0 opgelegde rek (?) Tabel 1 Uitgangspunten berekening omschrijving symbool grootte betonsterkteklasse C28/35 hydratatiesnelheid cement klasse N dikte betonplaat h 180 mm lengte betonplaat L 50 m gemiddelde relatieve luchtvochtigheid per etmaal RV 50% ouderdom bij belasten t0 7 dagen beschouwde ouderdom beton t 365 dagen ontwerplevensduur told 30 jaar gelijkmatig verdeelde belastingen- permanent- veranderlijk ( ?1 = ?2 = 0,8) 5 kN/m 2 2 kN/m 2 wrijving beton ? ondergrond- cohesie- wrijvingscoëfficiënt ?0µ0 puingranulaat15 kN/m 2 1,2 totale krimp- krimp bovenzijde plaat- krimp onderzijde plaat ?cs -268,5 ? 10 -6 m/m 90%60% temperatuurverandering- bovenzijde plaat- onderzijde plaat ?Tc,b?Tc,o kortdurend 4 °C2 °C 8 9Bedr 4 2016 48 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 scheurwijdte (toetswaarde) [mm] wapeningspercentage [%] c = 84 mm c = 70 mm c = 55 mm c = 40 mm c = 25 mm c = 15 mm 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 50 100 150 200 250 300 350 staaldoorsnede As [mm2/m'] h.o.h. afstand staaf [mm] wtoets = 0,10 mm wtoets = 0,15 mm wtoets = 0,20 mm wtoets = 0,25 mm wtoets = 0,30 mm wtoets = 0,35 mm wtoets = 0,40 mm staaf d = 12 mm staaf d = 16 mm staaf d = 20 mm 12 Doorsnede van de gewapende betonvloer met: As = 785,4 mm 2/m, ?0 = 0,462% 13 Betonstort van een gewapende betonnen bedrijfsvloer foto: Van Berlo Bedrijfsvloeren B.V. (DGB)), dan heeft de hoogteligging van de wapening gemid - deld weinig of geen invloed op de grootte van de scheurwijdte aan het bovenoppervlak. Scheurwijdte afhankelijk van staafdiameter De invloed van de staafdiameter op de scheurwijdte is onder - zocht met de uitgangspunten zoals die ook zijn gebruikt voor de berekening van de scheurwijdte afhankelijk van de ligging van de wapening (tabel 1). Voor toetswaarden van de scheurwijdte, variërend van 0,10 ? wtoets ? 0,40 mm, bij toepassing van enkele wapening aan de bovenzijde van de plaat met diameters Ø12, Ø16 en Ø20, alle bij een betondekking cb = 20 mm, is de relatie berekend tussen de hart-op-hart-afstand van de staven en de staaldoorsnede per strekkende meter breedte (fig. 11). Rekenvoorbeeld gewapende betonnen voegloze bedrijfsvloer De berekening vindt plaats in de volgende twee stappen: 1. Bij een gekozen plaatdikte wordt de benodigde hoeveelheid wapening en scheurwijdte berekend op basis van uitsluitend de opgelegde vervormingen door: - temperatuurverlaging met negatieve temperatuurgradiënt; - krimp met negatieve gradiënt; - zetting ondergrond waarbij het negatieve moment in rekening wordt gebracht. 2. Berekening of bij de gekozen plaatdikte de nuttige belastingen (geconcentreerde lasten en eventuele plaatselijke (blok) lasten) kunnen worden opgenomen. Als voorbeeld is een berekening gemaakt op basis van de uitgangspunten zoals vermeld in tabel 1. In aanvulling hierop is ook het opgelegde negatieve moment als gevolg van zetting van de ondergrond ( wz = 20 mm, Lz = 20 m) in rekening gebracht. Tabel 2 Resultaten van de berekening omschrijving symbool grootte normaalkracht bij optreden eerste scheur Nc,0 300,80 kN maximale normaalkracht uit grondwrijving Ng,max 694,86 kN normaalkracht volledige verhinderde opgelegde vervorming Nc,s+T 537,67 kN minimaal benodigde plaatlengte voor initiëren eerste scheur Lmin 21,65 m normaalkracht na optreden eerste scheur Ncr,0 232,89 kN normaalkracht na optreden laatste scheur Ncr,? 277,71 kN gescheurde stijfheid beton Ec,? 5943 MPa toetswaarde van de scheurwijdte wtoets 0,375 mm gemiddelde scheurafstand s 3,30 m rek ter hoogte bovenwapening ?c,wap 305 ? 10 -6 m/m rek bij bereiken volledig ontwikkeld scheurenpatroon ?fdc 904 ? 10 -6 m/m fundering: puingranulaat (BSA) h = 170 mm beton: C28/35 Ø10 ? 100 cb = 15 mm 10 Scheurwijdte (toetswaarde) als functie van het wapeningspercentage bij verschillende dekkingen variërend van cb,min ? cb ? (h ? Ø) / 2, voor betonstaal Ø = 12 mm, betonsterkte - klasse C28/35, plaatdikte h = 180 mm 11 Scheurwijdte (toetswaarde) als functie van de staaldoorsnede en h.o.h.-afstand van de sta - ven, betonstaal Ø = 12, 16 en 20 mm, betonsterkteklasse C28/35, plaatdikte h = 180 mm 10 11 12Bedr 4 2016 49 eigenspanningen. Deze spanningen kunnen ten dele worden beperkt door een goede nabehandeling van de betonvloer (afdekken met folie na het vlinderen). De kwaliteit van het eindresultaat staat of valt met de kwaliteit van de uitvoering door de aannemer (foto 13). ? ? LITERATUUR 1 Breugel, K. van, Braam, C.R., Veen, C. van der, Walraven, J.C. , Beton-constructies onder Temperatuur- en Krimp - vervormingen ? Theorie en Praktijk, Betonpraktijkreeks 2, BetonPrisma 's-Hertogenbosch, 1996. 2 Achtergrondrapport Floor 3.0, Software voor het dimensioneren van elastisch ondersteunde betonvloeren en betonverhardingen, SBRCURnet, Delft, 2015. De opbouw van de berekende vloer is weergegeven in figuur 12 en de resultaten van de berekening zijn samengevat in tabel 2. Om de benodigde kracht voor het initiëren van de eerste scheur Nc,0 uit grondwrijving te mobiliseren, moet het beschouwde plaatdeel een lengte hebben van minimaal L0 ? Lmin = 21,65 m. Bij een ondergrond met een lagere wrijvingscoëfficiënt en lagere gelijkmatig verdeelde belastin - gen, wordt de minimaal benodigde plaatlengte al snel veel groter. Het is daarom belangrijk dat de betonvloer wordt aan gelegd op een vlakke, gelijkmatig verdichte, ruwe onder - grond (bijv. puin-granulaat) die een grote wrijving kan mobiliseren. Tot slot Onder invloed van de opgelegde vervormingen ontstaat er vrijwel altijd een onvoltooid scheurenpatroon. Het aantal scheuren neemt toe bij toename van de opgelegde vervorming met als gevolg dat de gemiddelde scheurafstand afneemt. Afwijkingen van de berekende scheurwijdte en scheurafstand kunnen in de praktijk ontstaan door de invloed van optredende 13Bedr 4 2016